材料力學公式超級大匯總

1、1.=9 549 -%-外力偶（P功率，n轉速）dW）岐仗）2.彎矩、剪力和荷載集度之間的關系式3.軸向拉壓桿橫截面上正應力的計算公式（桿件橫截面軸力 FN,橫截面面積A,拉應i#4.力為正）軸向拉壓桿斜截面上的正應力與切應力計算公式（夾角a從x軸正方向逆時針轉至外法線的方7 位角為正）zth = cnsa= crens(l+cnsloT = p sinff= £TcasaJsmOJ= iiii2a a % 25.縱向變形和橫向變形（拉伸前試樣標距I，拉伸后試樣標距11 ;拉伸前試樣直徑d,拉伸后試#樣直徑d1）6.縱向線應變和橫向線應變#E= #7.泊松比8.胡克定律9.受多個力作

2、用的桿件縱向變形計算公式AZ 二 £ 囲=2A/ =承受軸向分布力或變截面的桿件，縱向變形計算公式軸向拉壓桿的強度計算公式許用應力延伸率截面收縮率=（乩 M01n，脆性材料<5 = xlOO%戶今川0%剪切胡克定律拉壓彈性模量（切變模量G,切應變gE、泊松比11和切變模量圓截面對圓心的極慣性矩（a）實心圓（b）空心圓），塑性材料G之間關系式4瑤°u =0S32T圓軸扭轉時橫截面上任一點切應力計算公式（扭矩T,所求點到圓心距離圓截面周邊各點處最大切應力計算公式扭轉截面系數，（a）實心圓（b）空心圓r）T - T忙魯（1 一旳10.11.12.13.14.15.16.17

3、.18.19.20.424.等直圓軸強度條件25.塑性材料脆性材料 r = (0.8»1.0)fr26.扭轉圓軸的剛度條件？<1或27.受內壓圓筒形薄壁容器橫截面和縱截面上的應力計算公式45 ,28.平面應力狀態(tài)下斜截面應力的一般公式21. 薄壁圓管（壁厚 8 < Ro /10 , Ro為圓管的平均半徑）扭轉切應力計算公式77 p=22. 圓軸扭轉角了與扭矩T、桿長丨、扭轉剛度GH的關系式'fJ，£23. 同一材料制成的圓軸各段內的扭矩不同或各段的直徑不同（如階梯軸）時片戲訐或閔r252#CT 十 £T - £T一宀*-£T

4、rin2ct+% cas2a2#2#平面應力狀態(tài)的三個主應力29.2#主平面方位的計算公式面內最大切應力受扭圓軸表面某點的三個主應力三向應力狀態(tài)最大與最小正應力三向應力狀態(tài)最大切應力廣義胡克定律5 ，廠勺二討5-譏6+?。?30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.6#月二巧一 "（6+6）1弓二詁巧-W5+巧）11 =°1%二年-V（還+丐）四種強度理論的相當應力% =占【何-還）+（斫一O1F1#一種常見的應力狀態(tài)的強度條件L： "丁 41'叫，叫彳"丁 31 |叫Z4/ci沁一 E4組合圖形的形心坐標計算公式任意截面圖形對

5、一點的極慣性矩與以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和的關系式7#截面圖形對軸z和軸y的慣性半徑？I ,平行移軸公式（形心軸 ZC與平行軸zl的距離為a,圖形面積為 A純彎曲梁的正應力計算公式橫力彎曲最大正應力計算公式"= + 劉cr= 厶矩形、圓形、空心圓形的彎曲截面系數MAXm bhs Jh bhtrr l =?幾種常見截面的最大彎曲切應力計算公式（一*丄為中性軸一側的橫截面對中性軸Z的靜矩,b為橫截面在中性軸處的寬度）矩形截面梁最大彎曲切應力發(fā)生在中性軸處工字形截面梁腹板上的彎曲切應力近似公式軋制工字鋼梁最大彎曲切應力計算公式圓形截面梁最大彎曲切應力發(fā)生在中性軸處y _4

6、% 4 九 張T泗一 圓環(huán)形薄壁截面梁最大彎曲切應力發(fā)生在中性軸處40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.9幾種常見截面梁的彎曲切應力強度條件彎曲正應力強度條件51.52.53.54.55.56.57.58.59.60.61.彎曲梁危險點上既有正應力（7又有切應力T作用時的強度條件2=+4? <cr10#或樂r歹+3?勻6 = 5愉梁的撓曲線近似微分方程#dx + Cj°TilM-A WT梁的轉角方程梁的撓曲線方程dxdx + CLx +0軸向荷載與橫向均布荷載聯(lián)合作用時桿件截面底部邊緣和頂部邊緣處的正應力計算公式%*卜_ %廠A 偏心拉伸（壓縮） 彎

7、扭組合變形時圓截面桿按第三和第四強度理論建立的強度條件表達式%二詁嚴+0苗硼#圓截面桿橫截面上有兩個彎矩二!和"-同時作用時，合成彎矩為 "_!圓截面桿橫截面上有兩個彎矩訂和同時作用時強度計算公式#62.11#63.彎拉扭或彎壓扭組合作用時強度計算公式殆二於 + 4” 二 J(閃 +皿'+4£ <aq* J/ +J(巧+ 內)+ 3# WcrT=-<t64.剪切實用計算的強度條件#65.擠壓實用計算的強度條件EI#66.等截面細長壓桿在四種桿端約束情況下的臨界力計算公式67.壓桿的約束條件：(a)兩端鉸支口 =1(b) 端固定、一端自由口 =2

8、(c) 一端固定、一端鉸支 口 =0.7兩端固定口 =0.5#68.壓桿的長細比或柔度計算公式69.細長壓桿臨界應力的歐拉公式70.歐拉公式的適用范圍1271. 壓桿穩(wěn)定性計算的安全系數法72. 壓桿穩(wěn)定性計算的折減系數法$關系需查表求得133截面的幾何參數序號公式名稱公式符號說明(3.1)截面形心位置LzdAL ydAzc =， yc =AAz為水平方向 丫為豎直方向(3.2)截面形心位置Z Zi AiZ yi Azc _，y c Z AiZ Ai(3.3)面積矩Sz = ydA ， Sy = f zdAAA(3.4)面積矩Sz =遲 Ai yi，Sy =遲 Aizi(3.5)截面形心位置S

9、ySzZc =，yc = 一AA(3.6)面積矩Sy = Azc，Sz = Ayc(3.7)軸慣性矩2 21 z = J y dA， 1 y = J z dAAA(3.8)極慣必矩1 p = J P dAA(3.9)極慣必矩1 Piz +ly(3.10)慣性積.=fzydAA(3.11)軸慣性矩2 2=iz A， ly =iy A(3.12)慣性半徑（回轉半徑）V "咅(3.13)面積矩軸慣性矩 極慣性矩 慣性積Sz =遲 Szi，Sy =遲 Syi1 Z =1 zi ，11 yi1 P 瓦 1 p，1 zy 一 J 1 zyi(3.14)平行移軸公式21 z = 1 zc + a

10、A2| y = | yC + b A1 zy = 1 zcyc + abA4應力和應變序號公式名稱公式符號說明(4.1)軸心拉壓桿橫 截面上的應力N仃=A(4.2)危險截面上危 險點上的應力NU max A(4.3a)軸心拉壓桿的 縱向線應變£ =l(4.3b)軸心拉壓桿的 縱向絕對應變Al = 1 h = g(4.4a)(4.4ab虎克定理= E g ffZ =E(4.5)虎克定理NAl = EA(4.6)虎克定理NiilN =2和i =Z亠EAi(4.7)橫向線應變Ab d -bZ bb(4.8)泊松比（橫向 變形系數）zV =zS = V®(4.9)剪力雙生互等 定理

11、耳7(4.10)剪切虎克定理T =gY(4.11)實心圓截面扭 轉軸橫截面上 的應力TPTP= 1 p(4.12)實心圓截面扭 轉軸橫截面的 圓周上的應力TR1 max "1 P(4.13)抗扭截面模量（扭轉抵抗矩）WT =3R(4.14)實心圓截面扭 轉軸橫截面的 圓周上的應力TfaxWT(4.15)圓截面扭轉軸的 變形T 申=Gl p(4.16)圓截面扭轉軸的 變形T l申=三巴=2亠Gl p(4.17)單位長度的扭轉 角甲Te =，日= lGl p(4.18)矩形截面扭轉軸 長邊中點上的剪 應力TT年 max _ a 3WtPbWt是矩形截 面Wt的扭轉抵 抗矩(4.19)矩形

12、截面扭轉軸 短邊中點上的剪 應力T =1max(4.20)矩形截面扭轉軸 單位長度的扭轉 角日_T = T4Gl TGWIt是矩形截 面的It相當極慣性矩(4.21)矩形截面扭轉軸 全軸的扭轉 角meT.l申=B.l =Gab4a , P , ?與截 面咼寬比h/b有關的參數(4.22)平面彎曲梁上任 一點上的線應變y Z =P(4.23)平面彎曲梁上任 一點上的線應力Ey=P(4.24)平面彎曲梁的曲率1MPEI z(4.25)純彎曲梁橫截面 上任一點的正應 力MyCT =I z(4.26)離中性軸最遠的 截面邊緣各點上 的最大正應力M "x ° max Iz(4.27)

13、抗彎截面模量 （截面對彎曲 的抵抗矩）IWz =y max(4.28)離中性軸最遠的 截面邊緣各點上 的最大正應力MG max 一Wz(4.29)橫力彎曲梁橫截 面上的剪應力*VSz T 一IzbS；被切割面 積對中性軸 的面積矩。(4.30)中性軸各點的剪 應力*VSz max” max Izb(4.31)矩形截面中性 軸各點的剪應力3V"max -2bh(4.32)工字形和T形截 面的面積矩Sz = EAi yci(4.33)平面彎曲梁的撓 曲線近似微分方 程EIv z" = -M (x)V向下為正X向右為正(4.34)平面彎曲梁的撓曲線 上任一截面 的轉角方程EI z

14、v' = El 月=一 M (x)dx +C(4.35)平面彎曲梁的撓曲線 上任一點撓度方程El zv = - M (x)dxdx + Cx + D(4.36)雙向彎曲梁的合成彎 矩2 2M = *M z + M y(4.37a)拉（壓）彎組合矩形 截面的中性軸在Z軸 上的截距2lyaz = zo =Zpzp, yp是集中力作用點的 標(4.37b)拉（壓）彎組合矩形 截面的中性軸在Y軸 上的截距2izay = y。=-yp5應力狀態(tài)分析序號公式名稱公式符號說明（5.1）單元體上任意截面上的正 應力cra =+cos 2a Tx sin 2a2 2（5.2）單元體上任意截面上的剪 應力

15、6 "yTa-sin 2g+5cos2g2（5.3）主平面方位 角tan 2% （a。與 J反號）S"y19(5.4)大主應力的 計算公式max；x ；y +”-x - ；y(5.5)(5.6)(5.7)(5.8)(5.9)(5.10)(5.11)(5.12)(5.13)(5.14)(5.15)(5.16)主應力的計 算公式單元體中的 最大剪應力 主單元體的 八面體面上 的剪應力:面上的線 應變:-+ 90 0面之間的角應變主應變方向公式 大主應變小主應變xy的替代公式主應變方向 公式大主應變小主應變maxTx ；y2-x1322亠一cos 2二亠sin 2 二2xy =

16、(妝一：y) sin 2'：亠 紐 cos 2二tan 2: 0 =xyY 2xy+ 4Y 2十 xy4222xF x221(5.17)簡單應力狀 態(tài)下的虎克 定理° X口 X口 XEx =，屯y = T，Ez = T EEE(5.18)空間應和狀 態(tài)下的虎克 定理1Zx =匕V(CTy +6 N E名y = £ by v(6 +bx 卩gz = 1 kz v(o)E(5.19)平面應力狀 態(tài)下的虎克 定理（應變形 式）18x = (6 By)E1Ey =(巧 一6)EVEz = 一(6 +by)E(5.20)平面應力狀 態(tài)下的虎克 定理（應力形 式）E0x (E

17、+詬 y)1 -vEy 2(5 +'x)1 -V6=0(5.21)按主應力、主 應變形式寫 出廣義虎克 定理e =丄圧_v(<i2忖yE= 1 2 V(<l3 十1 )亂=& _v(6 y )】E(5.22)二向應力狀 態(tài)的廣義虎 克定理1E = ( ® W 2)E1夠=®2 呵) E客3 = _M(巧 P)E(5.23)二向應力狀 態(tài)的廣義虎 克定理EO' 1 - 2( & +2 )1 ¥E/丄、2 1 2 '1 -VE6 2(，1 -V3= 0科i VC 2丿幻+詬J(5.24)剪切虎克定理Txy = -G

18、?xyJ = -G 鶴= G 'zx2內力和內力圖序號公式名稱公式符號說明(2.1a)(2.1b)外力偶的 換算公式NkTe =9.55 nNpTe =7.02 二n(2.2)分布何載集度 剪力、彎矩之 間的關系dV (x)_q(x) dxq(x)向上為正(2.3)dM (x)-V(x)dx(2.4)2d M (x)2一 _q(x)dx26強度計算序號公式 名稱公式符號說明(6.1)第一 強度 理論：最大 拉應 力理 論。當31 =fu*t（脆性材料）時，材料發(fā)生脆性斷裂破壞。5 = fu .（塑性材料）(6.2)第二 強度 理 論：最大 伸長 線應 變理 論。巧-v（cr2 +%）

19、= fut （脆性材料人當1（ 23）、八時，材料發(fā)生脆性斷臣v （cr2十0） = fu （塑性材料 ）裂破壞。(6.3)第三 強度 理論：最大 剪應 力理 論。Cf3 = fy（塑性材料）當時，材料發(fā)生剪切破壞。眄_03 = fuc （脆性材料）(6.4)第四 強度 理論：八面 體面 剪切j1© _兀 2 +(6 - 兀 丫+92-03$1= fy(塑性材料) 當' 2（：狂 一22+（1_3j+（2_坊3j =fuc（脆性材料）時，材料發(fā)生剪切破壞。理 論。(6.5)第一 強度 理論 的相 當應 力*5 = 5(6.6)第二 強度 理論 的相 當應 力*2 = 口 1

20、V ( 2 * 口 3)(6.7)第三 強度 理論 的相 當應 力*口3 =口1 一口3(6.8)第四 強度 理論 的相 當應 力6片心 _6 $ +(d -6 j)(6.9a)由強 度理 論建 立的 強度 條件平(6.9b)(6.9c)(6.9d)由直 接試 驗建 立的 強度 條件CJt max -P c maxT<maxSt蘭®c(6.10a)(6.10b)軸心 拉壓 桿的 強度 條件N口 t max=蘭C t A|n|c max =蘭%A(6.11a(6.11b)(6.11c)(6.11d)由強 度理 論建 立的 扭轉 軸的 強度 條件5 =丐=Sax =丄蘭碼（適用于脆

21、性材料）WT6 =6 T （12+3） =Vmax 一¥（° Jax ） = （1 十十）已 max 乞碼"ax =二蘭旦丄（適用于脆性材料）Wt1 +v口3 =口1 口3 =可 max （巧 max ）= 2 可max 蘭口 £max - T（適用于塑性材料）WT2* h222 112工2工21=1 匕max-0 )+(0+max )+ ( 一 Jax一 Jax) J 2= U3Tmax 蘭【6Sax -豈L(適用于塑性材料)WtV3(6.11e由扭 轉試 驗建 立的 強度 條件Sax 勻可Wt(6.12a)(6.12b)平面 彎曲 梁的 正應MJma

22、x = 一 勻 6WZ力強 度條 件c maxM I-1 <c Wz(6.13)平面 彎曲 梁的 剪應 力強 度條 件VS；fax 蘭I；b(6.14a)(6.14b)平面 彎曲 梁的 主應 力強 度條 件<y3 = Jcr +蘭O'<y4 = Jb2蘭G(6.15a)(6.15a)圓截 面彎 扭組 合變 形構 件的 相當 彎矩*3=幻/ 2 2 2 *JM；+My+TM31 03 WW*Jm1才打 1j +(6$ 】2,2, 2 *；+M y +0.75TM4WW(6.16)螺栓 的抗 剪強 度條 件4NT -2 "n nd(6.17)螺栓 的抗 擠壓 強

23、度 條件bN”b耳=丁蘭叭遼t(6.18)貼角 焊縫 的剪Nw、£ =蘭0.7hf £ lw切強 度條 件7剛度校核序號公式名稱公式符號說明(7.1)構件的剛度條件J max丿J 1冬 l(7.2)扭轉軸的剛度條件T日max 一乞日Gl p(7.3)平面彎曲梁的剛度條件Vmax.V邑 ll壓桿穩(wěn)定性校核序號公式名稱公式符號說明（8.1）:兩端鉸支的、細2匸|I取最小值長壓桿的、臨界力的歐拉公式兀EIPer =2l2（8.2）細長壓桿在不同兀2 ElL 計算長度。支承情Per-.2況下的臨界力公式(心)2卩長度系數；工JIo =旳一端固定，一端自由：卩=2一端固定，一端鉸支：

24、卩=0.7兩端固定：k = 0.5（8.3）壓桿的柔度k i飛是截面的慣性半徑（回轉半徑）(8.4)壓桿的臨界應力PerJ =A2兀E cu 2X(8.5)歐拉公式的適用 范圍扎仝人p =fp(8.6)拋物線公式當九蘭扎=兀|E時，y 0.57 fy& 26 = fy1 a()扎fy 壓桿材料的屈服極限；G 常數，一般取G =0.43九2Per =6 A = fy1.A(8.7)安全系數法校核 壓桿的穩(wěn)定公式PerP < -Per kw(8.8)折減系數法校核 壓桿的穩(wěn)定性=匚蘭 .crA® 折減系數半_ 6 ，小于1G10動荷載序號公式名稱公式符號說明(10.1)動荷

25、系數*PdNd也 °pj Nj <Tj 糾P-何載 N-內力 口 -應力 -位移 d-動 j-靜(10.2)構件勻加速 上升或下降 時的動荷系數丄aKd =1 +_ga-加速度 g-重力加速度(10.3)構件勻加速 上升或下降 時的動應力aCTd = Kdbj = (1 +)6g(10.4)動應力強度條 件d max = K d j max 蘭<r桿件在靜何載作用下的容許應力(10.5)構件受豎直方 向沖擊時的動 荷系數H-下落距離12HKd =1 + 1 + (10.6)構件受驟加荷 載時的動荷系 數Kd =1+j1+0=2H=0(10.7)構件受豎直方 向沖擊時的動

26、荷系數丨 2IvKd =1 +1 +*gdjv-沖擊時的速度(10.8)疲勞強度條件p max 蘭。牡一KCTpr疲勞極限昌-疲勞應力容許值K-疲勞安全系數9能量法和簡單超靜定問題序號公式名稱公式(9.1)外力虛功：We = Rd +卩2也2 +M。3日3 +.=瓦 PI(9.2)內力虛功：W =送Md 日送 Jvd 心Y送Nda送Td®(9.3)虛功原理：變形體平衡的充要條件是：we+ W = 0(9.4)虛功方程：變形體平衡的充要條件是：We=_W(9.5)莫爾定理：=瓦 JM dT +無(V dAV +£N dAl +£ T d®(9.6)莫爾定理

27、：L M ML K V V 一送 fx +瓦dx1 ElGAl NN T T+送dx +送dxEAGl p(9.7)桁架的莫爾定理：NNA =X 1EA(9.8)變形能：U =-W （內力功）(9.9)變形能：U =We （外力功）(9.10)外力功表示的變形能：11 11U =+ P2 心 2 +.Pii =L PA2 2 2 2(9.11)內力功表示的變形能：2 2A=E（x）dx 書 fKV（X）1 2EI12 GA2 2. N (x)丄丁 J (x)dx +送 Jdx +送 | dx EA1 2GI p(9.12)卡氏第二定理：A血A =即i(9.13)卡氏第二定理計算位移公式：八丁，

28、M £M, ,KV 色A 送 Jdx +Z“ EI 第"GA BF丄 丁 , N £N丄 丁 , T £Tdx十送dx +送fdxTea 閉"gi p即(9.14)卡氏第二定理計算桁架位移公式：N £Ni1EA QP(9.15)卡氏第二定理計算超靜定問題：M cMBy L Jdx 0El cRb(9.16)莫爾定理計算超靜定問題：M M編=送 J x = 0 'EI(9.17)一次超靜定結構的力法方程：舀1 X1十心p = 0(9.18)X!方向有位移時的力法方程： 1 X1 + p (9.19)自由項公式：L M . M P

29、 Ap 瓦 JdxEl(9.20)主系數公式：2,M ,瓦二區(qū)（El dx(9.21)桁架的主系數與自由項公式：2% -送八1 1f EA丁NNpi&P =2° EA材料力學公式匯總、應力與強度條件341、拉壓Cmax<frmax2、剪切擠壓 ;擠壓p擠壓<A _3、圓軸扭轉Wt4、平面彎曲dmaxMWzmaxTmaxM max、，t maxIzM max y c maxI zQ S*max z maIz b<fcmax!tmax cnax355、斜彎曲 -max =6、拉（壓）彎組合M zWzmaxmax t maxM +<frNM+AWzz max

30、y t max<t< SIy c max注意：“5”與“ 6”兩式僅供參考7、圓軸彎扭組合：第三強度理論-：-''r3Wz2n第四強度理論、變形及剛度條件0.75MWzNLN i LiN (x)dx、拉壓.丄二二（EA-EAl EA2、扭轉示TL=T Li= Y =T xdxGI pGI p-GI pppp3、彎曲L180GI pJI(1) 積 分 法 ： Ely (x) =M (x)Ely '(x) = EI d(x) = M (x)dx ：；，CEIy (x) = M (x)dxdx 亠Cx 亠D疊加法：f P , P2 , = f P1 * f P2 +, ,P1, P2 =二卩1 =卩2 *，（3）基本變形表（注意：以下各公式均指絕對值，使用時要根據具體情況賦予正負號）AP!BMLEIML2EIPL22EIPL33EI3qL6 EI4 qL8EIL/2L/2qL3qLML6EI= 6 = fc亠384 EI（4）彈性變形能（注：以下只給出彎曲構件的變形能，并忽略剪力影響，其他變形與此相似，不予寫出）M 2 x dx2EIfc3EI2 ML16 EIfc