控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析

1、第八章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析、狀態(tài)空間的根本概念1. 狀態(tài)反響系統(tǒng)運(yùn)行狀況，并可用一個(gè)確定系統(tǒng)未來(lái)行為的信息集合。2. 狀態(tài)變量確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨(dú)立數(shù)目最少的 變量，如果給定了t二t。時(shí)刻這組變量的值/to X2t。Xnt。和t 仁時(shí)輸入的時(shí)間函數(shù) Ut，貝V系統(tǒng)在t - to任何時(shí)刻Xjt X2tXnt的行為就可完全確定。3. 狀態(tài)向量 以狀態(tài)變量為元素構(gòu)成的向量，即X(t) - %(t) X2(t)Xn (t) 14. 狀態(tài)空間以狀態(tài)變量 Xi t X2 tXn t為坐標(biāo)的n維空間。系統(tǒng)在某時(shí)刻的狀態(tài)，可用狀態(tài)空間上的點(diǎn)來(lái)表示。5. 狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量，輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組

2、。6. 輸出方程描述輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程。、狀態(tài)空間描述 狀態(tài)空間表達(dá)式 1. 狀態(tài)方程與輸出方程合起來(lái)稱為狀態(tài)空間描述或狀態(tài)空間表達(dá)式 , 態(tài)空 線性定常系統(tǒng)狀 間描述一般用矩陣形式表示，對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)有(8-1)(8-2)X(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t) 對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)有x(k +1)=Gx(k)+ Hu(k)、y(k) =Cx(k) + Du(k)2. 狀態(tài)空間描述的建立： 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可以由系統(tǒng)的微分方程，結(jié)構(gòu)圖 方框圖，狀態(tài)變量圖、傳遞函數(shù)或脈沖傳遞函數(shù)Z傳遞函數(shù)等其它形式的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出。3. 狀

3、態(tài)空間描述的線性變換及標(biāo)準(zhǔn)化 標(biāo)準(zhǔn)型 系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不是唯一的，狀態(tài)變量選擇不同，狀態(tài)空間描述也不一樣。用線性變換可將系統(tǒng)的矩陣 A 見(jiàn)式 8-1標(biāo)準(zhǔn)化為四種標(biāo)準(zhǔn)型：能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型、對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、傳遞函數(shù)矩陣及其實(shí)現(xiàn)1.傳遞矩陣G(s):多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出向量的拉氏變換與輸入向量的拉氏變換之間的傳遞關(guān)系稱為傳遞矩陣G(s)，即G(SA y(a)( 8-3)U(s)式中：U(s)系統(tǒng)的輸入向量Y (s)系統(tǒng)的輸出向量傳遞函數(shù)矩陣與多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的關(guān)系是：1G (s)二 C(sl -A) B D( 8-4 )上式中的A, B, C, D即為狀態(tài)空間描述A,B

4、,C,D?中的矩陣A,B,C,D。2. 傳遞矩陣G(s)的實(shí)現(xiàn)：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，尋找一個(gè)狀態(tài)空間描述A, B,C,D?，并滿足式(8-4)，那么稱；A, B, C,為G (s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)系統(tǒng)么，B,C,D?的階數(shù)等于傳遞函數(shù)矩陣G(s)的階數(shù)時(shí)，稱該系統(tǒng)1A,B,C, D為G(s)的最小實(shí)現(xiàn)。傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)并不唯一。實(shí)現(xiàn)的常用標(biāo)準(zhǔn)形式有：可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)，可觀標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)、對(duì)角型實(shí)現(xiàn)和約當(dāng)型實(shí)現(xiàn)等。四、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解2.計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)的方法1)級(jí)數(shù)展開(kāi)法AeAt= 1 At 丄 A2t2A丄 Antn2!k!2)拉氏變換法1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)(矩陣指數(shù)

5、函數(shù)eAt)及其性質(zhì)。(8-5)(t) = L-1 (sI _ A) j (8-6)3) 凱萊-哈密爾頓法(又稱待定系統(tǒng)法)(8-7 )n A(t) =eAt 八-k(t)Ak當(dāng)矩陣A的特征值S互異時(shí)，Pk(t)可由下式確定Le處理)172n2S5S!111neS2tS22S2152n 1SntSSs 一nnn當(dāng)矩陣A具有m重特征值S時(shí)，待定系數(shù):(其它相異特征值按式(8-8 )(8-8 )i(t) (i = 0,1 2,3m-1)，由下式確；o(t)I優(yōu)n JSi(n 1) snSi1!(n-1)(n-2)sit(n-1)!4)希爾維斯特(Sylvester )法Skt A - Sj IAt

6、e e(8-10 )口 Sk - SY k=0式中：Sk(k=1,2, n)-矩陣的特征值I 單位陣當(dāng)系統(tǒng)矩陣A的n個(gè)特征值互異時(shí)，用希爾維斯特方法求(t)最為簡(jiǎn)便。1?性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解1)齊次方程 x(t) = Ax(t)的解x(t) 二 (t)x(0)(8-11 )2)非齊次方程x(tH Ax(t) Bu(t)的解(8-12)8-2)所表示的離散化狀態(tài)空x(t) 二 (t)x(0): (t - )Bu( )d4?線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化對(duì)式(8-1)表示的系統(tǒng)進(jìn)行離散化，可導(dǎo)出如式(tnG(t)|y(8-13 )TH ()Bd.5. 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程求解1) 遞推法k_Jx(k)

7、=G kx(O) G k-LJHu(i) (k =1,2;)i=1 (8-14 )2) Z 變換法X(z) =(zl G)zX(O) (zl G)HU(z) (8-15 )五、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性間描述。其中 ,1.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判斷rank B AB AAnjA- n(8-16)1) 當(dāng)系統(tǒng) X =AX - Bu 中的 A 矩陣為對(duì)角陣且特征根互異時(shí)，輸入矩陣B 中無(wú)全零行。2) 當(dāng)A為約當(dāng)陣且相同特征根分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)，輸入矩陣B中約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的行中不全為零，且輸入矩陣中與相異特征根對(duì)應(yīng)的行不全為零。3) (si - A) 的行向量線性無(wú)關(guān)。4) 單輸入系

8、統(tǒng) A,B 為可控標(biāo)準(zhǔn)型。5) 單輸入/ 單輸出系統(tǒng)， 當(dāng)狀態(tài)空間描述導(dǎo)出的傳遞函數(shù)沒(méi)有零、 極點(diǎn)對(duì)消時(shí)， 系統(tǒng)可控， 可觀測(cè)。2?輸出可控型判據(jù)rank CB CABCAn4B D =q (C 陣的行數(shù))(8-17)1) 狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個(gè)不同的概念，其間沒(méi)有必然的聯(lián)系。單輸入/單輸出系統(tǒng)假設(shè)輸出不可控，那么系統(tǒng)或不可控或不可觀測(cè)。3?線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)型判據(jù)rank CTATCT(AT)nTCn(8-18)1) 當(dāng)系統(tǒng)的A陣為對(duì)角陣且特征根互異時(shí)，輸出矩陣C無(wú)全零列。2) 當(dāng)系統(tǒng)的A陣為約當(dāng)陣且相同的特征值分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)，輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列對(duì)應(yīng)的列不全為零，輸

9、出矩陣中與相異特征值對(duì)應(yīng)的列不全為零。3) C(sl - A)-的列向量線性無(wú)關(guān)。4)單輸出系統(tǒng)A C /為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型六、線性定常離散系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)型判據(jù)1.可控性判據(jù)rank H GH G 叮 H I- n(8-19)2.可觀測(cè)性判據(jù)rank CTGTCT (GT)nCT i -n(8-20)七、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反響與狀態(tài)觀測(cè)器1.狀態(tài)反響與狀態(tài)反響控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置1)狀態(tài)反響狀態(tài)反響是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反響系數(shù)，與參考輸入比擬后形成控制率，作為受控系統(tǒng)的控制輸入，即然后反響到輸入端式中:u(t) =r(t)-KX(t)(8-21 )r(t)-參考輸入K -反響系數(shù)

10、向量X(t)-狀態(tài)向量u(t)-控制輸入假設(shè)受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為(8-22(8-23 )X(t) = AX(t) Bu(t) y(t)二 CX(t) Du(t)將式(8-21)代入式(8-22 )可得:X(t) =(A_BK)X(t) +Br(t) y(t)=(C DK)X(t)+Dr(t)上式的簡(jiǎn)化寫法為A - BK,B,C - DK ,D 1 2)狀態(tài)反響控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置極點(diǎn)配置是通過(guò)計(jì)算選擇狀態(tài)反響陣 K，使得閉環(huán)控制系統(tǒng)-BK,B,C - DK,D ?的極點(diǎn)(即BK的特征值)正好處于所希望的一組極點(diǎn)的位置上。即令n(8-24)det Si - (A 一 BK)丨=：(s - )

11、i丄式中：r(i =1,2,n)為希望的一組閉環(huán)極點(diǎn)a) 用狀態(tài)反響實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充分必要條件是受控系統(tǒng)的狀態(tài)要 完全可控。狀態(tài)反響不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，只改變系統(tǒng)的極點(diǎn)。b) 在引入狀態(tài)反響后，系統(tǒng)的可控性不會(huì)改變，但可觀測(cè)性不一定與原系統(tǒng)一致。c) 對(duì)于單輸入系統(tǒng)，只要系統(tǒng)可控，那么必能通過(guò)狀態(tài)反響實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置，而且不影響系統(tǒng)零點(diǎn)的分布。除了受控系統(tǒng)的狀態(tài)要完 當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量不能全部 因此提出了用狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)重構(gòu)2 ?狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)1) 狀態(tài)觀測(cè)器：應(yīng)用狀態(tài)反響涉及狀態(tài)反響控制系統(tǒng)， 全可控外，還要求所有的狀態(tài)變量是可以量測(cè)的。 量測(cè)到時(shí)，實(shí)現(xiàn)完全狀態(tài)反響就會(huì)遇到困難，系統(tǒng)的全部狀態(tài)。故狀態(tài)觀測(cè)器又稱狀態(tài)估計(jì)器。2) 狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的方框圖如圖1.8-1的虛框所示。圖 1.8-1從圖1.8-1可以求出狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)方程和輸出方程(8-24 )乘=AX G (y ?) Bu二 AX G ( y C? ) Bu八(A-GC ) X Bu Gy0 = 0?8-25)狀態(tài)觀測(cè)器的反響矩陣 G 可由下式求出ndet Si -(A-GC) 1 = ： (s-；i)i 48-26 )式中：(i =1,2,n)為一組希望的，可任意配置的極點(diǎn)，它決