求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組修改整理-向量組的極大無(wú)關(guān)組及秩

1、.求向量組的秩與最大無(wú)關(guān)組一、 對(duì)于具體給出的向量組，求秩與最大無(wú)關(guān)組1、求向量組的秩即矩陣的秩的方法：為階梯形矩陣【定理】 矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩.(三秩相等)把向量組的向量作為矩陣的列或行向量組成矩陣A；對(duì)矩陣A進(jìn)展初等行變換化為階梯形矩陣B；階梯形B中非零行的個(gè)數(shù)即為所求向量組的秩【例1】求以下向量組a=(1, 2, 3, 4)，a2=( 2, 3, 4, 5)，a3=(3, 4, 5, 6)的秩.解1：以a,a,a為列向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為階梯形矩陣后可求.因?yàn)殡A梯形矩陣的列秩為2，所以向量組的秩為2解2：以a,a,a為行向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為

2、階梯形矩陣后可求.因?yàn)殡A梯形矩陣的行秩為2，所以向量組的秩為22、求向量組的最大線性無(wú)關(guān)組的方法方法1逐個(gè)選錄法給定一個(gè)非零向量組A：a1, a2, an 設(shè)a1 0，那么a1線性相關(guān)，保存a1 參加a2，假設(shè)a2與a1線性相關(guān)，去掉a2；假設(shè)a2與a1線性無(wú)關(guān)，保存a1，a2；依次進(jìn)展下去，最后求出的向量組就是所求的最大無(wú)關(guān)組【例2】求向量組：的最大無(wú)關(guān)組解：因?yàn)閍1非零，故保存a1 取a2，因?yàn)閍1與a2線性無(wú)關(guān)，故保存a1，a2取a3，易得a3=2a1+a2，故a1，a2，a3線性相關(guān)。所以最大無(wú)關(guān)組為a1，a2方法2初等變換法【定理】矩陣A經(jīng)初等行變換化為B，那么B的列向量組與A對(duì)應(yīng)的

3、列向量組有一樣的線性相關(guān)性.證明從略,下面通過(guò)例子驗(yàn)證結(jié)論成立.向量組：a1=(1,2,3)T, a2=(-1,2,0)T, a3=(1,6,6)T由上可得，求向量組的最大線性無(wú)關(guān)組的方法：1列向量行變換把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；對(duì)矩陣A進(jìn)展初等行變換化為階梯形矩陣B；A中的與B的每階梯首列對(duì)應(yīng)的向量組，即為最大無(wú)關(guān)組【例3】求向量組：a1=(2,1,3,-1)T, a2=(3,-1,2,0)T, a3=(1,3,4,-2)T, a4=(4,-3,1,1)T的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組, 并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示。解 以a1,a2,a3,a4為列構(gòu)造矩陣A, 并實(shí)

4、施初等行變換化為行階梯形矩陣求其秩：知r(A)=2, 故向量組的最大無(wú)關(guān)組含2個(gè)向量而兩個(gè)非零行的非零首元分別在第1, 2列, 故a1,a2為向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組事實(shí)上，知r(a1,a2)=2, 故a1,a2 線性無(wú)關(guān)為把a(bǔ)3,a4用a1,a2線性表示, 把A變成行最簡(jiǎn)形矩陣記矩陣B=(b1,b2,b3,b4),因?yàn)槌醯刃凶儞Q保持了列向量間的線性表出性，因此向量a1,a2,a3,a4與向量b1,b2,b3,b4之間有一樣的線性關(guān)系。因此a3=2a1-a2, a4=-a1+2a2【例4】求以下向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，其中：解：以給定向量為列向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為階梯形矩陣B再利用

5、初等行變換，將B再化成行最簡(jiǎn)形矩陣C.初等矩陣A, B, C初等變換行作為求秩無(wú)關(guān) B 中見(jiàn)線性無(wú)關(guān) C 做陪用最大線性無(wú)關(guān)組表示其它向量的方法為：把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；對(duì)矩陣A進(jìn)展初等行變換化為階梯形矩陣B；把階梯形B進(jìn)展初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣C；根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣列向量的分量，用最大無(wú)關(guān)組表示其它向量【例5】求向量組，的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.解：(1) 當(dāng)且時(shí)，故向量組的秩為3，且是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組；(2) 當(dāng)時(shí)，故向量組的秩為3，且是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組；(3) 當(dāng)時(shí)，假設(shè)，那么，此時(shí)向量組的秩為2，且是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.假設(shè)，那么，此時(shí)向量組的秩為3，且是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.2行

6、向量列變換同理, 也可以用向量組中各向量為行向量組成矩陣即列向量的轉(zhuǎn)置矩陣, 通過(guò)做初等列變換來(lái)求向量組的最大無(wú)關(guān)組?！纠?】求向量組，的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.解：以給定向量為行向量作成矩陣A，用初等列變換將A化為行最簡(jiǎn)形:行向量列變換由于的第1，2，4個(gè)行向量構(gòu)成的向量組線性無(wú)關(guān)，故是向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.方法3 線性相關(guān)法了解假設(shè)非零向量組A：a1, a2, an線性無(wú)關(guān)，那么A的最大無(wú)關(guān)組就是a1, a2, an假設(shè)非零向量組A線性相關(guān)，那么A中必有最大無(wú)關(guān)組二、對(duì)于抽象的向量組，求秩與最大無(wú)關(guān)組常利用一些有關(guān)的結(jié)論，如：1、假設(shè)向量組()可由向量組()線性表示，那么()的秩不超過(guò)()的秩2、等價(jià)向量組有一樣的秩3、秩為的向量組中任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是該向量組的最大無(wú)關(guān)組【例7】設(shè)向量組的秩為.又設(shè)，求向量組的秩.解 法1：由于，且，所以，故向量組與等價(jià)，從而的秩為.解法2：將看做列向量，那么有，其中 可求得0，即可逆，從而可由線性表示，由可由線性表示，故這兩個(gè)向量組等價(jià)，即它們有一樣的秩.【例7】設(shè)向量組()：和向量組()：的秩分別為和，而向量組()：的秩為.證明：