數學建模房地產問題

1、數學建模優(yōu)秀論文二抑制房地產泡沫問題摘要:房價作為一種價格杠桿,在引導房地產可持續(xù)發(fā)展和抑制房地產泡沫將起到積極的作用。科學合理地制定房價,對房地產的發(fā)展具有重要意義。本文先從產生房地產泡沫的原因談起,找出影響房產的相關因素,然后從房地產開發(fā)商和消費者兩個方面展開討論,得出兩個不同的模型。模型一從開發(fā)商的角度建立模型,運用定性的分析方法,分析一個商場中只有一個房地產開發(fā)商,兩個開個商和多個開發(fā)商的情況,運用博弈論的方法給出不同的模型,給出一個從特殊到一般的數學模型,并運用相關的經濟理論進行解釋;模型二從消費者的角度建立模型,運用有效需求價格,動態(tài)地確定消費者的房價的范圍。在此基礎上,采用一元線

2、性回歸,通過推導出的模型和運用大量的數據對模型的進行驗證和分析,得出房價與其中幾個主要因素的關系:主要因素回歸方程復相關系數RGDP與房價0.98135人口密度與房價0.55250人均可支配收入與房價0.93943影響當前房價的主要因素,如社會因素包括國民經濟的發(fā)展水平、相關稅費、居民的收入、政策導向、社區(qū)位置等,自然因素包括地價、建安成本和開發(fā)商利潤等;并在分析影響房價的諸多因素之后,提出了八點政策性建議。綜上所述,運用我們的模型得出相應的房價,然后利用我們相應的政策作為指導,我國的房地產不但會抑制房地產泡沫問題,而且我國的房地產市場將得到持續(xù)健康地發(fā)展。一問題重述近幾年來,我國各大城市的房

3、價出現了普遍持續(xù)上漲、高居不下的情況。房價的上漲使生活成本大幅增加,導致許多中低收入人群買房難。因此如何有效地抑制房地產價格上揚,是一個備受關注的社會問題。現在請你就以下幾個方面的問題進行討論:1.建立一個城市房價的數學模型,通過這個模型對房價的形成、演化機理進行深入細致的分析;2.通過分析找出影響房價的主要因素;3.給出抑制房地產價格的政策建議;4.對你的建議可能產生的效果進行科學預測和評價。二合理假設1、在某個城市中有多個房地產開發(fā)商,不存在完全壟斷的現象2、某一城市的商品房的定價是經過綜合分析之后的出來的3、我們在求房價的過程中不考慮套利的情況4、所在的城市物價和其他情況相對比較穩(wěn)定,全

4、局內沒有大起大落的現象三符號說明- 其它消費品- 房地產- 其它消費品的價格- 房地產的價格- 消費函數- 居民支配消費總額四問題分析所謂房地產泡沫就是指房地產商品的預期價格被大大的高估,從而導致各類投機資本的紛紛進入,通過惡性炒作將現期房地產價格大大抬高。使其價格遠遠高于其實際價值,從而產生房地產泡沫。房地產的基本載體是土地。由于土地的不可再生性、稀缺性與供給無彈性將決定土地的升值性。從而使房地產也具有升值趨勢。正是由于這一因素才會導致各類房地產投機者進行投機。土地市場是整個社會市場體系中市場等級較低的基礎市場之一,因此社會經濟的泡沫現象往往先出現在土地市場,然后泡沫向其他市場輸出,并最終沉

5、淀在土地市場,因此泡沫的代價往往最終由土地市場承擔。為了抑制房地產泡沫,我們必須采取一切可能的方法來控制房地產的價格,來保證人民能夠有房來住,通過分析可知,房地產的價格=地產價格+房產價格房地產價格,土地價格,房產價格由于房產和地產具有自身的特點,而決定了房產的價格在數上是逐漸減少的變動趨勢,而地產的價格或地租在數量上則是一個逐漸增加的變動趨勢。如下圖一:圖一由圖(一可以看出房地產的增值性主要是由地產的升值性所決定的。當地產的價格或地租逐漸增加的變動趨勢超過房產價格逐漸減小的趨勢,則房地產表現為增值性。正是因為土地和房產具有這一特性,決定了房地產發(fā)生泡沫現象主要取決于土地的泡沫.我們又知道房地

6、產價格是人們對房地產效用(能夠滿足人們某種欲望的能力的認識、房地產的相對稀缺性我和對房地產的有效需求三者共同作用下而產生的以貨幣形式來表示的房地產的交換價值.其中是消費函數,消費束是指人們可以購買一系列商品(消費品;最大化消費束是指人們購買消費品中購買欲望最大的那些商品.那么消費預算中有:-約束條件那么有設效用函數是可微的,那么解效用最大化問題的拉格朗日函數可能寫成:其中是拉格朗日乘數。求拉格朗日函數分別對求一階偏導數并之為零得出:消去拉格朗日乘數,得:我們稱該等式左邊為其它消費品與住宅的邊際替代率,等式右邊的部分稱為其它消費品和住宅的經濟替代率。為實現效用最大化該兩個替代率必須相等.該過程我

7、們可以用圖二加以說明:圖二如果我們取居民開始的無差異曲線為,那么其預算約束線為,我們從圖(二中可以看出,在約束下居民最佳的住宅與其它消費品結合點為.即在點處可滿足居民總效用的最大并且使得總的費用最少。如果當地價或租金下降,而其它條件保持不變,就會出現下面的情況,相對土地預束線表現為向右移,且止于,并與另一條假定的無差異曲線場F2相切于點。在點處也可滿足居民消費總效用之最大化并且使得總的費用最少。從從圖 1 中可以得出,第一種情況下所要求的住宅效用為;第二情況下所需要住宅效用為。由于所以。我們得出以下結論:當對住宅的消費量增加,房地產價格下降時,將使居民房地產消費增加,這和普遍的市場需求規(guī)律相適

8、應。由此我們進一步得出房地產價格是由人們對房地產的需求決定的。對當前房地產價格初步分析,也是由于人們對房地產需求所導致的。當人們對房地產需求越大,房地產的價格就越高,相反,價格就低。此外由于土地具有不可再生的特性.所以其稀缺性比較高。再加上房地產是人類生活的基本物質資料。因此,其稀缺性比其它經濟商品更被看重。房地產的價格被看作是稀缺性的價值反映。可以認為房地產價格是在結合效用和稀缺性后發(fā)生的。綜上所述,房地產價格的產生是由房地產的效用、稀缺性和對房地產的有效需求三者所構成,而且是由這三者相互結合才能發(fā)生。五模型的建立及求解房價高,對社會影響大,引起社會各方面的注意,與大家都有著關系。對政府來說

9、,要促使社會經濟平衡發(fā)展,保證社會政治穩(wěn)定.需要通過各種手段適度控制房地產市場的發(fā)展,防止出現的泡沫;對于購房者來說,當然希望房價不要過高,尤其是中低收人者,希望政府有對他們傾斜的購(租房政策,讓他們買(租得起房。雖說購房群體是有分類的,但由于高端房價上升和實際成本增加,也會引起低端房價乘勢上升,使中低收人者望房興嘆;對于理智誠信的開發(fā)商來說,他們關心的是利潤空間,也不希望房價過高,因為過高的房價會帶來高風險。因此無論從哪個方面看,我們都希望能夠得到合理的房價定價模型,給出合理的售價將對政府,購房者,開發(fā)商都是有利的。一、我們從開發(fā)商的角度來建立定價模型。房地產開發(fā)商蓋房子,在確定房價的過程中

10、,是以追求利潤最大化為目的的。再加上中國土地一級市場的壟斷,開發(fā)成本和交易信息尚不成熟,以及作為大宗資產交易的相對不容易等,很難給出一個城市一個統(tǒng)一的房產定價,面對這種情況,我們只能根據各個開發(fā)商自己的情況,制定出一個城市各個開發(fā)商相對合理的房價模型。首先,我們在制定商品房的房價的過程中,應該考慮到住宅商品房的成本價格是從房地產商品開發(fā)生產、供給這一角度出發(fā)的,即:房地產成本價格=總開發(fā)成本+開發(fā)商利潤+銷售稅費+其他費用(1(一、整個市場只有一個房地產商開發(fā)時,即周圍無競爭對手時,這時房地產商處于完全壟斷的地位,這對房地產開發(fā)商定價的原則是使其利潤最大化。根據經濟學原理,房地產開發(fā)商可采取下

11、面幾種方法:1 .房地產規(guī)模未定時:房地產開發(fā)商可以根據自己的收益函數與成本函數來決定它的開發(fā)規(guī)模,從而在它的需求函數上決定房價。2 .房地產規(guī)模已定時:房地產開發(fā)商可以直接在它的需求函數上決定房價。(二、整個市場有兩個房地產開發(fā)商時,當他們不是同時定價時,即有一房地產商1 已定價其房價為,則另一房地產商2 定價時,與前房地產商1 構成了子博弈完美納什均衡,他們的博弈過程如下:房地產商2 根據房地產商1 的定價,決定自己的定價,然后房地產商1 根據房地產商2 的定價,又修改自己的定價。如此反復直至納什均衡?？紤]房地產商品的特性和現實情況,我們只考慮兩階段博弈過程的定價。假設房地產開發(fā)商1 價格

12、為,其需求函數為:房地產開發(fā)商2 價格為,其需求函數為:其中,表明兩房產有一定替代性。我們同樣假設兩房地產開發(fā)商無固定成本,邊際成本分別為和在該博弈中,兩博弈方為開發(fā)商1 和開發(fā)商2 他們各自的策略空間為,其中和是開發(fā)商1和開發(fā)商2還能賣出房產的最高價格;兩博弈方的得益就是各自的利潤,即銷售收益減去成本,也即雙方價格的函數:由于本博弈是一個動態(tài)博弈,因此我們考慮用逆推歸納法來分析。通過逆推歸納法,可得出:房地產商1 的定價為:房地產商2的定價為:由上述可以看出,同一地方的房價可以有所不同,房價的取決是由開發(fā)商各自需求函數和雙方博弈得出的結果。然而一個城市往往有多個開發(fā)商,各個開發(fā)商所定的房價又

13、往往不同,對于這種情況,我們考慮他們的房產是有所區(qū)別的同種商品,故他們處于壟斷競爭狀態(tài)。我們同樣用伯特蘭德模型來求解:假設房地產開發(fā)商1,2.n 價格分別為,他們的需求函數分別為:我們同樣假設房地產開發(fā)商無固定成本,邊際成本分別為和。在該博弈中,博弈方為開發(fā)商1,2n;他們各自的策略空間為和,. ,其中是開發(fā)商1,2,.n還能賣出房產的最高價格;博弈方的得益就是各自的利潤,即銷售收益減去成本,他就是價格的函數:因此,在本博弈中,納什均衡的充分必要條件是只,的最大值問題。即只需要求出各房地產開發(fā)商對其他房地產開發(fā)商的反應函數,然后解出它們的交點就可以了。二、每一個事物的存在和發(fā)展往往有兩面性,在

14、從開發(fā)商的角度給出定價模型之后,我們發(fā)現該定價模型的有利者必定是開發(fā)商,不能充分考慮其購買者的利益,所以我們下面從購買者的角度來給出定價模型。從房地產的有效需求出發(fā)給出購買者相對滿意的有效需求價格定價模型。對于購買者而言,量入為出,是消費的基本原則,居民買房時總會根據自己家庭收入的多少來決定是否購房、所購房屋位置及戶型面積等,當然,一旦決定買房,多半采取個人住房抵押貸款方式,而不是等攢夠錢到十幾年后才消費。我國城市居民所能承受的住宅商品價格可以表示為:其中:-有效需求價格;-居民家庭年可支配收入額;-抵押貸款價值比率(貸款成數;-個人住房抵押貸款月利率;-個人住房抵押貸款月份數;-月收入中可用

15、于償還個人住房抵押貸款的最高比例;-按居民有效需求決定的戶型面積;居民購房能力除了受月償還額高低影響外,還受到按揭貸款首付款的制約,若家庭目前資產為,該資產中可用于一次性支付首付款的最高比率為,這主要指變現能力強的流動資產,即房價還受到如下公式的約束:因此,我國城市居民最高所能承受的住宅商品房有效需求價格模型為:我們引進一組數據來求出我們當前的有效需求價格(以2001年為例,見表一。12個大中城市居民收入和房價情況按2001年人均收入排序城市人均可支配收入人均可支配收入遞增(% 按2001年收入計的6倍房價2001年2000年1999年2001年比2000遞增2000年比1999年遞增2001

16、年戶均人量(人 收入6倍的房價(元/M21 北京11577.78 10349.7 9182.8 11.87 12.7 3.03 26312 上海12883.46 11718.0 10931.6 9.95 7.23 28993 天津8958.70 8140.5 7649.8 10.05 6.4 3.09 20764 重慶6721.09 6276.0 5896.0 7.09 6.4 3.05 15375 廣州14418.21 13621.8 12326.0 5.85 10.5 3.12 33736 深圳2267.59 21577.2 20548.4 5.08 5.0 3.33 56627 福州90

17、53.30 8300.4 7413.8 9.07 12.0 3.26 22148 大連7418.16 6860.6 6274.0 8.13 9.3 3.09 17199 濟南9564.88 8471.3 7162.5 12.91 18.3 3.02 216610 武漢7305.05 6760.6 6262.1 12.51 5.0 2.97 161811 西安6704.86 6364.2 5998.8 5.35 6.1 3.03 152412 銀川 6256.61 5621.5 5167.7 11.30 8.8 2.93 1375 表一 (資料來源:2001 年國家信息中資料 我們通過該模型求出

18、了住宅商品房的有效需求價格。如表二,我們選擇直轄市及不同人均收 入段的 12 個城市作分析，由于我國恩格爾系數還偏高，因此月還本付息以不高于家庭月收 入的 35%為宜，為求得居民可承受的最高房價，分析時月還款額取高值即按 35%計(即 ， 戶型面積取 ，按揭貸款選 15 年期（即 ） ，五年期以上貸款利率均為 5.04%，則月利率為 0.42%（ ） ，銀行一般采用 7（即 ）成按揭，即可求出 2001 年這 12 個城市居民可接受的住 宅商品有效需求價格， 這是在居民有能力支付首付款的情況下表 2,確定的住宅商品房有效需 求價格，都在收入的 6 倍以下，是相應城市居民目前可以接受的最高價格。

19、當然，表中數據 僅反映在 2001 年城市居民收入水平上的有效需求價格，隨著居民收入水平的不斷提高，它 們會動態(tài)地變化著，并逐步向市場價格靠攏。 12 個大中城市的住宅商品房的有效需求房價 城市 2001 年居民人均可支配收入 家庭戶均人數 家庭年均可支配收入 按收入的 6 倍確定 的房價(元/M2 按有效需求模型求得的房價(元/M2 北京 11577.78 3.03 35080.7 2631 2312.97 上海 12883.46 3 38650.4 2899 2548.33 天津 8958.70 3.09 27682.4 2076 1825.18 重慶 6721.09 3.05 20499

20、.3 1537 1351.58 廣州 14418.21 3.12 44984.8 3373 2965.97 深圳 22672.59 3.33 75499.7 5662 4977.91 福州 9053.30 3.26 29513.8 2214 1945.92 大連 7418.16 3.09 22922.1 1719 1511.32 濟南 9564.88 3.02 28885.9 2166 1904.53 武漢 7305.05 2.97 21696 1618 1430.48 西安 6704.86 3.03 20315.7 1524 1339.47 銀川 6256.61 2.93 18331.9 1

21、375 1208.67 表二 從表二數據中我們得到下面圖三： 圖三 我們從上表中看出按有效需求模型求得的房價比按收入的 6 倍確定的房價略低。 從各個城市 比較看， 沿海發(fā)達地區(qū)的有效需求房價偏高， 而內陸欠發(fā)達地區(qū)的有效需求房價相對比較低。 六 模型的檢驗及應用 我們從上述建立的模型 可以看出， 影響其房價的最主要因素之一是 ， 也就是家庭年均可支 配收入。下面我們從其他方面來找出影響房價的主要因素。 一個城市的房屋價格一般被認為與其經濟發(fā)展水平、 居民的收人水平、 城市魅力等因素有關。 城市魅力因素不能直接表達，用人口密度近似替代。其它變量采用家庭可支配收人、人均 GDP。下面我們就從各個

22、方面來考慮房價與其聯系。 我們以公開數據(摘自中國統(tǒng)計年鑒為基礎，對當前影響全國房地產價格的主要因素進 行了分析和討論。 （一）我們選取了 1992 年至 2002 年 GDP 總量與全國的平均房價之間的關系進行分析。 、 (見 下表三 1992 年至 2002 年 GDP 總量與全國的平均房價 年份 GDP 總量(億元 商品房平均銷售價格(元/平方米 1992 26651.9 1050 1993 34560.5 1280 1994 46670.0 1409 1995 57494.9 1710 1996 66850.5 1806 1997 73142.7 1997 1998 76967.2 2063 1999 80579.4 2053 2000 88228.1 2112 2001 94346.4 2170 2002 102398.0 2250 (資料來源：中國統(tǒng)計年鑒 表三 首先對兩者的相關性進行分析，結果兩者的相關系數 R=0.98135。然后檢驗我國 GDP 對房 價的影響。在此以每年 GDP 總量為自變量，房價為因變量，用最小二乘法求得在最大似然 估計值的情況下得下式： 其中 ， 由此我們得到最小二乘法的回歸方程為： 將表一中的數據代入的：