數(shù)學(xué)建模的教學(xué)思考

1、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)思考鎮(zhèn)海應(yīng)行久外語實(shí)驗(yàn)學(xué)校 傅紅燕我在初二年級上綜合數(shù)學(xué)課時，師生共同列選題.有個淘氣的男孩子提出：怎樣燒開水最快最省煤氣，得到了另外不是很優(yōu)秀的學(xué)生的支持.在課后，他們以“怎樣燒開水最快最省煤氣”為課題，制定了工作方案，開始做實(shí)驗(yàn)，試著用數(shù)學(xué)方法解釋問題.看到他們的最初報告時，我又高興又嘆氣，高興的是小淘氣寫出了第一份報告，有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，有結(jié)論.嘆氣的是每個人在家只測出了一組數(shù)據(jù)，綜合著就下結(jié)論了，而且文筆不太講究.我說：“三組數(shù)據(jù)可看不清楚用氣量的變化情況.”于是他們又討論，回家連續(xù)燒開水，寫報告.我見到的第二份報告盡管還不很理想，但比第一次大有進(jìn)步，可喜的是，他們還畫出了坐標(biāo)

2、圖.我又問：“煤氣灶的旋鈕位置與燒開水是什么關(guān)系？”他們回答：“只要把旋鈕位置固定，用氣量就定了.”這個教學(xué)實(shí)踐讓我深深地感到數(shù)學(xué)建模的重要意義,由此也引發(fā)了自己對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思考.數(shù)學(xué)建模是有對實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化，建立數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，解釋、驗(yàn)證等這幾個步驟組成的過程.其思想及操作框圖如下：數(shù)學(xué)建模從現(xiàn)實(shí)世界提取信息，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，由數(shù)學(xué)問題的解，轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.可以說有數(shù)學(xué)應(yīng)用的地方就有數(shù)學(xué)建模.現(xiàn)在，數(shù)學(xué)建模已成為國際數(shù)學(xué)教育中穩(wěn)定的內(nèi)容和熱點(diǎn)之一.隨著新頒發(fā)的課程標(biāo)準(zhǔn)中對數(shù)學(xué)應(yīng)用能力要求的提高，數(shù)學(xué)建模將在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中越來越受到人們的重視.一、引言過去的數(shù)

3、學(xué)教育忽視數(shù)學(xué)應(yīng)用是付出了代價的，過去的教育使現(xiàn)在工作在社會上的多數(shù)人講不清楚數(shù)學(xué)有什么用，更不能自覺地用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，以致于出現(xiàn)如下之荒謬：把商店“買100送20”的促銷方法認(rèn)為是商品打8折；認(rèn)為“降水概率50%”是有一半地區(qū)下雨；興高采烈買回的10速自行車竟只有6速（只要簡單地計算齒輪比，就可以發(fā)現(xiàn)一些檔差異無幾）.在現(xiàn)代的經(jīng)濟(jì)社會里，在高速發(fā)展的信息時代，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用取得巨大的成功，數(shù)學(xué)幾乎滲透了社會的每一個領(lǐng)域和學(xué)科，發(fā)揮了實(shí)質(zhì)性的作用.“高科技本質(zhì)上數(shù)學(xué)技術(shù)”（David. 曾任美國總統(tǒng)顧問），“數(shù)學(xué)在人們社會生活中的作用起了革命性的變化”“數(shù)學(xué)能力成為人們?nèi)俚姆▽殹保ńx

4、.中科院院士）.這次課程改革非常重視數(shù)學(xué)應(yīng)用.在全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的課程目標(biāo)中，要學(xué)生能夠“初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會、去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識”. 在全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確了這樣的理念：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，開展“數(shù)學(xué)建模”的學(xué)習(xí)活動，設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課程.高中數(shù)學(xué)課程力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力.雖然課程標(biāo)準(zhǔn)對高中要求更高，但對初中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)也起到了指導(dǎo)意義.這些要求不

5、僅符合數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，也是社會發(fā)展的需要.因?yàn)槲覀兊臄?shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識而且要提高學(xué)生的思維能力，要培養(yǎng)學(xué)生自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去考慮和處理日常生活、生產(chǎn)中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質(zhì)，造就一代具有探索新知識，新方法的創(chuàng)造性思維能力的新人.二、提高我們教師自己的數(shù)學(xué)建模素質(zhì)著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說：“數(shù)學(xué)就是對于模式的研究”.為了培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)首先需要提高自己的建模意識.這不僅意味著我們在教學(xué)內(nèi)容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學(xué)觀念的更新.教師除需要了解數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要不斷地學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)建模理論，并且努力鉆研如何把中學(xué)數(shù)學(xué)

6、知識應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活.北京大學(xué)附中張思明老師對此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一則廣告：“本店承接A1型號影印.”什么是A1型號？在弄清了各種型號的比例關(guān)系后，他便把這一材料引入到初中“相似形”部分的教學(xué)中.這是一般人所忽略的事，卻是數(shù)學(xué)教師運(yùn)用數(shù)學(xué)建模進(jìn)行教學(xué)的良好機(jī)會.其次，數(shù)學(xué)建模教學(xué)還應(yīng)與現(xiàn)行教材結(jié)合起來研究.教材（特別是幾何部分）每章開始都配有反映實(shí)際問題的插圖，抽象出各章主要的數(shù)學(xué)模型，并且概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，一般也是由實(shí)際問題出發(fā)抽象出來的，反映了數(shù)學(xué)建模思想.“數(shù)學(xué)模型就是一種符號模型，狹義的解釋就是反映特定的具體實(shí)體內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”.作

7、為一種思想方法，數(shù)學(xué)建模思想可以與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)相依隨，經(jīng)常滲透，逐漸升華.比如折疊、拼剪問題就可以讓學(xué)生折一折、擺一擺、拼一拼、畫還不是成功的構(gòu)建出幾何模型一筆畫問題 ,才使問題得以解決的.因此，只要我們深入鉆研教材，挖掘教材所蘊(yùn)涵的應(yīng)用數(shù)學(xué)的材料，并從中總結(jié)提煉，就能找到數(shù)學(xué)建模教學(xué)的素材.三、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解能有顯著的提高，這種作用是不容忽視的.因此我結(jié)合正常的教學(xué)內(nèi)容,一方面滲透建模思想,另一方面根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)確定相應(yīng)的思維訓(xùn)練側(cè)重點(diǎn),創(chuàng)設(shè)出集建模思想滲透與思維訓(xùn)練于一體的教學(xué)方案，達(dá)到深化、理解知識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,強(qiáng)化應(yīng)用

8、意識的目的,促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高. 1以實(shí)際應(yīng)用問題的教學(xué)為突破口 在中學(xué)階段,列方程解應(yīng)用題不僅是一種典型的數(shù)學(xué)模型方法,而且又是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,因此,在教學(xué)中充分認(rèn)識這一雙重特點(diǎn),結(jié)合素質(zhì)教育這一總體目標(biāo)來制定列方程解應(yīng)用題這一階段性的具體目標(biāo)，以此為突破口,培養(yǎng)學(xué)生建模意識. 同時,結(jié)合近年來素質(zhì)教育中出現(xiàn)的應(yīng)用型問題,和教材中典型的數(shù)學(xué)建模題對學(xué)生進(jìn)行模仿訓(xùn)練,打開學(xué)生創(chuàng)新意識的思維寶庫.例如：（1）平均增長率問題，包括產(chǎn)量、繁殖、資金、利率、衰變、裂變等，可以建立冪、指、對數(shù)函數(shù)或方程模型.（2）最大最小問題，包括面（體）積最大（?。?、用料最省、費(fèi)用最低、效益最好等，可以建立函數(shù)或

9、不等式模型.（3）行程、工程、濃度問題，可以建立方程（組）、不等式（組）模型.（4）拱橋、炮彈發(fā)射、衛(wèi)星軌道問題，可以建立二次曲線模型.（5）測量問題，可以建立解三角形模型.（6）計數(shù)問題，可以建立排列組合模型.  結(jié)合教材內(nèi)容，還可以提出或構(gòu)作一些比較淺顯的建模問題. 例如學(xué)了不等式證明之后，可以提出如下問題：  建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10，并且這個比越大，住宅的采光條件越好.問同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由.  分析：這是一個優(yōu)化問

10、題.欲知住宅的采光條件是變好還是變壞，就是看同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，窗戶面積與地板面積的比是變大還是變小.設(shè)原來的窗戶面積和地板面積分別為（平方單位），同時增加的面積為（平方單位），則原實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為在約束條件，下，比較與的大小.由不等式知識可知，采光條件變好了.有些數(shù)學(xué)問題，如果將其抽象的特征具體化，則可建立直觀、實(shí)際的模型，使問題的解決更加簡捷明了.  2、授之以漁原則雖然數(shù)學(xué)建模的目的是為了解決實(shí)際問題，但對于中學(xué)生來說，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要目的并不是要他們?nèi)ソ鉀Q生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題，而是要培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，掌握數(shù)學(xué)建模的方法，為將來的工作打下堅實(shí)的基礎(chǔ).

11、因此，在教學(xué)時，授之以漁，尤其注重培養(yǎng)學(xué)生從初看起來雜亂無章的現(xiàn)象中抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題的能力，即培養(yǎng)學(xué)生把客觀事物的原型與抽象的數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起的能力.比如我曾以一道開放題-“王老吉易拉罐的尺寸為什么是這樣的”為例進(jìn)行教學(xué)：先讓學(xué)生測量出聽裝345ml王老吉易拉罐的高和底面直徑（高約為12.3cm，底面直徑為6.6cm）.然后圍繞廠家為什么采用這樣的尺寸，同學(xué)們展開了熱烈的討論.有的同學(xué)從審美角度去考慮（是否滿足“黃金分割率”）；有的同學(xué)從經(jīng)濟(jì)效益的角度去考慮（是否用料最省，工時最?。?；有的同學(xué)從生理學(xué)的角度去考慮（是否手感最好，飲用最方便）雖然最后沒有得到一個一致的、十分完美的結(jié)論，但這節(jié)課

12、對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和發(fā)散性思維能力起著十分重要的作用.引導(dǎo)學(xué)生通過對日常生活的觀察，自己選擇實(shí)際問題進(jìn)行建模練習(xí)，從而讓學(xué)生嘗到數(shù)學(xué)建模成功的“甜”和難于解決的“苦”，能拓寬視野、增長知識、積累經(jīng)驗(yàn).這亦符合玻利亞的“主動學(xué)習(xí)原則”，也正所謂“學(xué)問之道，問而得，不如求而得之深固也”.比起學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)理論，學(xué)習(xí)與實(shí)際緊密相連的數(shù)學(xué)建模對學(xué)生更有吸引力，能夠引起學(xué)生興趣并且能用他們熟悉的數(shù)學(xué)解決的問題還有很多，在教學(xué)中改編的有：  （1）美國和其他國家一樣，每年汽車要交一次牌照稅，收據(jù)上除了年份還有月度.難道車牌每月都要交一次稅嗎？不是，原來收據(jù)上的月份是車主的出生月份，規(guī)定當(dāng)

13、年的車牌稅必須在車主出生月份去辦理試從概率論的角度分析這樣做的好處.  （2）20世紀(jì)是世界人口增長率最快的一段時期，聯(lián)合國人口基金組織把1999年10月12日定為世界60億人口日并預(yù)測到2013年將達(dá)到70億，2028年將達(dá)到80億，2054年將達(dá)到90億.請對未來約半個世紀(jì)的世界人口增長率做出分析，并制出圖表說明，等等.學(xué)生對這些問題的研究，無疑會激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性，且能開拓學(xué)生創(chuàng)造性思維能力，養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問題，獨(dú)立思考的習(xí)慣.  另外，數(shù)學(xué)建模工作的一部分可以但磨刀不誤砍柴功，所花時間是值得的. 綜上所述，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中與素質(zhì)教學(xué)所要求的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力是相輔相成，密不可分的.要真正培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，光憑傳授知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們的一切教學(xué)活動必須以調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主活動，自覺的在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識，只有這樣才能使學(xué)生分析和解決問題的能力得到長足的進(jìn)步，也只有這樣才能真正提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué).我