數(shù)學(xué)建模教學(xué)輔導(dǎo)

1、數(shù)學(xué)建模教學(xué)輔導(dǎo) “數(shù)學(xué)建模”課程是中央廣播電視大學(xué)理科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（本科）的一門必選課程。本課程的培養(yǎng)目標(biāo)是使學(xué)員學(xué)會如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，從而利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，因此，不論是學(xué)習(xí)還是考核，本課程都與通常的數(shù)學(xué)課程不同。本課程教學(xué)特點(diǎn)：（1）通過一些典型實(shí)例介紹數(shù)學(xué)建模的基本概念、特點(diǎn)、功能和基本方法與基本步驟. 這一部分是學(xué)好建模課程的基礎(chǔ)，務(wù)請引起重視。（2）介紹最常見的四類基本數(shù)學(xué)模型的建立方法及相關(guān)學(xué)科知識。并通過一些典型實(shí)例加以詳盡說明.（3）為學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)一步了解一個常用的建模方法層次分析法，由于這個方法簡單而使用面較廣，為學(xué)生應(yīng)用打一個基礎(chǔ).學(xué)習(xí)建議：總的建

2、議是親身去做，去實(shí)踐. 為此一是要大量閱讀、思考別人做過的模型，二是要親自動手，認(rèn)真地做上幾個實(shí)際題目.我們的具體建議如下：（1）學(xué)習(xí)中隨時翻閱可能已經(jīng)有些淡忘的相關(guān)數(shù)學(xué)專業(yè)知識方面的書籍，不能因為數(shù)學(xué)專業(yè)知識欠牢而影響用它們?nèi)ソ鉀Q實(shí)際問題這一主題.特別是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、微分方程與運(yùn)籌學(xué)五本專業(yè)書籍，應(yīng)放在身邊隨時備查.（3）每一章、節(jié)下來，只要書后有的思考題、練習(xí)題（量很?。欢ㄒ粋€不漏地試著用學(xué)習(xí)過的方法和步驟解決掉.（4）充分結(jié)合文字教材和錄相教材內(nèi)容進(jìn)行同步學(xué)習(xí)。（5）就近與23個同學(xué)組成一個學(xué)習(xí)小組，在爭論中求得知識的互補(bǔ)與問題的成功解決.也為完成平時作業(yè)打下

3、基礎(chǔ)。綜上，勤動腦，勤思考與勤動手是學(xué)好數(shù)學(xué)建模課的關(guān)鍵，務(wù)求落實(shí).總之，要學(xué)好數(shù)學(xué)建模是需要下些功夫的，而一旦將這個重要方法學(xué)到手，對我們數(shù)學(xué)工作者來說將受益終身. 下面就各章的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行輔導(dǎo) 第一章 數(shù)學(xué)建模方法論要求掌握的知識點(diǎn)：1數(shù)學(xué)模型對于現(xiàn)實(shí)世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)對象特有的內(nèi)在規(guī)律，在做出問題分析和一些必要、合理的簡化假設(shè)后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就稱為該特定對象的數(shù)學(xué)模型. 2數(shù)學(xué)建模依據(jù)下述的幾個基本步驟建立數(shù)學(xué)模型，這個全過程便稱為數(shù)學(xué)建模.第一步：根據(jù)現(xiàn)實(shí)對象的背景和要求進(jìn)行問題分析； 第二步：根據(jù)問題的要求和建模目的作出合理的簡化假設(shè)

4、；第三步：根據(jù)問題分析與假設(shè)，利用相應(yīng)的物理的或其它有關(guān)規(guī)律建立起現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)學(xué)表達(dá)式建立數(shù)學(xué)模型；第四步：使用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型以給出現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)學(xué)解決模型求解；第五步：對模型的解給予檢驗和解釋模型分析（包括檢驗、修改、應(yīng)用和評價等）；注意，若所得的解不符合實(shí)際，則所建數(shù)學(xué)模型有錯誤，應(yīng)推倒重建.這是數(shù)學(xué)建模完全可能出現(xiàn)的情況，其產(chǎn)生原因往往是問題分析錯誤或假設(shè)不合理所至.3建?；具^程數(shù)學(xué)建模的基本流程，“問題分析合理的簡化假設(shè)建立模型求解模型對模型解的分析、檢驗、修改與推廣.用框圖描述如圖11.當(dāng)我們面臨新的建模問題時，這個流程是極具指導(dǎo)意義的.應(yīng)當(dāng)注意的是，這個流程的目的是指導(dǎo)

5、我們更好地進(jìn)行建模實(shí)踐，其應(yīng)用是可以有彈性的，切勿生搬硬套.也就是說，不是每個建模問題都要一個不差地經(jīng)過這五個步驟，其順序也不是一成不變的.一個具體建模問題要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式，通常與實(shí)際問題的性質(zhì)、建模的目的等有關(guān).后面我們將結(jié)合實(shí)例對上述這個流程的各個步驟詳加說明. 現(xiàn)實(shí)對象 合于實(shí)際 模型分析檢驗 問題分析 不合實(shí)際 模型求解 模型假設(shè) 模型建立 圖114數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和作用在學(xué)習(xí)后續(xù)的建模實(shí)例時請注意以下特點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)建模不一定有唯一正確的答案.數(shù)學(xué)建模的結(jié)果無所謂“對”與“錯”，但卻有優(yōu)與劣的區(qū)別，評價一個模型優(yōu)劣的唯一標(biāo)準(zhǔn)是實(shí)踐檢驗.（2）數(shù)學(xué)建模沒有統(tǒng)一的方法.對同一

6、個問題，各人因其特長和偏好等方面的差別，所采取的方法可以不同。使用近代數(shù)學(xué)方法建立的模型不一定就比采用初等數(shù)學(xué)方法建立的模型好，因為我們建模的目的是為了解決實(shí)際問題.（3）模型的逼真性與可行性.盡管人們總是希望模型盡可能逼近研究對象，但是一個非常逼真的模型在數(shù)學(xué)上通常是難于處理的，因而達(dá)不到通過建模解決實(shí)際問題的目的，即實(shí)用上不可行.因此，在建模時不必追求模型的完美無缺而只要符合實(shí)際問題的基本要求即可.（4） 模型的漸進(jìn)性.稍復(fù)雜一些的實(shí)際問題的建模通常不可能一次成功，往往要反復(fù)幾次建模過程，包括由簡到繁，也包括由繁到簡，以期獲得越來越滿意的模型，這也符合人們認(rèn)識問題的規(guī)律性.（5） 模型的可

7、轉(zhuǎn)移性.模型是對現(xiàn)實(shí)對象進(jìn)行抽象化和理想化的產(chǎn)物，常常不為對象的所屬領(lǐng)域所獨(dú)有，完全可能轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域中去，這個特點(diǎn)也是使用類比法建模的基礎(chǔ)。5問題分析問題分析也常稱為模型準(zhǔn)備或問題重述。由于數(shù)學(xué)模型是建立數(shù)學(xué)與實(shí)際現(xiàn)象之間的橋梁，因此，首要的工作是要設(shè)法用數(shù)學(xué)的語言表述實(shí)際現(xiàn)象。所謂問題重述是指把實(shí)際現(xiàn)象盡量地使用貼近數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行重新描述。為此，要充分了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的，盡可能弄清對象的特征，并為此搜集必需的各種信息或數(shù)據(jù)。要善于捕捉對象特征中隱含的數(shù)學(xué)因素，并將其一一列出（此時我們是不怕多的，只怕一個也列不出）。至此，我們便有了一個很好的開端，而有了這個良好的開端，不僅

8、可以決定建模方向，初步確定用哪一類模型，而且對下面的各個步驟都將產(chǎn)生影響。6合理假設(shè)模型假設(shè)是與問題分析緊密銜接的又一個重要步驟。根據(jù)對象的特征和建模目的，在問題分析基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行必要的、合理的取舍簡化，并使用精確的語言作出假設(shè)，這是建模至關(guān)重要的一步.這是因為，一個實(shí)際問題往往是復(fù)雜多變的，如不經(jīng)過合理的簡化假設(shè)，將很難于轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，即便轉(zhuǎn)化成功，也可能是一個復(fù)雜的難于求解的模型從而使建模歸于失敗. 于是，我們必須忍痛割愛，從中舍去次要因素，抓住主要因素，進(jìn)行必要的篩選；如果我們認(rèn)定的主要因素還是覺得多的話，為了能順利建模，也必須，或者說至少是暫時不予以考慮而舍棄，等到最后在模型分析時

9、再給予考慮，或者在本模型建立中根本不予考慮。當(dāng)然，假使作得不合理或過份簡單也同樣會因為與實(shí)際相去甚遠(yuǎn)而使建模歸于失敗.一般地，作出假設(shè)時要充分利用與問題相關(guān)的有關(guān)學(xué)科知識，充分發(fā)揮想象力和觀察判斷力，分清問題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素。另一方面，在我們選定的因素里，為建模需要，也常常要進(jìn)行合理的簡化，諸如線性化，均勻化，理想化等近似化處理，這也是滿足建模所用數(shù)學(xué)方法必須的前提條件。當(dāng)然，假設(shè)不能違背實(shí)際問題主要特征和建模目的。有人說，進(jìn)行假設(shè)的目的就在于在第一步中列出的各種因素中選出主要因素，忽略非本質(zhì)因素，即使問題簡化以便進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，又抓住了問題的本質(zhì)，是不無道理的。另外，為建模順

10、利，寫出假設(shè)時，語言要準(zhǔn)確，就象作習(xí)題時寫出已知條件一樣.所有這些就是模型假設(shè)這一步要做的工作。易見，問題分析與模型假設(shè)的重要地位。以下，我們結(jié)合例子給予說明。7常用建模方法(1) 機(jī)理分析法常用的建模方法有機(jī)理分析法、測試分析法等。機(jī)理分析法是立足于事物內(nèi)在規(guī)律的一種常見建模方法，主要是依對現(xiàn)實(shí)對象的特性有較為清楚的了解與認(rèn)識，通過分析其因果關(guān)系，找出反映其內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律性而建立其模型的一種方法.對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識主要來源于以下兩個方面：一是與問題相關(guān)的物理的、經(jīng)濟(jì)的、社會與生態(tài)等方面的知識的了解；二是通過對數(shù)據(jù)與現(xiàn)象的分析對事物內(nèi)在規(guī)律作出的猜想.若研究對象的內(nèi)部機(jī)理基本不掌握，也無法直

11、接尋求，是所謂黑箱系統(tǒng)且模型也不是用于分析內(nèi)部特性，譬如僅用來作輸出預(yù)報，則常用測試分析法.將兩種方法結(jié)合起來也是常用的建模方法. (2) 類比建模法類比法是建立數(shù)學(xué)模型的一個常見而有力的方法.作法是把問題歸結(jié)或轉(zhuǎn)化為我們熟知的模型上去給以類似的解決：這個問題與我們熟悉的什么問題類似?如果有類似的問題曾被解決過，我們的建模工作便可省去許多麻煩.實(shí)際上，許多來自不同領(lǐng)域的問題在數(shù)學(xué)模型上看確實(shí)具有相類似的甚至相同的結(jié)構(gòu).(3) 平衡原理(4) 圖示法利用幾何圖示法建模.有不少實(shí)際問題的解決只要從幾何上給予解釋和說明就足以了，這時，我們只需建立其圖模型即可，我們稱這種建模方法為圖示法.這種方法既簡

12、單又直觀，且其應(yīng)用面很寬.(5 )數(shù)據(jù)分析法(基于測試數(shù)據(jù)的經(jīng)驗?zāi)Ｐ?建立經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷幕玖鞒倘缦拢?給出實(shí)際調(diào)查數(shù)據(jù).調(diào)查的數(shù)據(jù)一定要具有充分的代表性，可以通過系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等抽樣方法獲得樣本數(shù)據(jù).（可查閱涉及抽樣方法類書籍）.另外，樣本容量也不要太小，否則所得結(jié)果不具有代表性. 對散布圖進(jìn)行分析.這一步往往可獲得對所表達(dá)變量關(guān)系的一定認(rèn)識，形成初步看法.例如可分析其變量關(guān)系是否具有線性性質(zhì)，有無周期性，變化率如何，有無最值，有無異常數(shù)據(jù)等等，從而確定整體數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是否脫離實(shí)際.若所反映實(shí)際現(xiàn)象與散布圖出現(xiàn)太大差距，則這批數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)廢棄.例如身高與體重不可能呈直線上升趨勢，且不能不過(0，0)

13、點(diǎn). 根據(jù)散布圖分析結(jié)果選擇相類似函數(shù)關(guān)系，采用適當(dāng)方法建立經(jīng)驗公式.這里也同樣有一個簡單化原則：即在滿足問題精度要求的前提下，盡量選擇形式簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式.至于確定經(jīng)驗公式中待定常數(shù)的方法有很多，諸如插值法(一般插值法及樣條插值法等)、最小二乘法等. 模型分析、檢驗與修改.與前面建模方法相比，這一步工作顯得更為重要，這是因為經(jīng)驗?zāi)Ｐ捅旧砭哂胁淮_定性，并且這類模型的作用也常常是為了對所關(guān)心系統(tǒng)做出某種預(yù)測、控制.特別是檢驗其結(jié)果的合理性，誤差分析等，需要修改模型是在所難免的.（6）分支定界法分支定界法的基本思路是： 先求問題的解，若恰為整數(shù)解則停，否則轉(zhuǎn)下一步； 以上述解為出發(fā)點(diǎn)，將原問題分解

14、為兩個支問題所謂“分支”，且每一支問題各增加一個新條件所謂“定界”.由于增加新條件便保證所求解不至于跑出原問題解的允許范圍，就不至于出現(xiàn)象本例圓整解跑出允許范圍的情況了. 求解支問題，并對新的非整數(shù)解問題再分支、定界，直到求得整數(shù)解.(7)人口增長模型結(jié)論 假設(shè)開始時的人口數(shù)為，那么人口增長模型的初值問題為模型求解為模型的修改與重建 將增長率r表示為人口x(t)的函數(shù)，按前面的分析，應(yīng)為x的減函數(shù).為簡單，我們假定其為x的線性函數(shù)（線性化）其中r,s>0，這里r相當(dāng)于x=0時的增長率，稱為固有增長率.顯然對任意的x>0,. 設(shè)定自然資源和環(huán)境條件等因素所能容納的最大人口數(shù)量為（也稱

15、最大人口容量）.因為時增長率應(yīng)為零，由此確定，便得到增長率函數(shù)的表達(dá)式為其中常數(shù)r,要根據(jù)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定. 將指數(shù)模型中r換為(1.16)式便得到新模型稱為阻滯增長模型或羅捷斯蒂克模型（Logistic）。 其解為 模型解的再分析與檢驗對上式求二階導(dǎo)數(shù)可得由此我們來分析人口總數(shù)的規(guī)律（如下圖）：圖1-6(a) ,即無論人口初值如何，人口總數(shù)均以為極限，并且是圖形的水平漸近線.(b) 當(dāng)時，,這說明是單調(diào)增加的；又由(1.19)式知，當(dāng)時，,當(dāng)時，,即是x(t)圖形的拐點(diǎn).這就是說，人口變化率函數(shù)在處取到最大值.根據(jù)以上分析而畫出的兩條曲線如上圖.可見，人口總數(shù)盡管一直是增長的，但有極限值限制

16、而不會無限增長下去，到了自然資源與環(huán)境條件等因素所能容納的最大人口數(shù)時便會停止增長，這是合乎人類發(fā)展常識的.另外，人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速增長時期，此后的增長率會逐漸變小，最終達(dá)到零增長. 最后，的確定要根據(jù)人口統(tǒng)計資料以及自然環(huán)境等因素確定，因而當(dāng)條件改變時，也將隨著改變.（8）均衡價格結(jié)論設(shè)p是商品價格，表示商品需求量且僅與價格p有關(guān)，即= (p),但.為討論方便,不妨假設(shè)為p的線性函數(shù)（線性化）式中均為正常數(shù)，b該商品的社會最大需求量.第一項的系數(shù)為負(fù)說明隨價格上漲，需求下降.同上設(shè)表示供給函數(shù)，并且式中均為正數(shù)，為廠方可能接受的最低價格.寫成是因為商品的生產(chǎn)需一定的時間(一個生

17、產(chǎn)周期)，價格對商品的供給量的影響有一定的滯后作用.先來求均衡價格.依問題分析與假設(shè)1和2，有解得由此還不能求得均衡價格.注意到上式實(shí)際上是一個關(guān)于兩個時刻點(diǎn)的價格遞推公式（通常稱為差分方程）.設(shè)是該商品的初始價格，則有以下遞推過程.為書寫方便，記則有當(dāng)A=1時，合在一起并代回A、B表示式即得到模型分析 當(dāng)初始價格恰好為時，由上式知，對任意有我們稱為靜態(tài)均衡價格.可見，若初始價格為靜態(tài)價格，則價格始終不變，整個供給過程變?yōu)殪o態(tài). 當(dāng)初始價格不是均衡價格時，隨時間的推移而變化，供給過程變成一個動態(tài)過程.這時若，由于越來越小，價格會越來越接近于均衡價格.意味著需求對價格的反應(yīng)比供給對價格的反應(yīng)更加

18、靈敏.在此情形，市場將逐漸趨于穩(wěn)定；若，由于無限增大，價格會逐漸遠(yuǎn)離靜態(tài)均衡價格；若，由于不確定而使價格在均衡價格上下波動.總之，時，價格逐漸穩(wěn)定于均衡價格；當(dāng)時，價格或者在均衡價格上下擺動不定，或者越來越背離均衡價格，從而造成市場的不穩(wěn)定.那么如何消除市場經(jīng)濟(jì)的這種不穩(wěn)定?一種方法是控制物價，另一種方法是控制市場上的商品數(shù)量：若上市量少于需求量，政府可以外地采購或調(diào)撥商品，反之可實(shí)行政府采購過剩部分商品的辦法.(9) 存儲模型（確定型）結(jié)論商店或工廠經(jīng)常要存儲一定量的商品或備件，因為如果存儲量太少，可能會影響銷售或生產(chǎn)，存儲量太大，要為占用倉庫和一些必要的保管措施而付出過多的費(fèi)用.因此，確定

19、一個最優(yōu)的存儲量是必要的，這種問題便稱為存儲問題.常見情形有兩種：不允許缺貨的存儲問題和允許缺貨的存儲問題；所謂不允許缺貨是指問題要求所需物資隨要隨到，否則要造成重大損失.模型假設(shè) 商品每天銷售量為常數(shù)R 商品的進(jìn)貨時間間隔為常數(shù)T，即每隔T天進(jìn)貨一次，且進(jìn)貨量為常數(shù)，進(jìn)貨一次手續(xù)費(fèi)也是常數(shù)；單位商品存儲費(fèi)元/天. 進(jìn)貨所用時間忽略不計，即假設(shè)需要進(jìn)貨時，進(jìn)貨可在瞬間完成.建模目的：確定進(jìn)貨周期T和進(jìn)貨量，使總支出費(fèi)用最少.模型建立依假設(shè)2和3,這家商店的庫存量q與時間t的關(guān)系可由下圖表示.由此，只需考察一個周期內(nèi)的費(fèi)用.設(shè)開始時的庫存量為，到第T天時庫存量降為零.由假設(shè)1，由于連續(xù)均勻銷售，故在周期內(nèi)平均存量為/2.注意，按平均存量總共存儲了T天，故存儲費(fèi)用為，還有一項支出是進(jìn)貨手續(xù)費(fèi)，即總支出費(fèi)用為兩項之和，于是平均每天的支出為注意到每天銷售R件商品，進(jìn)貨件在T天售完的假設(shè)，顯然有，于是上式便寫成了T的函數(shù) 模型求解為確定最優(yōu)的進(jìn)貨周期，只需求上邊函數(shù)的最小值.這里采用配方法（亦可用導(dǎo)數(shù)方法）可得便可知，當(dāng)時，達(dá)最小值，將此T值代入，便得到最優(yōu)進(jìn)貨量為上式為存儲論中著名的經(jīng)濟(jì)訂購批量公式，簡稱EOQ(Econo