數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)九

1、實(shí)驗(yàn)九 096160081 李杰峰1、完成下列兩題中的任一題，給出分析過程并對結(jié)果作出必要的解釋：書上173頁的習(xí)題3；書上173頁的習(xí)題4；2、 建模解決野兔的數(shù)量問題：在某地區(qū)野兔的數(shù)量在連續(xù)十年的統(tǒng)計(jì)量（單位十萬）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數(shù)據(jù)，得出野兔的生長規(guī)律，并指出在哪些年內(nèi)野兔的增長有異?，F(xiàn)象，預(yù)測T=10時(shí)野兔的數(shù)量。4在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取

2、勝時(shí)的剩余兵力是多少,乙方取勝的時(shí)間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時(shí)刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時(shí)的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為2、建模解決野兔的數(shù)量問題：在某地區(qū)野兔的數(shù)量在連續(xù)十年的統(tǒng)計(jì)量（單位十萬）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.31969

3、4.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數(shù)據(jù)，得出野兔的生長規(guī)律，并指出在哪些年內(nèi)野兔的增長有異?，F(xiàn)象，預(yù)測T=10時(shí)野兔的數(shù)量。解：問題重述：野兔生長問題。首先，野兔是生長在自然環(huán)境中的。自然很復(fù)雜，存在著許多影響種群發(fā)展的因素。我們知道，假如給野兔一個(gè)理想的環(huán)境，野兔數(shù)量是呈J型增長的。現(xiàn)實(shí)情況中，種群一般是呈S型增長的，從題中表格看出，野兔的數(shù)量并不是單一地增長，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，這三年野兔的數(shù)量不增反降，說明其間有影響野

4、兔生長的因素存在。我們探討了其中的因素：（1），兔子內(nèi)部因素，競爭，雄雌比利失去平衡，老化嚴(yán)重等。（1），自然災(zāi)害，比如說草原火災(zāi)，使野兔生長環(huán)境遭到破壞；再如氣候反常，使野兔的產(chǎn)卵，交配受影響。（2），天敵的捕食，狼，狐貍等天敵大量地捕食使野兔生存受到威脅。（3），疾病的侵?jǐn)_，野兔種群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。（4），人類的影響，城市擴(kuò)建，使其棲息地面積減少；捕殺?？紤]到上述因素，野兔的生長就不能完全用一個(gè)Logistic模型來模擬 假設(shè)：上述，野兔生長問題，我們假設(shè)（1）,假設(shè)它使處于自然的情況（沒有人的作用）,人類活動(dòng)對其生存不產(chǎn)生影響。（2），假設(shè)各個(gè)環(huán)境因素對野兔生長

5、的影響是互不影響的。（3），假設(shè)兔子的內(nèi)部因素對其生存率的影響不大。（4），假設(shè)野兔在各年齡段中的分布率不變，即年齡結(jié)構(gòu)不變，并采用各種措施維持這一結(jié)構(gòu)；那它是可以用Logistic模型來模擬的。 分析與建立模型：對于生物模型，首先考慮的是logistic模型，考慮到logistic模型的增長曲線是單調(diào)的，而題目所給的數(shù)據(jù)中有一段是下降的，這是反常的情況，而正常情況應(yīng)當(dāng)是單調(diào)上升的?？紤]到可能在這段時(shí)間內(nèi)有使野兔減少的因素。不能在整個(gè)時(shí)間段進(jìn)行擬合，我們應(yīng)當(dāng)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行擬合。第一個(gè)單調(diào)增區(qū)間T=0T=1T=2T=312.319694.508536.90568第一個(gè)單調(diào)減區(qū)間T=3T=4

6、T=5T=66.905686.005125.564955.32807 第二個(gè)單調(diào)增區(qū)間T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我們把野兔生長情況分成了上表三個(gè)區(qū)間，建立野兔生長的logistic模型。模型的求解：對于logistic連續(xù)模型，設(shè)微分方程為 ，, （1）其中參數(shù)a，b 需要通過擬合得到。（1） 的解為. （2）設(shè)已知連續(xù)三年的數(shù)據(jù)，其中，則由（2）得方程組 (3) 這三個(gè)方程中有三個(gè)未知量可以解出a,b如下: 將（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得 (4)消去a 后得b 滿足的方程 (5)解得 . (6)代入(4) 的第一式得a 滿足的方

7、程 (3)求參數(shù)a,b的MATLAB程序function a,b, q=hare(p,T)% 輸入單調(diào)的連續(xù)三年數(shù)量p和時(shí)間間隔T(本題T=1), 輸出參數(shù) a, b和下一年的數(shù)量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一個(gè)上升階段, 對于連續(xù)三年（0，1，2）和（1，2，3）分別計(jì)算得到二組a，b值0.99999629543280 0.09999899065418 在下降階段，對

8、于連續(xù)三年（3，4，5）和（4，5，6）分別計(jì)算得到的二組a，b值0.49999951470301 0.20000005321601 0.49998396474656 0.20000085565547 在第二個(gè)上升階段，對于連續(xù)三年（6，7，8）和（7，8，9）分別計(jì)算得到的二組a，b值當(dāng)取a, b為最后一組數(shù)據(jù)時(shí)，t=10 時(shí)由(2) 得到預(yù)測數(shù)為9.84193（十萬）,當(dāng)取a=1，b=0.1 時(shí)，預(yù)測數(shù)為9.84194（十萬）.結(jié)論是： 在 T=0 到T=3 之間增長規(guī)律為logistic模型：.在 T=3 到T=6 之間增長規(guī)律有異常情況, 但仍為logistic模型；：.在 T=6 到

9、T=9 之間增長規(guī)律恢復(fù)為logistic模型：.在T=10 時(shí), 在正常情況下, 野兔數(shù)量為 9.84194（或9.84193）（十萬）只.數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)九096160075 楊振亞 09數(shù)基1. 在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為a/b=4，初始兵力與相同。（1） 問乙方取勝時(shí)的剩余兵力是多少，乙方取勝時(shí)間如何確定。（2） 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備軍以不變的速率r增援，重新建立模型，討論如何判斷雙方的勝負(fù)。解 由5.3節(jié)圖11，乙方取勝時(shí)的剩余兵力為又因?yàn)?，所以要確定乙方取勝時(shí)間，需求解方程組，可得：。令，由可以算出與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)b成反比。（2） 在這種情況下

10、，戰(zhàn)爭模型（3）的第一個(gè)方程改為，相軌線為5.3節(jié)圖11中的軌線上移r/2a，乙方取勝的條件為即。2、 建模解決野兔的數(shù)量問題：在某地區(qū)野兔的數(shù)量在連續(xù)十年的統(tǒng)計(jì)量（單位十萬）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數(shù)據(jù)，得出野兔的生長規(guī)律，并指出在哪些年內(nèi)野兔的增長有異?，F(xiàn)象，預(yù)測T=10時(shí)野兔的數(shù)量。解 問題重述：野兔生長問題。首先，野兔是生長在自然環(huán)境中的。自然很復(fù)雜，存在著許多影響種群發(fā)展的因素。我們知道，假如給野兔一個(gè)理想的環(huán)境，野

11、兔數(shù)量是呈J型增長的?，F(xiàn)實(shí)情況中，種群一般是呈S型增長的，從題中表格看出，野兔的數(shù)量并不是單一地增長，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，這三年野兔的數(shù)量不增反降，說明其間有影響野兔生長的因素存在。 分析與建立模型：對于生物模型，首先考慮的是logistic模型，考慮到logistic模型的增長曲線是單調(diào)的，而題目所給的數(shù)據(jù)中有一段是下降的，這是反常的情況，而正常情況應(yīng)當(dāng)是單調(diào)上升的?？紤]到可能在這段時(shí)間內(nèi)有使野兔減少的因素。不能在整個(gè)時(shí)間段進(jìn)行擬合，我們應(yīng)當(dāng)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行擬合。第一個(gè)單調(diào)增區(qū)間T=0T=1T=2

12、T=312.319694.508536.90568第一個(gè)單調(diào)減區(qū)間T=3T=4T=5T=66.905686.005125.564955.32807 第二個(gè)單調(diào)增區(qū)間T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我們把野兔生長情況分成了上表三個(gè)區(qū)間，建立野兔生長的logistic模型。模型的求解：對于logistic連續(xù)模型，設(shè)微分方程為 ，, （1）其中參數(shù)a，b 需要通過擬合得到。（1） 的解為. （2）設(shè)已知連續(xù)三年的數(shù)據(jù)，其中，則由（2）得方程組 (3) 這三個(gè)方程中有三個(gè)未知量可以解出a,b如下: 將（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得 (4)消去a

13、 后得b 滿足的方程 (5)解得 . (6)代入(4) 的第一式得a 滿足的方程 (3)求參數(shù)a,b的MATLAB程序function a,b, q=hare(p,T)% 輸入單調(diào)的連續(xù)三年數(shù)量p和時(shí)間間隔T(本題T=1), 輸出參數(shù) a, b和下一年的數(shù)量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一個(gè)上升階段, 對于連續(xù)三年（0，1，2）和（1，2，3）分別計(jì)算得到二組a，b值0.

14、99999629543280 0.09999899065418 在下降階段，對于連續(xù)三年（3，4，5）和（4，5，6）分別計(jì)算得到的二組a，b值0.49999951470301 0.20000005321601 0.49998396474656 0.20000085565547 在第二個(gè)上升階段，對于連續(xù)三年（6，7，8）和（7，8，9）分別計(jì)算得到的二組a，b值當(dāng)取a, b為最后一組數(shù)據(jù)時(shí)，t=10 時(shí)由(2) 得到預(yù)測數(shù)為9.84193十萬,當(dāng)取a=1，b=0.1 時(shí)，預(yù)測數(shù)為9.84194十萬.結(jié)論是： 在 T=0 到T=3 之間增長規(guī)律為logistic模型：.在 T=3 到T=6 之

15、間增長規(guī)律有異常情況, 但仍為logistic模型；：.在 T=6 到T=9 之間增長規(guī)律恢復(fù)為logistic模型：.在T=10 時(shí), 在正常情況下, 野兔數(shù)量為 9.84194（或9.84193）十萬只. 實(shí)驗(yàn)九096160025 孫少波1、完成下列兩題中的任一題，給出分析過程并對結(jié)果作出必要的解釋：書上173頁的習(xí)題3；書上173頁的習(xí)題4；2、 建模解決野兔的數(shù)量問題：在某地區(qū)野兔的數(shù)量在連續(xù)十年的統(tǒng)計(jì)量（單位十萬）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93

16、929.5817分析該數(shù)據(jù)，得出野兔的生長規(guī)律，并指出在哪些年內(nèi)野兔的增長有異?，F(xiàn)象，預(yù)測T=10時(shí)野兔的數(shù)量。4.在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時(shí)的剩余兵力是多少,乙方取勝的時(shí)間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解：(1) 即乙方取勝時(shí)的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為3、 建模解決野兔的數(shù)量問題：在某地區(qū)野兔的數(shù)量在連續(xù)十年的統(tǒng)計(jì)量（單位十萬）如

17、下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析該數(shù)據(jù)，得出野兔的生長規(guī)律，并指出在哪些年內(nèi)野兔的增長有異?，F(xiàn)象，預(yù)測T=10時(shí)野兔的數(shù)量。解：對于logistic連續(xù)模型，設(shè)微分方程為 ，, （1）其中參數(shù)， 需要通過擬合得到。（1） 的解為. （2）設(shè)已知連續(xù)三年的數(shù)據(jù)，其中，則由（2）得方程組 (3) 這三個(gè)方程中有三個(gè)未知量可以解出a,b如下: 將（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得 (4)消去后得滿足的方程 (5)解得 . (6)代入(4

18、) 的第一式得滿足的方程 (3)求參數(shù),的MATLAB程序function a,b,q=hare(p,T)a=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(2)*(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一個(gè)上升階段, 對于連續(xù)三年（0，1，2）和（1，2，3）分別計(jì)算得到二組值>> p=1;2.31969;4.50853;T=1;>> a,b,q=hare(p,T)a =1.0000 b =0.1000 q =6.9057>> p=2.31969;4.50853;6.90568;T=1;>> a,b,q=hare(p,T)a =1.0000 b =0.1000 q = 8.5849 在下降階段，對于連續(xù)三年（3，4，5）和（4，5，6）分別計(jì)算得到的二組值>