數(shù)列練習(xí)題及答案

1、2已知函數(shù)f(x)=x-ln(1+x),數(shù)列an滿足0<a1<1,an+1=f(an); 數(shù)列bn滿足b1=,bn+1(n+1)bn, nN*.求證:an2;（）（）0<an+1<an<1;（）an+1<若a1=則當(dāng)n2時(shí),bn>ann!. 225已知數(shù)列an中各項(xiàng)為： 121212、1122、111222、111222 個(gè) n個(gè) n（1）證明這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積.（2）求這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn . 12已知為銳角，且tan=2函數(shù)f(x)=xtan2+xsin(2+2-1， 4)，數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,an+1=f(an). 2

2、求函數(shù)f(x)的表達(dá)式； 求證：an+1>an；111*1<+ +<2(n2,nN) 求證：1+a11+a21+an*13（本小題滿分14分）已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an+1nN ()（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列bn滿足4b1-14b2-14（）證明：b3-1 4bn-1=(an+1)bn，證明：an是等差數(shù)列； 1112+ +<(nN*) a2a3an+1315已知數(shù)列a n前n項(xiàng)的和為S n，前n項(xiàng)的積為Tn，且滿足Tn=2n(1-n)。求a1 ；求證：數(shù)列a n是等比數(shù)列；是否存在常數(shù)a，使得(Sn+1-a)由。 2=(Sn+2-a)(Sn-

3、a)對(duì)nN+都成立？ 若存在，求出a，若不存在，說(shuō)明理18、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=求an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bn=a(an-1)（a為常數(shù)，且a0,a1） （ ）a-12Sn+1，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求a的值； an11+，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn . 1+an1-an+1（）在滿足條件（）的情形下，設(shè)cn=1求證：Tn>2n- 3，2，3， ）19、數(shù)列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常數(shù)，n=1，且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列。（I）求c的值；（II）求an的通項(xiàng)公式。（III）由數(shù)列an中的第1、3、9、27、項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列bn，求lim2

4、5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=bn+1的值。 nbna (an-1)（a為常數(shù)，且a0,a1）a-1（）求an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)b0=2Sn+1，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求a的值； an11+，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，1+an1-an+1（）在滿足條件（）的情形下，設(shè)cn=求證：Tn>2n-34已知數(shù)列an滿足 13a1=5, a2=5，an+1=an+6an-1(n2)（1）求證：an+1+2an是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；*（3）設(shè)3nbn=n(3n-an)，且b1+b2+bn<m對(duì)于nN恒成立，求m的取值范140、函數(shù)f(x)對(duì)任意xR都有f(x)f(1

5、x)2.n-1)(nN)的值； n12n-1)+f(1),求數(shù)列an的通 （2）數(shù)列an滿足an=f(0)+f()+f()+ +f(nnn （1）求f()和f()+f(項(xiàng)公式。（3）令bn=121n44an-122,Tn=b12+b2+b32+ +bn,Sn=32-16試比較Tn與Sn的大小。 n41已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2a+1（a是常數(shù)，且a-1），an=2an-1+n2-4n+2（n2），數(shù)列bn的首項(xiàng)b1=a，bn=an+n2（n2）。（1）證明：bn從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；（2）設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，且Sn是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；（3）當(dāng)a>0時(shí)，求數(shù)列an

6、的最小項(xiàng)。集合與函數(shù)概念（參考答案）一、選擇題:1-5BDADD 6-10ACCCA1;2;1,2 12：3；57； 二、填空題:11：；a2+b2-2ab+a-b+1 13：4: -12 14： 15：20三、解答題:16 解：要使函數(shù)f（x）=-x有意義 2x2-3x-211-x0 則 解得：x-且x1 222x-3x-20則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤x-且x1 12要使函數(shù)f(x)=-x+1x有意義1-x0 則、 解得：0<x1 x>0則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤0<x117解： 已知函數(shù)的對(duì)稱軸為x=3 4由二次函數(shù)的性質(zhì)知f（x）min=f()=-又f（-3）=25，f

7、（5）=33 3425 8f（x）max=f(5)=33 函數(shù)的值域?yàn)閥- 由y=25<y33 8x可變形為yx2-x+y=0 易知xR 2x+1 所以01122即是(-1)-4y0 解得：-y 2211函數(shù)的值域?yàn)閥-<y 22318判斷：函數(shù)y=x+x在R上是單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)證明：1）設(shè)x1,x2R且x1<x2-f（x2）=x13+x1-x23+x2 有f（x1）()()33 =x1-x2+(x1-x2)22 =(x1-x2)x1+x1x2+x2+(x1-x2)22 =(x1-x2)x1+x1x2+x2+1 ()()()=(x1-x2) x12+x1x2+1232x

8、2+x2+1 442132 =(x1-x2) x1+x2+x2+1 2413 x1<x2 x1-x2<0 顯然 x1+x2+x22+1>0 242-f（x2）<0 即f（x1）<f（x2）f（x1）y=x3+x在R上是增函數(shù)2）觀察可知原函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱3 f（-x）=（-x）+(-x)=-(x3+x)=f（x）y=x3+x為奇函數(shù)219解：1）函數(shù)f(x)=ax-2x+1的對(duì)稱軸為x=1 a0<a11 3 a32 函數(shù)f(x)=ax-2x+1在區(qū)間1，3上位單調(diào)減函數(shù)M(a)=f(1)=a-1 N(a)=f(3)=9a-5g(a)=M(a)-N

9、(a)g(a)=-8a+4 0<a1 31單調(diào)減函數(shù) 3 2）由一次函數(shù)的性質(zhì)知g(a)=-8a+4在區(qū)間(0,g(a)min=g()=134 360（小時(shí)） 1120解：300÷60=5（小時(shí)） 300÷55=60t S=300300+55(t-5.5)(0x5)(5<x<5.5)215.5x10 22t21解: 由題意可得：A=0,-4A B=B BAB=、B=0、B=-4或B=0,-41） 當(dāng)B=時(shí)有<0即(2(a+1)-4a-1<0 22()解得a<-12） 當(dāng)B=0或B=-4時(shí)有=0即(2(a+1)-4a-1=0 22()解得a

10、=-12代入原方程有x=0解得x=0（合題意）解得3） 當(dāng)B=0,-4時(shí)則有0+(-4)=-2(a+1)20(-4)=a-1解得a=1綜上可得a的取值范圍為aa-1或a=1*2解: ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明0<an<1,nN.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立; （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即0<ak<1.則當(dāng)n=k+1時(shí), 因?yàn)?<x<1時(shí),f'(x)=1-1x=>0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). x+1x+1又f(x)在0,1上連續(xù),所以f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak+1<1-ln2<1.

11、 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即0<an<1對(duì)于一切正整數(shù)都成立.4分又由0<an<1, 得an+1-an=an-ln(1+an)-an=-ln(1+an)<0,從而an+1<an. 綜上可知0<an+1<an<1.6分 x2x2+ln(1+x)-x, 0<x<1, ()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= 22x2>0,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g(x)在0,1上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0. 由g'(x)= 1+x因?yàn)?<aa2nn<1,所以g(an)>0,即2(>0,從

12、而aa2-fann)n+1<2.10分() 因?yàn)?b11=2,b121)bbn+1n+1(n+n,所以bn>0,n+1bn2,所以bn=bnbbn-1b b2b11nn! , 12分n-1n-2b122由()aann+1<2,知:an+1a<an, 所以ana=a2a3an<a1a2 an-1 ,n21a1a2an-1222因?yàn)閍1=, n2, 0<an+1<an<1. 所以 aa1a2an12a211n<22 an-12a1<2n-1<2n=2n . 14分由 兩式可知: bn>ann!.16分 5（1）a19(10nn

13、=-1)10n+29(10n-1) (2分 )=19(10n-1)(10n+2)=(10n-13)(10n-13+1)(4分)記：A =10n-13 , 則A=33 3為整數(shù)n 個(gè) an= A (A+1) ， 得證 ( 6分) a19102nn=+1910n-29 (8分)S129+104+102n)+12n2n=(109(10+10+10)-9n (2)=1(102n+2+1110n+1-198n-210)(12分) 89113.解：（1） an+1=2an+1，an+1+1=2(an+1)2分 故數(shù)列an+1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。3分an+1=2n，an=2n-14分（2） 4b

14、1-14b2-14b3-1 4bn-1=(an+1)bn，4(b1+b2+ +bn-n)=2nbn5分 2(b1+b2+ +bn)-2n=nbn2(b1+b2+ +bn+bn+1)-2(n+1)=(n+1)bn+1得2bn+1-2=(n+1)bn+1-nbn，即nbn-2=(n-1)bn+18分 (n+1)bn+1-2=nbn+2得2nbn+1=nbn+nbn-1，即2bn+1=bn+bn-19分 所以數(shù)列bn是等差數(shù)列（3） 1111111分 =n+1<n+1=an2-12-22an-1設(shè)S=11111111111，則S<+ +(+ +)=+(S-) a2a3an+1a22a2a

15、3ana22an+1S<21212-=-<14分 a2an+13an+134 3a18、解：（） S1=(a1-1),a1=a, a1aa當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=an-an-1, a-1a-115、a1=1；a=an=a，即an是等比數(shù)列 an=aan-1=an； 4分 an-12（）由（）知，bn=a(an-1)(3a-1)an-2a，若bn為等比數(shù)列， +1=nnaa(a-1)3a+23a2+2a+2,b3=, 則有b2=b1b3,而b1=3,b2=aa23a+223a2+2a+21)=3故(，解得， 7分 a=aa231再將a=代入得bn=3n成立， 31所以a= 8

16、分 32113n3n+11n+=+（III）證明：由（）知an=()，所以cn= 1n1n+13n+13n+1-131+()1-()333n+1-13n+1-1+111=n+n+1=1-n+1+n+1 3+13-13+13-111=2-(n-n+1)， 9分 3+13-111111111由n<n,n+1>n+1得n-n+1<n-n+1, 3+133-133+13-1331311所以cn=2-(n-n+1)>2-(n-n+1)， 12分 313-133111111從而Tn=c1+c2+ +cn>2-(-2)+2-(2-3)+ 2-(n-n+1) 3333331111

17、11=2n-(-2)+(2-3)+ +(n-n+1) 333333111=2n-(-n+1)>2n- 3331即Tn>2n- 14分 319、解：（I）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因?yàn)閍1，a2，a3成等比數(shù)列， 所以(2+c)=2(2+3c)，解得c=0或c=2當(dāng)c=0時(shí)，a1=a2=a3，不符合題意舍去，故c=2 4分（文6分） （II）當(dāng)n2時(shí)，由于a2-a1=c，a3-a2=2c， 2an-an-1=(n-1)c，所以an-a1=1+2+ +(n-1)c=n(n-1)c。 2又a1=2，c=2，故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2，3， )當(dāng)n=1時(shí)，

18、上式也成立，所以an=n2-n+2(n=1，2， )8分（III）bn=32n-2-3n-1+2, a-1(a1-1),a1=0, aaa當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=an-an-1,a-1a-125解：（） S1=bn+1=9. 12分nbnliman=a，即an是等比數(shù)列 an=aan-1=an； 4分 an-12（）由（）知，bn=2a(an-1)(3a-1)an-2a，若bn為等比數(shù)列， +1=anan(a-1)3a+23a2+2a+2,b3=, 則有b2=b1b3,而b1=3,b2=aa23a+223a2+2a+211)=3故(，解得，再將代入得bn=3n成立， a=a=2aa33

19、1所以a=3113n3n+11n+=n+n+1（III）證明：由（）知an=()，所以cn= 113+13-13nn+11+()1-()333n+1-13n+1-1+11121=n+n+1=1-n+1+n+1=2-(n-n+1)， 3+13-13+13-13+13-111111111由n<n,n+1>n+1得n-n+1<n-n+1, 3+133-133+13-1331311所以cn=2-(n-n+1)>2-(n-n+1)，3-13-133111111從而Tn=c1+c2+ +cn>2-(-2)+2-(2-3)+ 2-(n-n+1)333333111111111=2

20、n-(-2)+(2-3)+ +(n-n+1)=2n-(-n+1)>2n-3333333331即Tn>2n-14分334（本小題滿分14分） 解：（1）由an1an6an1，an12an3(an2an1) (n2) a15，a25 a22a115故數(shù)列an12an是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 5分（2）由（1）得an12an5·3n 由待定系數(shù)法可得(an13n1)2(an3n) 即an3n2(2)n1 故an3n2(2)n13n(2)n 9分2（3）由3nbnn(3nan)n3n3n(2)nn(2)n，bnn(3n 2222 令Sn|b1|b2|bn|32(323(33n(3)n22222 3Sn(322(33(n1)(3nn(3n1 11分22n1(3)1222232n2n+132n+12n2n+1得3n3(3(3)(3)n(3n()21()n(23331322 Sn61(3n3n(3n+16要使得|b1|b2|bn|m對(duì)于nN恒成立，只須m6 14分40、解：（1）令x=111的f()= 22411111n-1) 令x=得f()+f(1-)=f()+f(nnn2nn1n-1)+f(1) （2）an=f(0)+f()+ +f(nnn-11)+ +f()+f(0)，兩式相加 又an=f(1)+f(nn1n-12an=f(0)+f(1)+f()