數(shù)學(xué)建模教學(xué)插件多目標(biāo)決策模型層次分析法(AHP)代數(shù)模型離散模型

1、層次分析法建模課件層次分析法（AHPAnalytic Hierachy process）- 多目標(biāo)決策方法70 年代由美國運籌學(xué)家T·L·Satty提出的，是一種定性與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法論。吸收利用行為科學(xué)的特點，是將決策者的經(jīng)驗判斷給予量化，對目標(biāo)（因素）結(jié)構(gòu)復(fù)雜而且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下，採用此方法較為實用，是一種系統(tǒng)科學(xué)中，常用的一種系統(tǒng)分析方法，因而成為系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。 傳統(tǒng)的常用的研究自然科學(xué)和社會科學(xué)的方法有：機理分析方法：利用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析觀察的因果關(guān)系；統(tǒng)計分析方法：利用大量觀測數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律，用隨機數(shù)學(xué)方法描述（自然現(xiàn)象、社會現(xiàn)

2、象）現(xiàn)象的規(guī)律。基本內(nèi)容：（1）多目標(biāo)決策問題舉例AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步驟（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理論算法應(yīng)用的若干問題。 參考書： 1、姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社 2、程理民等， 運籌學(xué)模型與方法教程，（第10章），清華大學(xué)出版社 3、運籌學(xué)編寫組，運籌學(xué)（修訂版），第11章，第7節(jié)，清華大學(xué)出版社一、問題舉例：A大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)選擇問題獲得大學(xué)畢業(yè)學(xué)位的畢業(yè)生，“雙向選擇”時，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標(biāo)準(zhǔn)和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標(biāo)準(zhǔn)和要求是多方面的，例如： 能發(fā)揮自己的才干為國家作出較好貢獻(xiàn)（即工作

3、崗位適合發(fā)揮專長）； 工作收入較好（待遇好）； 生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）； 單位名聲好（聲譽-Reputation）； 工作環(huán)境好（人際關(guān)系和諧等） 發(fā)展晉升（promote, promotion）機會多（如新單位或單位發(fā)展有后勁）等。問題：現(xiàn)在有多個用人單位可供他選擇，因此，他面臨多種選擇和決策，問題是他將如何作出決策和選擇？或者說他將用什么方法將可供選擇的工作單位排序？工作選擇生活環(huán)境工作環(huán)境聲譽收入發(fā)展貢獻(xiàn) 可供選擇的單位P1 P2 - Pn .假期旅游地點選擇暑假有3個旅游勝地可供選擇。例如：蘇州杭州，北戴河，桂林，到底到哪個地方去旅游最好？要作出決策和選擇。為此，要把三

4、個旅游地的特點，例如：景色；費用；居住；環(huán)境；旅途條件等作一些比較建立一個決策的準(zhǔn)則，最后綜合評判確定出一個可選擇的最優(yōu)方案。選擇旅游地目標(biāo)層居住旅途景色費用飲食準(zhǔn)則層P1P2P3方案層C資源開發(fā)的綜合判斷7種金屬可供開發(fā)，開發(fā)后對國家貢獻(xiàn)可以通過兩兩比較得到，決定對哪種資源先開發(fā)，效用最用。對經(jīng)濟發(fā)展、貢獻(xiàn)U經(jīng)濟價值戰(zhàn)略重要性交通條件要求量風(fēng)險費開採費金Go鋁Al鈿Ur磷酸鹽鐵In銅Co二、問題分析：例如旅游地選擇問題：一般說來，此決策問題可按如下步驟進(jìn)行：（S1）將決策解分解為三個層次，即：目標(biāo)層：（選擇旅游地）準(zhǔn)則層：（景色、費用、居住、飲食、旅途等5個準(zhǔn)則）方案層：（有，三個選擇地點）

5、并用直線連接各層次。（S2）互相比較各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，各方案對每一個準(zhǔn)則的權(quán)重。這些權(quán)限重在人的思維過程中常是定性的。例如：經(jīng)濟好，身體好的人：會將景色好作為第一選擇；中老年人：會將居住、飲食好作為第一選擇；經(jīng)濟不好的人：會把費用低作為第一選擇。而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重的定量分析方法。（S3）將方案后對準(zhǔn)則層的權(quán)重，及準(zhǔn)則后對目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合。（S4）最終得出方案層對目標(biāo)層的權(quán)重，從而作出決策。以上步驟和方法即是AHP的決策分析方法。三、確定各層次互相比較的方法成對比較矩陣和權(quán)向量在確定各層次各因素之間的權(quán)重時，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Santy等人提出：一

6、致矩陣法即：1. 不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較2. 對此時採用相對尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高準(zhǔn)確度。因素比較方法 成對比較矩陣法：目的是，要比較某一層個因素對上一層因素O的影響（例如：旅游決策解中，比較景色等5個準(zhǔn)則在選擇旅游地這個目標(biāo)中的重要性）。採用的方法是：每次取兩個因素和比較其對目標(biāo)因素O的影響，并用表示，全部比較的結(jié)果用成對比較矩陣表示，即： （1）由于上述成對比較矩陣有特點： 故可稱為正互反矩陣：顯然，由 ，即：，故有：例如：在旅游決策問題中：= 表示：故：= 表示：即：景色為4，居住為1。= 表示：即：費用重要性為7，居住重要性為1。因此

7、有成對比較矩陣：？問題：稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對比較矩陣的問題： 即存在有各元素的不一致性，例如：既然：所以應(yīng)該有：而不應(yīng)為矩陣中的成對比較矩陣比較的次數(shù)要求太，因：個元素比較次數(shù)為：次，因此，問題是：如何改造成對比較矩陣，使由其能確定諸因素對上層因素O的權(quán)重？對此Saoty提出了：在成對比較出現(xiàn)不一致情況下，計算各因素對因素（上層因素）O的權(quán)重方法，并確定了這種不一致的容許誤差范圍。為此，先看成對比較矩陣的完全一致性成對比較完全一致性四：一致性矩陣Def：設(shè)有正互反成對比較矩陣： (4)除滿足：（i）正互反性：即而且還滿足：（ii）一致性：即則稱滿足上述條件的正互反對稱矩陣A為一致性矩陣，簡稱

8、一致陣。一致性矩陣（一致陣）性質(zhì)：性質(zhì)1：的秩Rank(A)=1有唯一的非0的最大特征根為n性質(zhì)2：的任一列（行）向量都是對應(yīng)特征根的特征向量：即有(特征向量、特征值)：，則向量 滿足：即：啟發(fā)與思考：既然一致矩陣有以上性質(zhì)，即n個元素W1, W2, W3 , Wn 構(gòu)成的向量是一致矩陣的特征向量，則對一致矩陣來說，可以把一致矩陣的特征向量求出之后，再把一致矩陣的特征向量歸一化后得到的向量，看成是諸元素W1, W2, W3 , Wn目標(biāo)O的權(quán)向量。因此，可以用求一致矩陣的特征根和特征向量的辦法，求出元素W1, W2, W3 , Wn相對于目標(biāo)O的權(quán)向量。解釋：一致矩陣即：件物體，它們重量分別為

9、，將他們兩比較重量，其比值構(gòu)成一致矩陣，若用重量向量右乘，則：分析：若重量向量未知時，則可由決策者對物體之間兩兩相比關(guān)系，主觀作出比值的判斷，或用Delphi（調(diào)查法）來確定這些比值，使矩陣（不一定有一致性）為已知的，并記此主觀判斷作出的矩陣為（主觀）判斷矩陣，并且此（不一致）在不一致的容許范圍內(nèi)，再依據(jù)：的特征根或和特征向量連續(xù)地依賴于矩陣的元素，即當(dāng)離一致性的要求不太遠(yuǎn)時，的特征根和特征值（向量）與一致矩陣的特征根和特征向量也相差不大的道理：由特征向量求權(quán)向量的方法即為特征向量法，并由此引出一致性檢查的方法。問題：Remark以上討論的用求特征根來求權(quán)向量的方法和思路，在理論上應(yīng)解決以下問

10、題：1 一致陣的性質(zhì)1是說：一致陣的最大特征根為（即必要條件），但用特征根來求特征向量時，應(yīng)回答充分條件：即正互反矩陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩陣的最大特征根時，是否為一致陣？2 用主觀判斷矩陣的特征根和特征向量連續(xù)逼近一致陣的特征根和特征向量時，即： 由 得到：即：是否在理論上有依據(jù)。3一般情況下，主觀判斷矩陣在逼近于一致陣的過程中，用與接近的來代替，即有，這種近似的替代一致性矩陣的作法，就導(dǎo)致了產(chǎn)生的偏差估計問題，即一致性檢驗問題，即要確定一種一致性檢驗判斷指標(biāo)，由此指標(biāo)來確定在什么樣的允許范圍內(nèi)，主觀判斷矩陣是可以接受的，否則，要重新兩兩比較構(gòu)造主觀判斷矩陣。此

11、問題即一致性檢驗問題的內(nèi)容。以上三個問題：前兩個問題由數(shù)學(xué)嚴(yán)格比較可獲得（見教材P325，定理1、定理2）。第3個問題：Satty給出一致性指標(biāo)（Th1,Th2介紹如下：）附：Th1：（教材P326，perronTh 比隆1970）對于正矩陣（的所有元素為正數(shù)）（1）的最大特征根是正單根；（2）對應(yīng)正特征向量（的所有分量為正數(shù)）（3）其中：為半徑向量，是對應(yīng)的歸一化特征向量證明：（3）可以通過將化為標(biāo)準(zhǔn)形證明Th2：階正互反陣A的最大特征根；當(dāng)時，是一致陣五、一致性檢驗一致性指標(biāo)：1一致性檢驗指標(biāo)的定義和確定的定義：當(dāng)人們對復(fù)雜事件的各因素，采用兩兩比較時，所得到的主觀判斷矩陣，一般不可直接保

12、證正互反矩陣就是一致正互反矩陣，因而存在誤差（及誤差估計問題）。這種誤差，必然導(dǎo)致特征值和特征向量之間的誤差。此時就導(dǎo)致問題與問題之間的差別。（上述問題中是主觀判斷矩陣的特征值，是帶有偏差的相對權(quán)向量）。這是由判斷矩陣不一致性所引起的。因此，為了避免誤差太大，就要給出衡量主觀判斷矩陣的一致性的判別準(zhǔn)則。因為：當(dāng)主觀判斷矩陣為一致陣時就有： 為一致陣時有：此時存在唯一的非O特征根（由一致陣性質(zhì)1：Rark(4)=1，有唯一非O最大特征根且）當(dāng)主觀判斷矩陣不是一致矩陣時，此時一般有：（Th2）此時，應(yīng)有：即： 所以，可以取其平均值作為檢驗主觀判斷矩陣的準(zhǔn)則，一致性的指標(biāo)，即： 顯然：（1） 當(dāng)時，

13、有：， 為完全一致性（2） 值越大，主觀判斷矩陣的完全一致性越差，即：偏離越遠(yuǎn)(用特征向量作為權(quán)向量引起的誤差越大)（3） 一般，認(rèn)為主觀判斷矩陣的一致性可以接受，否則應(yīng)重新進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造主觀判斷矩陣。2隨機一致性檢驗指標(biāo)問題：實際操作時發(fā)現(xiàn)：主觀判斷矩陣的維數(shù)越大，判斷的一致性越差，故應(yīng)放寬對高維矩陣的一致性要求。于是引入修正值來校正一致性檢驗指標(biāo)：即定義的修正值表為：的維數(shù)1 2 3 4 5 6 7 8 90.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45并定義新的一致性檢驗指標(biāo)為：隨機一致性檢驗指標(biāo)的解釋：為確定的不一致程度的容許范圍，需要確定衡

14、量的一致性指示的標(biāo)準(zhǔn)。于是Satty又引入所謂隨機一致性指標(biāo)，其定義和計算過程為： 對固定的，隨機構(gòu)造正互反陣，其元素從19和1中隨機取值，且滿足與的互反性，即：，且. 然后再計算的一致性指標(biāo)，因此是非常不一致的，此時，值相當(dāng)大. 如此構(gòu)造相當(dāng)多的，再用它們的平均值作為隨機一致性指標(biāo)。 Satty對于不同的11)，用100500個樣本計算出上表所列出的隨機一致性指標(biāo)作為修正值表。3 一致性檢驗指標(biāo)的定義一致性比率。由隨機性檢驗指標(biāo)可知：當(dāng)時，這是因為1, 2階正互反陣總是一致陣。對于的成對比較陣，將它的一致性指標(biāo)與同階（指相同）的隨機一致性指標(biāo)之比稱為一致性比率簡稱一致性指標(biāo)，即有： 一致性檢

15、驗指標(biāo)的定義一致性比率定義： 當(dāng)：時，認(rèn)為主觀判斷矩陣的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。否則，對主觀判斷矩陣重新進(jìn)行成對比較，構(gòu)重新的主觀判斷矩陣。注：上式的選取是帶有一定主觀信度的。六、標(biāo)度比較尺度解：在構(gòu)造正互反矩陣時，當(dāng)比較兩個可能是有不同性質(zhì)的因素和對于上層因素O的影響時，採用什么樣的相對刻度較好，即的元素的值在（19）或（1）或更多的數(shù)字，Satty提出用19尺度最好，即取值為19或其互反數(shù)1，心理學(xué)家也提出：人們區(qū)分信息等級的極限解能力為±2?？梢妼﹄A矩陣，只需作出個判斷值即可標(biāo)度定 義135792，4，6，8，倒數(shù)1，因素與因素相同重要因素比因素稍重

16、要因素比因素較重要因素比因素非常重要因素比因素絕對重要因素與因素的重要性的比較值介于上述兩個相鄰等級之間因素與因素比較得到判斷值為的互反數(shù)，注：以上比較的標(biāo)度Satty曾用過多種標(biāo)度比較層，得到的結(jié)論認(rèn)為：19尺度不僅在較簡單的尺度中最好，而且比較的結(jié)果并不劣于較為復(fù)雜的尺度。Satty曾用的比較尺度為： 13, 15, 16，, 111，以及 ，其中 ，其中 等共27種比較尺度，對放在不同距離處的光源亮度進(jìn)行比較判斷，并構(gòu)造出成對比較矩陣，計算出權(quán)向量。同時把計算出來的這些權(quán)向量與按照物理學(xué)中光強度定律和其他物理知識得到的實際權(quán)向量進(jìn)行對比。結(jié)果也發(fā)現(xiàn)19的比較標(biāo)度不僅簡單，而效果也較好（至

17、少不比其他更復(fù)雜的尺度差）因而用19的標(biāo)度來構(gòu)造成對比較矩陣的元素較合適。七、組合權(quán)向量的計算層次總排序的權(quán)向量的計算層次分析法的基本思想：（1） 計算出下一層每個元素對上一層每個元素的權(quán)向量def：層次總排序，計算同一層次所有元素對最高層相對重要性的排序權(quán)值。當(dāng)然要先：構(gòu)造下一層每個元素對上一次每個元素的成對比較矩陣計算出成對比較矩陣的特征向量（和法，根法，冪法）由特征向量求出最大特征根（由和法，根法，冪法求得）用最大特征根用方式 及對成對比較矩陣進(jìn)行一致性檢，并通過。（2） 并把下層每個元素對上層每個元素的權(quán)向量按列排成以下表格形式：例，假定：上層有個元素，且其層次總排序權(quán)向量為，下層有個

18、元素，則按對 個元素的單排序權(quán)向量的列向量為，即有：層次層總是排序權(quán)重（權(quán)向量、列向量） 計算出最大特根（方法：和法、根法、冪法）一致性檢驗一致性檢驗比率檢驗否？注：若下層元素與上層元素?zé)o關(guān)系時，取總排序權(quán)向量各分量的計算公式：(3) 對層次總排序進(jìn)行一致性檢驗：從高層到低層逐層進(jìn)行，如果如果層次某些元素對單的排序的一致性指標(biāo)為，相應(yīng)的平均隨機一致性指標(biāo)為，則層總排序隨機一致性比率為：當(dāng)時，認(rèn)為層次總排序里有滿意的一致性，否則應(yīng)重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。八、層次分析法的基本步驟：（S1）建立層次結(jié)構(gòu)模型將有關(guān)因素按照屬性自上而下地分解成若干層次：同一層各因素從屬于上一層因素，或?qū)ι蠈右蛩赜杏?/p>

19、響，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的影響。最上層為目標(biāo)層（一般只有一個因素），最下層為方案層或?qū)ο髮?決策層，中間可以有1個或幾個層次，通常為準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則層元素過多（例如多于9個）時，應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。（S2）構(gòu)造成對比較矩陣，以層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對于從屬于（或影響及）上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和19比較尺度構(gòu)造成對比較矩陣，直到最下層。（S3）計算（每個成對比較矩陣的）權(quán)向量并作一致性檢驗 對每一個成對比較矩陣計算最大特征根及對應(yīng)的特征向量（和法、根法、冪法等） 利用一致性指標(biāo)，隨機一致性指標(biāo)和一致性比率作一致性檢驗 若通過檢驗（即，或）則將上層

20、出權(quán)向量歸一化之后作為（到）的權(quán)向量（即單排序權(quán)向量） 若不成立，則需重新構(gòu)造成對比較矩陣（S4）計算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗即層次總排序 利用單層權(quán)向量的權(quán)值構(gòu)組合權(quán)向量表：并計算出特征根，組合特征向量，一致性上單 層層 重權(quán) 量 向下層 量層次 計算組合權(quán)向量其中 最大特征根和法、根法、冪法一致性檢驗 ?一致性隨機檢驗對照表 ？一致性比率 若通過一致性檢驗，則可按照組合權(quán)向量的表示結(jié)果進(jìn)行決策（中中最大者的最優(yōu)），即： 若未能通過檢驗，則需重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率，較大的成對比較矩陣九、特征根的近似求法（實用算法）層次分析法的基本思路是計算上層每個元素對下一層次各元素的權(quán)向

21、量（即最大特征根對應(yīng)的特征向量），以及組合權(quán)向量及一致性檢驗問題。計算判斷矩陣最大特征根和對應(yīng)陣向量，并不需要追求較高的精確度，這是因為判斷矩陣本身有相當(dāng)?shù)恼`差范圍。而且優(yōu)先排序的數(shù)值也是定性概念的表達(dá)，故從應(yīng)用性來考慮也希望使用較為簡單的近似算法。常用的有以下求特征根的近似求法：“和法”、“根法”、“冪法”，具體如下：1“和法”求最大特征根和對應(yīng)特征向量（近似解）（S1）將矩陣的每一列向量的歸一化得：（S2）對按行求和得：（S3）將歸一化，即有：，則有特征向量：（S4）計算與特征向量對應(yīng)的最大特征根的近似值：此方法：實際上是將的列向量歸一化后取平均值作為的特征向量。解釋：當(dāng)為一致矩陣時，它的

22、每一列向量都是特征向量可以在的不一致性不嚴(yán)重時，取的列向量（歸一化后）的平均值作為近似特征向量是合理的（有依據(jù)的）。2“根法”求最大特征根特征向量近似值：步驟與“和法”相同，只是在（S2）時：對歸一化后的列向量按行“求和”改為按行“求積”再取次方根，即：。即有具體步驟：(S1)將矩陣的每一列向量歸一化得：（S2）對歸一化以后的列向量各元素： 按行“求和”并開次方根得：（S3）再將歸一化得：得到特征向量近似值：（S4）計算最大特征根：作為最大特征根的近似值。注：“根法”是將“和法”中求列向量的算術(shù)平均值改為求幾何平均值。3“冪法”求最大特征根：（S1）任取維歸一化初始向量（S2）計算（S3）歸一

23、化，即令：（S4）對預(yù)先給定的，當(dāng)時，即為所求的特征向量；否則返回（S2）（S5）計算最大特征根，以上用冪法求最大特征根對應(yīng)特征向量的迭代方法，其收斂性由TH1（教材P325）中的3），其中，是對應(yīng)的歸一化向量特征。（證明：可以將化為標(biāo)準(zhǔn)形證明）保證。任意選取，也可以取由“根法”、“和法”得到的注：在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最簡單。例：在旅游問題中，求目標(biāo)層到準(zhǔn)則層的成對比較矩陣為的特征向量和最大特征根：選擇旅游地 居住旅途景色費用飲食準(zhǔn)則層：P1P2P3方案層：利用“和法”求的特征向量和特征根（S1）將的元素按列歸一化得：（S2）將中元素按行求和得各行元素之和：（S3）再將上述矩陣向量