【教師版】小學(xué)奧數(shù)7-5-3組合之排除法.專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)及答案解析

1、7-5-3.組合之排除法7- 5-3.組合之排除法.題庫(kù)教師版page 7 0f 7國(guó)M歸 教學(xué)目標(biāo)1 .使學(xué)生正確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問(wèn)題；2 .了解組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問(wèn)題，寫(xiě)出符合要求的組合；3 .掌握組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4 .會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題，以及與其他專(zhuān)題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過(guò)本講的學(xué)習(xí)，對(duì)組合的一些計(jì)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別， 并掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等.目刪后知識(shí)要點(diǎn)一、組合問(wèn)題日常生活中有很多“分組”問(wèn)題.如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組，從全班同學(xué) 中選出幾人參

2、加某項(xiàng)活動(dòng)等等.這種“分組”問(wèn)題，就是我們將要討論的組合問(wèn)題，這里， 我們將著重研究有多少種分組方法的問(wèn)題.一般地，從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)（mEn）元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序， 叫做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)組合.從排列和組合的定義可以知道， 排列與元素的順序有關(guān)， 而組合與順序無(wú)關(guān).如果兩個(gè) 組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的 元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合.從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素（m W n）的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同元素中取 出m個(gè)不同元素的組合數(shù).記作 Cm .一般地，求從n個(gè)不同元素中取出的 m個(gè)元

3、素的排列數(shù) Pmn可分成以下兩步: 第一步：從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素組成一組，共有 Cm種方法； 第二步：將每一個(gè)組合中的m個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有 P二種排法.根據(jù)乘法原理，得到 pm=Cm Pmm.因此，組合數(shù) Cm =Pm = n'（nT）:，-2）川n-m，1 .Pmm （m -1 （ m -2）1 | 3 2 1這個(gè)公式就是組合數(shù)公式.、組合數(shù)的重要性質(zhì)般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：Cm =CnnJm（ m<n）這個(gè)公式的直觀意義是：Cm表示從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成一組的所有分組方法.Cn"m表示從n個(gè)元素中取出（n_m）個(gè)元素組成一組的所有分組方法.

4、顯然，從 n個(gè)元 素中選出m個(gè)元素的分組方法恰是從 n個(gè)元素中選m個(gè)元素剩下的（n_m）個(gè)元素的分組 方法.例如，從5人中選3人開(kāi)會(huì)的方法和從 5人中選出2人不去開(kāi)會(huì)的方法是一樣多的，即32C5 -C5 規(guī)定 C； =1 , C0 =1 .且訓(xùn)隹例題精講對(duì)于某些有特殊要求的計(jì)數(shù)，當(dāng)限制條件較多時(shí)，可以先計(jì)算所有可能的情況，再?gòu)?中排除掉那些不符合要求的情況.【例1】 在1001995的所有自然數(shù)中，百位數(shù)與個(gè)位數(shù)不相同的自然數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】2星【題型】解答【解析】 先考慮1001995這1896個(gè)數(shù)中，百位與個(gè)位相同的數(shù)有多少個(gè)，在三位數(shù)中， 百位與個(gè)位可以是 19,十

5、位可以是 09,由乘法原理，有 9父10=90個(gè)，四位 數(shù)中，千位是 1,百位和個(gè)位可以是09,十位可以是 09,由乘法原理，10x10=100個(gè)，但是要從中去掉 1999,在1001995中，百位與個(gè)位相同的數(shù)共 有90 +99 =189個(gè)，所以，百位數(shù)與個(gè)位數(shù)不相同的自然數(shù)有：1896-189=1707個(gè).【答案】1707【例2】1到1999的自然數(shù)中，有多少個(gè)與 5678相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】 從問(wèn)題的反面考慮：1到1999的自然數(shù)中，有多少個(gè)與5678相加時(shí)，不發(fā)生進(jìn)位？ 這樣的數(shù)，個(gè)位數(shù)字有 2種可能（即0, 1）,十位數(shù)字有3

6、種可能（即0, 1, 2）,百 位數(shù)字有4種可能（即0, 1, 2, 3）,千位數(shù)字有2種可能（即0, 1）.根據(jù)乘法原 理，共有2父3父4父2=48個(gè).注意上面的計(jì)算中包括了0（ =0000）這個(gè)數(shù)，因此，1到1999的自然數(shù)中與5678相加時(shí)，不發(fā)生進(jìn)位的數(shù)有 48-1=47個(gè) 所以，1至IJ 1999的自然數(shù)中與5678相加時(shí)， 至少發(fā)生一次進(jìn)位的有 1999-47 =1952個(gè).【答案】1952【鞏固】所有三位數(shù)中，與 456相加產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】與456相加產(chǎn)生進(jìn)位在個(gè)位、十位、百位都有可能，所以采用從所有三位數(shù)中減去與456相

7、加不產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)的方法更來(lái)得方便，所有的三位數(shù)一共有 999 -99 = 900個(gè)，其中與456相加不產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)， 它的百位可能取1、2、3、4、5共5種可能， 十位數(shù)可以取0、1、2、3、4共5種可能，個(gè)位數(shù)可以取0、1、2、3共4種可能，根據(jù)乘法原理，一共有 5M5M4 =100個(gè)數(shù)，所以與 456相加產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)一共有 900 -100 =800 個(gè)數(shù).【答案】800【鞏固】從1到2004這2004個(gè)正整數(shù)中，共有幾個(gè)數(shù)與四位數(shù)8866相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】千位數(shù)小于等于1,百位數(shù)小于等于1,十位數(shù)小于等于3,個(gè)位數(shù)小于等于3,應(yīng)

8、 該有2 M2 乂4父41=63種可以不進(jìn)位，那么其他 2004 63 = 1941個(gè)數(shù)者B至少產(chǎn)生 一次進(jìn)位.【答案】1941【例3】 在三位數(shù)中，至少出現(xiàn)一個(gè)6的偶數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】 至少出現(xiàn)一個(gè)“6”，意思就是這個(gè)三位偶數(shù)中， 可以有一個(gè)6,兩個(gè)6或三個(gè)6.我 們可以把這三種情況下滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)分別求出來(lái)，再加起來(lái)；也可以從所有的三位偶數(shù)中減去不滿足條件的，即減去不含6的三位偶數(shù).三位偶數(shù)共有450個(gè)，我們先來(lái)計(jì)算不含 6的偶數(shù)的個(gè)數(shù)，不含 6的偶數(shù)，個(gè)位可以是 0, 2, 4, 8,十位上可以是除 6以外的其余9個(gè)數(shù)字，百位可以是除

9、 6, 0以外的8個(gè)數(shù)字， 因此不含 6的三位偶數(shù)共有 4父9黑8 =288個(gè)，則至少出現(xiàn)一個(gè) 6的三位偶數(shù)有 450 4 9 8 =16限【答案】162【例4能被3整除且至少有一個(gè)數(shù)字是 6的四位數(shù)有 個(gè)?！究键c(diǎn)】組合之排除法【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)，第14題【解析】 用排除法，四位數(shù)總共有9X 10X 10X 10=9000個(gè)，其中能被 3整除的四位數(shù)有 3000個(gè)，排除掉能被3整除且不含有數(shù)字 6的四位數(shù)之后剩下的所有的四位數(shù)都滿足條件！ 設(shè)能被3整除且不含有數(shù)字 6的四位數(shù)為abcd ,最高位千位 a有8選法（不能選0或 6）,百位有9種選法（不能選 6）,十

10、位也有9種選法（也不能選 6）,若前三位的數(shù)字 和（a+b+c）若除以3余0則個(gè)位d有3種選法（可選0,3,9）；若前三位的數(shù)字和（a+b+c） 除以3余1,則個(gè)位d有3種選法（可選2, 5, 8）;若前三位的數(shù)字和（a+b+c）除以 3余2,則個(gè)位d還是有3種選法（可選1, 4, 7）;故能被3整除且不含有數(shù)字 6的四 位數(shù)有8X 9 X 9X 3=1944個(gè)。從而得到能被 3整除且至少有一個(gè)數(shù)字是6的四位數(shù)有3000-1944=1056 個(gè)。【答案】1056【例5】 由0, 1, 2, 3, 4, 5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，百位不是 2的奇數(shù)有 個(gè).【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】3星【

11、題型】解答【解析】由0, 1, 2, 3, 4, 5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的奇六位數(shù)，個(gè)位可以為1, 3, 5,有3種選法；個(gè)位選定后，十萬(wàn)位不能與個(gè)位相同，且不能為0,有4種；十萬(wàn)位選定后萬(wàn)位有4種；故由0, 1, 2, 3, 4, 5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的奇六位數(shù)的 個(gè)數(shù)為：3 M4 M4 M3 M2 M1 =288 個(gè)；由0, 1, 2, 3, 4, 5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且百位為 2的奇六位數(shù)，個(gè)位可以為 1, 3, 5, 有3種選法；十萬(wàn)位不能與個(gè)位相同，且不能為0、2,有3種；十萬(wàn)位選定后萬(wàn)位有 3種； 故由0,1,2,3,4, 5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且百位為 2的奇六位數(shù)的個(gè)數(shù)為：3M3M

12、3M2M1 = 54所以，滿足條件的數(shù)有：288-54 =234個(gè).【答案】234【例6】從三個(gè)0、四個(gè)1,五個(gè)2中挑選出五個(gè)數(shù)字，能組成多少個(gè)不同的五位數(shù)？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】由3個(gè)0, 4個(gè)1, 5個(gè)2組成五位數(shù)，首位上不能是 0,只能是1或2,有2種選 擇；后面 4位上都可以是 0、1或2,各有3種選擇，根據(jù)乘法原理，共有 2M3M3M3M3=162 種選擇； 但是注意，這樣算是在0和1的個(gè)數(shù)足夠多的情況下才能算，本題中可能會(huì)出現(xiàn) 0和1的個(gè)數(shù)不夠的情況（2的個(gè)數(shù)肯定夠）.比如說(shuō)，0只有3個(gè)，但是上面的算 法 卻包括了后四位都是 0的情況，這樣的數(shù)有兩個(gè)：

13、10000和20000,得減掉；另外， 1只有4個(gè)，卻包含了五位都是 1的情況：11111,也得減去.所以實(shí)際上共有162 -3 =159個(gè).【答案】159【例7】 由數(shù)字1, 2, 3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1, 2, 3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有 個(gè).【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，初試， 6題【解析】這是一道組合計(jì)數(shù)問(wèn)題. 由于題目中僅要求 1, 2, 3至少各出現(xiàn)一次，沒(méi)有確定1, 2, 3出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類(lèi)枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，也可以從反面想， 從由1, 2, 3組成的五位數(shù)中，去掉僅有 1個(gè)或2個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)即可.方

14、法一：分兩類(lèi)（1）1, 2, 3中恰有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn) 3次，這樣的數(shù)有C；m5m4=60個(gè)；（2）1 , 2, 3中有兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn) 2次，這樣的數(shù)有c2x5mc4=90個(gè)；綜上所述符合題意的五位數(shù)共有 60 + 90 = 150個(gè).方法二：從反面想：由 1, 2, 3組成的五位數(shù)共有35個(gè)，由1, 2, 3中的某2個(gè)數(shù)字組成 的五位數(shù)共有3M（25-1）個(gè)，由1, 2, 3中的某1個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有 3個(gè)， 所以符合題意的五位數(shù)共有 35 -3 425 -1 ）-3 =150個(gè).【答案】150個(gè)【例8】10個(gè)人圍成一圈，從中選出兩個(gè)不相鄰的人，共有多少種不同選法？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度

15、】3星【題型】解答【解析】（法1）乘法原理.按題意，分別站在每個(gè)人的立場(chǎng)上，當(dāng)自己被選中后，另一個(gè)被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個(gè)人都有7種選擇,總共就有7M10 =70種選擇，但是需要注意的是， 選擇的過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)“選了甲、 乙，選了乙、甲”這樣的情況本來(lái)是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié) 果應(yīng)該是（10111）父102=35（種）.（法2）排除法.可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為Ci,而被選的兩個(gè)人相鄰的情況有10種，所以共有C120 10 =45 10=35（種）.【答案】35【例9】一棟12層樓房備有電梯，第二層至第六層電梯不停.

16、在一樓有3人進(jìn)了電梯，其中至少有一個(gè)要上 12樓，則他們到各層的可能情況共有多少種？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】每個(gè)人都可以在第7層至第12層中任何一層下，有 6種情況，那么三個(gè)人一共有 6M66=216種情況，其中，都不到 12樓的情況有5M5M5 =125種.因此，至少 有一人要上12樓的情況有216-125=91種.【答案】91【例10】8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個(gè)人選

17、定了三個(gè)位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇.小慧和大智不能相鄰的互補(bǔ)事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個(gè)條件的站法總數(shù)為：C3Mp2 MC4Mp2Mp3 =3360 （種）同時(shí)滿足第一、三個(gè)條件，并且滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：C3vp2 黑戌黑p2 MP； =960 （種）因此同時(shí)滿足三個(gè)條件的站法總數(shù)為：3360960=2400 （種） 【答案】2400【例11若一個(gè)自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)字，且每個(gè)數(shù)字小于其右邊的所有數(shù)字，則稱(chēng)這個(gè) 數(shù)是“上升的”.問(wèn)一共有多少“上升的”自然數(shù)？【考點(diǎn)】組合之排除法【難

18、度】3星【題型】解答【解析】由于每個(gè)數(shù)字都小于其右邊所有數(shù)字，而首位上的數(shù)不能為0,所以滿足條件的數(shù)各數(shù)位上都沒(méi)有0,而且各數(shù)位上的數(shù)都互不相同.那么最大的“上升的”自然數(shù) 是123456789.而且可以發(fā)現(xiàn)，所有的“上升的”自然數(shù)都可以由123456789這個(gè)數(shù)劃掉若干個(gè)數(shù)碼得到.反過(guò)來(lái)，由從123456789這個(gè)數(shù)中劃掉若干個(gè)數(shù)碼得到的至少兩位的數(shù)都是“上升的”自然數(shù).所以只要算出從123456789中劃掉若干個(gè)數(shù) 碼所能得到的至少兩位的數(shù)有多少個(gè)就可以了.因?yàn)槠渲忻總€(gè)數(shù)碼都有劃掉和保留這2種可能，所以9位數(shù)共有29種可能，但是需要排除得到的一位數(shù)及零，這樣 的數(shù)共有10個(gè)，所以所能得到的

19、至少兩位的數(shù)有29 -10 = 502 （個(gè)）.所以一共有502個(gè)“上升的”自然數(shù).【答案】502【例1216人同時(shí)被邀請(qǐng)參加一項(xiàng)活動(dòng).必須有人去，去幾個(gè)人自行決定，共有多少種不同的去法？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】 方法一：可以分為一人去、兩人去、三人去、四人去、五人去、六人去六種情況，每一種情況都是組合問(wèn)題.第一種情況有6種去法；第二種情況有C62 =69=15 （種）去法；2 1第三種情況有C；：6*4 =20（種）去法;3 2 1第四種情況有C64 =6父5*4父3 =15 （種）去法；4 3 2 1第五種情況有C； = 6父5父4父3父2 = 6 （種）去法；

20、5 4 3 2 1第六種情況有1種去法.根據(jù)力口法原理，共有 6+15+20+15+6+1 =63（種）不同的去法.方法二：每一個(gè)人都有去或者不去兩種可能，但要減掉所有人都不去這種情況，于是總共有26 -1 =63（種）不同的去法.【答案】63【例13】由數(shù)字1, 2, 3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1, 2, 3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有 個(gè).【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，決賽【解析】 這是一道組合計(jì)數(shù)問(wèn)題.由于題目中僅要求1, 2, 3至少各出現(xiàn)一次，沒(méi)有確定1 , 2, 3出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類(lèi)枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，也可以從反面想，

21、從由1,2,3組成的五位數(shù)中，去掉僅有 1個(gè)或2個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)即可.（法1）分兩類(lèi)：1, 2, 3中恰有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn) 3次，這樣的數(shù)有C3M5M4=60（個(gè)）；1,222, 3中有兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn) 2次，這樣的數(shù)有 C3黑5MC4 =90（個(gè)）.符合題意的五位數(shù)共有60 +90 =150（個(gè)）.（法2）從反面想，由1, 2, 3組成的五位數(shù)共有35個(gè)，由1, 2, 3中的某2個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有3x（252）個(gè)，由1, 2, 3中的某1個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有 3個(gè)，所以符合題 意的五位數(shù)共有 35 -3x（25 - 2） 3 =150（個(gè)）.【答案】150【例14】5條直線兩兩相交，沒(méi)有兩

22、條直線平行，沒(méi)有任何三條直線通過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，以這5條直線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)能構(gòu)成幾個(gè)三角形？（構(gòu)成的三角形的邊不一定在這5條直線上） 【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】4星【題型】解答【解析】（法1）5條直線一共形成5父4得2 =10個(gè)點(diǎn)，對(duì)于任何一個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)它有兩條直線， 每條直線上另外有 3個(gè)點(diǎn)，此外還有3個(gè)點(diǎn)與它不共線，所以以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三 角形就有3父3+3父3+3父3+3乂2+ 2=30個(gè)三角形，則以10個(gè)點(diǎn)分別為頂點(diǎn)的三角 形一共有300個(gè)三角形，但每個(gè)三角形都被重復(fù)計(jì)算了3次，所以一共有100個(gè)三角形.（法2）只要三點(diǎn)不共線就能構(gòu)成三角形，所以可以先求出10個(gè)點(diǎn)中取出3個(gè)點(diǎn)的種數(shù)，再減去3點(diǎn)

23、共線的情況.這10個(gè)點(diǎn)是由5條直線相互相交得到的，在每條直線上都有4個(gè)點(diǎn)存在共線的情況，這 4個(gè)點(diǎn)中任意三個(gè)都共線，所以一共有5黑C3 =20個(gè)三點(diǎn)共線的情況，除此以外再也沒(méi)有 3點(diǎn)共線的情況，所以一共可以構(gòu)成C；0_20=100種情況.【答案】100【例15】正方體的頂點(diǎn)（8個(gè)），各邊的中點(diǎn)（12個(gè)），各面的中心（6個(gè)）,正方體的中心（1 個(gè)），共27個(gè)點(diǎn)，以這27個(gè)點(diǎn)中的其中3點(diǎn)一共能構(gòu)成多少個(gè)三角形？【考點(diǎn)】組合之排除法【難度】3星【題型】解答【解析】27個(gè)點(diǎn)中取三個(gè)點(diǎn)，不是這 3點(diǎn)共線，就是這3點(diǎn)能構(gòu)成三角形.27個(gè)點(diǎn)中取三 個(gè)點(diǎn)一共有 27x26x25-（3x2x1） =2925#.過(guò)三點(diǎn)的直線可以分為 3類(lèi).有兩個(gè)頂點(diǎn)連線構(gòu)成的有8x7 + 2 = 28條；由兩個(gè)面的中心連線的有3條，由兩條棱的中點(diǎn)連線的有12M3-2 = 18條，所以能構(gòu)成的三角形有 2925 -28 -3 -18 =2897種.【答案】2897【例16】用A、B、C H E、F六種染料去染圖中的兩個(gè)調(diào)色盤(pán)，