(整理)向量知識框架

1、向量gMfe 模塊框架向不及與向量相矢的雇率概念H向ja的概念與線性運算上向盤的加:誡法向疑強柒運彈及:其幾何意義平面向WF本定理平面向量的應用向行綜合，三角函數(shù)粽分 平面向量在平面幾何 平出用1量的實際應用。解析兒何綜合在代,數(shù)中的庖用gim 高考要求向量要求層 次重難點平向向量的相關概念B理解平面向量的概念， 理解兩個向量相 等的含義.理解向量的幾何表示.向量加法與減法C 掌握向量加法、減法的運算，并理解 其幾何意義.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義， 理解兩個向量共線的含.了解向量線性運算的性質及其幾何意 義.向量的數(shù)乘C兩個向量共線B平向向量的基本定理A了解平面向量的基本定理及其意義.

2、掌握平向向量的正交分解及其坐標表示.會用坐標表示平向向量的加法、減法與數(shù)乘運算. 理解用坐標表示的平面向量共線的條 件.平向向量的正父分解及 其坐標表小B理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理 意義.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的 關系. 掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平 面向量數(shù)量積的運算.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角， 會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關 系.用坐標表小平向向里的 加法、減法與數(shù)乘運算C用坐標表小的平向向里 共線的條件C數(shù)量積Cr數(shù)里積的坐標表小C會用向量方法解決某些簡單的平面幾 何問題.會用向量方法解決簡單的力學問題與 其他一些實際問題.用數(shù)量積表示兩個向量 的夾角B用數(shù)量

3、積判斷兩個平面 向量的垂直關系C用向量方法解決簡單的 問題B目皿 知識內容 向量的概念：在高中階段，我們把具有大小和方向的量稱為向量.有些向量不僅有大小和方向，而且還有作用點.例如，力就是既有大小和方向，又有作 用點的向量.有些量只有大小和方向，而無特定的位置.例如，位移、速度等，通常把后一類向量叫做自由向量.高中階段學習的主要是自由向量，以后我們說到向量，如無特別說明,指的都是自由向量. 是可以任意平行移動的.向量不同于數(shù)量，數(shù)量之間可以進行各種代數(shù)運算，可以比較大小，兩個向量不能比較大小.向量的表示：幾何表示法：用有向線段表示向量， 有向線段的方向表示向量的方向，線段的長度表示向量的長度.

4、 字母表示法：AB ,注意起點在前，相等向量：同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等向量. 可根據(jù)右圖的正六邊形，或根據(jù)下題平行四邊形講解相等向量.已知E、F、G、H分別是平行四邊形 ABCD邊AB、DC、BC、AD的中點，O為對角線AC與BD的交點，分別寫圖中與 DF , BH , NO相等的向量.解:DF =FC =GO =OH =AE =EB+ +t IBH =HC =AG =GD(4)向量共線或平行：通過有向線段 AB的直線，叫做向量AB的基線.如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行.向量a平行于向量b ,記作a / b .說明：共線向量的方向相同或相反，注意：這里說向

5、量平行，包含向量基線重合的情形， 與兩條直線平行的概念有點不同.事實上，在高等數(shù)學中，重合直線是平行直線的特殊情形. 零向量：長度等于零的向量，叫做零向量.記作:0.零向量的方向不確定，零向量與任意向量 平行.(6)用向量表示點的位置：任給一定點O和向量a ,過點O作有向線段OA；：,則點a相對于點O位置被向量a所唯一確定，這時向量 OA又常叫做點A相對于點O的位置向量.AB AC =3.1 .向量的加法:C向量加法%F形法則：T彳 T .已知向量a,b,在平面上任取一點a,作tBj，bc=b ,再作向量AC ,則向量AC444 44 44叫做a和b的和(或和向量)，記作a+b,即a+b=AB

6、+BC=AC . 向量求和的平行四邊形法則：* 已雪個不共線的向量 a,之，作品=a, 7D=b，則A, 匕 D三點不共線， 以NB ,品為鄰邊作平行四邊形 ABCD ,則對角線上的向量 AC = a +b ,這個法 則叫做向量求和的平行四邊形法則.向量的運算性質：，.向量加法的交換律：a b =b a向量加法的結合律：(a b) c = a (b c)關于 0 ： a +0 =0+a =a向量求和的多邊形法則：已知n個向量，依次把這n個向量首尾相連，以第一個向量的始點為始點，第 n個向 量的終點為終點的向量叫做這 n個向量的和向量.這個法則叫做向量求和的多邊形法則.2 .向量的減法:d相反向

7、量：與向量a方向相反且等長的向量叫做 a的相反向量，記作 -a.零向量的相反向量仍是零向量.差向量定義：如果把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點，被減向量的終點為終點%量.一推論：一個向量BA等于它的終點相對于點 O的位置向量OA減去它的始點相對于點:O的位置向量OB ,或簡記“終點向量減始點向量”.一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量3 .數(shù)乘向量：定義：實數(shù)九和向量a的乘積是一個向量，記作高，且焉的長,之=r 判斷正誤：已知 A, Nwr .4 444444 Ma+b） =Aa+7年；（，）（九 十N）a =a+Na ;（，）_ ,4/、/ W ,

8、4/、 MNa）=（*）a；（，） Ka + Nb =（九+ N）（a+b） . （x）4.向量共線的條件平行向量基本定理：如果 a =j,則3 / b ;反之，如果a / b ,且b#0 ,則一定存 在唯一的一個實數(shù)九，使a=4.單位向量：給定一個非零向量a,與a同方向且長度等于i的向量，叫做向f 2的單 位向量.如果a的單位向量記作不，由數(shù)乘向量的定義可知ajas或”=1.1.平面向量基本定理：如果:和e2是一平面內的兩個不平行的向量，那么該平面內的任一向量a ,存在q & t唯一的一對實數(shù) a1, a2,使 a = a1e1 +a2e2 .基底：我們把不共線向量el , e2叫做表示這一

9、平面內所有向量的一組基底，記作:,e2. a?+a2?叫做向量a關于基底?,1的分解式.說明： 一定理中ei, e2是兩個不共線向量；a是平面內的任一向量，且實數(shù)對a1, a2是惟一的;平面的任意兩個不共線向量都可作為一組基底. 平面向量基本定理的證明：在平面內任取一點 O ,作OE1 =e1 , OE2 =e2 由于el與e不平行，可以進行如下作圖：過點A作OE2的平行（或重合）直線，交直線 過點A作OEi的平行（或重合）直線，交直線 于是依據(jù)平行向量基本定理，存在兩個唯一的實數(shù)H IT分別有 OM =a1e , ON =a2e2 ,4 T TTy 使 OA = xe + ye ,則如果*一

10、2與丫-22中有所以 a =OA =OM ON =ae azQ證明表示的唯一性：如果存在另對實數(shù)x+ a2e2= xe+ ye.H T 彳 T -即(x-ajei +(y-a2)e2 =0 ,由于 e 與 e2不平行,個不等于0,不妨設y -a2 00 ,則金ei , y2由平行向量基本定理，得 ei與e2平行，這與假設矛盾，因此 xq =0 , 丫一比=0, 即 x =a1 , y =a2.證明A, B, P三點共線或點在線上的方法：已知A、B是直線l上的任鶴點，O是l外一點，駕線l上任意一點P , 存在實數(shù)t,使oP關于基底oa,ob的分解式為 T TOP =（1 t）OA +tOB ，并

11、且滿足式的點P 一定在l上.證明：設點P在直線l上，則由平行向量定理知，存在實數(shù)t ,使 AP 亍tAB =t(OB -OA),OP =Oa Ap =Oa tOB _tOA =(i _t)OA tOB設點p滿足等式 Op =(1 _t)QA+tOB ,貝u AP= tAB，即P在 l上.其中式可稱為直線l的向量參數(shù)方程式，當t 時,2點M是AB的中點，則OM =q(OA+OB),這是向量TB的中點的向量表達OAB中，若M為邊AB中點,1 一 則有 OM =a（OA+OB）存在.2.向量的正交分解與向量的直角坐標運算： 向量的直角坐標：如果基底的兩個基向量 底.在正交基底下分解向量，叫做正交分解

12、.向量的坐標表示：在直角坐標系中，一點 定.設點A的坐標為(x,y),由平面向量基本定理，有 的坐標(x, y),e , e2互相垂直，則稱這個基底為正交基A的位置被點 A的位置向量 OA所唯一確OA = x： +y =(x, y),即點A的位置向量OA式.可推廣到也就是點A的坐標；反之，點 A的坐標也是點 A相對于坐標原點的位置向量 OA的坐 標.教師備案,教師備案 在直角坐標系xOy內，分別取與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量 el時，我們就在坐標平面內建立了一個正交基底這個基底也叫做直角坐標系xOy的基底.對于平面內的一個向量只有一對實數(shù) ai , a2,使得a =a1e1 +a2e2a

13、 ,由平面向量基本定理可知，有且這樣，平面內的任一向量 a都可由d ,a2唯一確定，我們把有序數(shù)對(a1,a2)叫做向量a的坐標，記作a=(ai,a2).其 中a1叫做a在x軸上的坐標，a2叫做a在y軸上的坐標，式叫做向量的坐標 表本.向量的直角坐標運算:設 a =(& , a?) , b =(bi, d),則小 O.，、公，、，、 a +b =(a +bi, a? +b?)； a b =(a bi , a2 d); 兒a =?.,a?) =(?.a ,九a?)說明：兩個向量的和與差的坐標等于兩個向量相應坐標的和與差； 數(shù)乘向量的積的坐標等于數(shù)乘以向量相應坐標的積. T T T教師備案若 A(

14、xi,yi), B(X2,y2),則向量 AB =OBOA =(x2-為。？yj ；一個向量的坐標等于向量的終點的坐標減去始點的坐標.3 .用平面向量坐標表示向量共線條件：4 4一設a=0,a2), b=(,b?),則aib2a2bi =0就是兩個向量平行的條件.若向量b不平行于坐標軸，即 匕*0, b2=0,則兩個向量平行的條件是，相應坐標成比 例. 根據(jù)力與功的計算，引入向量的數(shù)量積運算.一個力F作用于一個物體，使該物體位移 s,由于圖示的力 F的方向與位移方 向有一個夾角0 ,真正使物體前進的力是F在物體唯一方向上的分力，這個分力與物體位移距離的乘積才是力F做的功.即力F使物體惟一 s所

15、做的功W可以用W = s F cos 1計算.i.向量數(shù)量積的物理背景與定義兩個向量的夾角：已知兩個非零向量a , b,作OAJ, OB=b，則ZACB稱作向量a和向量b的夾角，記作,I -并規(guī)定0w n ,在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角被唯一確定了，并且有 .當a,b=一時，我們說向重a和向重b互相垂直，記作 alb.2向量物數(shù)量個.(內積)定義 .4 4,a b；cos叫做向量a和b的數(shù)量積(或內積)，記作a b ,即 a b i a (bo s a b 可通過下*,講解意量的數(shù)量,曰概念及應用.已知 a； =5, E=6, a, b =i35。求 a b,已知 a b = -9 ,國 |b

16、； =i8 ,求 .4 4 Hi44 4. 4 4解：a b=|a|bcosa, b =5X6Xcosi35 s = -i5V2 , a b = -i5/2 a b |a|bcos , cos = 一；，日二 i20口 若兩個向量是首尾相接，需要注意向量所成的角：求 ab+b c+ca.如圖，a與b、b與c、a與c夾角為120,g9 -4444，原式 二|a| |b| cos120 |b| |c| cos120 |a| |c| cos1201二2M2 M5 |x3 =-6 .向量內積的性質.，e是單位向量，貝u a e=e ,aacos；a b =0 ,且 a b =0= a b ;aa2，即

17、a =I a a 4 a，bS 7a a ; cos a, b a 4-; a b alb1 可通過以下判斷題，檢驗學生關于向量垂直條件的掌握情況_ T T2 T c對任意向量a,有a Z|2.(，)若a#0,田可任一非零量，若二 0 , a b =0, 則 b = 0 ; (x) 若ab=0,則a,b至少有一個為零向量；(X)若a b =a c,則b =c當且僅當1盛時成立；(x)I IW b ,有 a b#0; (x)2.向量數(shù)量積的運算律交換律：a b =b a ;分配律:(a b)c = a c b cMa b)=(Za)，b = a，(Kb).4 4 4 根據(jù)向量數(shù)量積的性質及運算律

18、，可得到以下公式：4 2.424 4 I It 2 完全平方公式：(a+b)2=|a +2ab,b；、444442 2 平方差公式：(a +b)(a -b) - a b13.向量數(shù)量積的坐標運算與度量公式向量內積的坐標運算：建立正交基：口小，已知：=(&,%) , b=(b1, b2),I 4a b = a1n a2b2一一44 用向量的坐標表示兩個向量垂直的條件：a J_ bu a1n +a2b2 =0向量的長度、距離和夾角公式已知a= , %),則a =JaF22 ,即向量的長度等于它的坐標平方和的算術平 方根.如果 A(x , y), B(x2, y2),則 AB =1國一為了 +(y2 yf .兩個向量夾角余弦的坐標表達式：cosa br-* aQ呼. a2 a22；b；