量子力學(xué)期末考試試卷及答案

1、量子力學(xué)期末試題及答案紅色為我認(rèn)為可能考的題目一、填空題：1、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：單值、連續(xù)性、有限性。2、| ¥ (r,t) |人2的物理意義： t時刻粒子出現(xiàn)在 r處的概率密度。3、一個量的本征值對應(yīng)多個本征態(tài)，這樣的態(tài)稱為 簡并。4、兩個力學(xué)量對應(yīng)的算符 旦且它們具有共同的確定值。二、簡答題：一1、簡述力學(xué)量對應(yīng)的算符必須是線性厄米的。答：力學(xué)量的觀測值應(yīng)為實數(shù)，力學(xué)量在任何狀態(tài)下的觀測值就是在該狀態(tài)下的平均值，量子力學(xué)中，可觀測的力學(xué)量所對應(yīng)的算符必須為厄米算符；量子力學(xué)中還必須滿足態(tài)疊加原理，而要滿足態(tài)疊加原理， 算符必須是線性算符。 綜上所述，在量子力 學(xué)中，能和可觀測的力

2、學(xué)量相對應(yīng)的算符必然是線性厄米算符。2、一個量子態(tài)分為本征態(tài)和非本征態(tài)，這種說法確切嗎？答：不確切。針對某個特定的力學(xué)量， 對應(yīng)算符為A,它的本征態(tài)對另一個力學(xué)量 (對 應(yīng)算符為B)就不是它的本征態(tài)，它們有各自的本征值，只有兩個算符彼此對易，它 們才有共同的本征態(tài)。3、輻射譜線的位置和譜線的強(qiáng)度各決定于什么因素？答：某一單色光輻射的話可能吸收，也可能受激躍遷。譜線的位置決定于躍遷的頻率 和躍遷的速度；譜線強(qiáng)度取決于始末態(tài)的能量差。三、證明題。3.4- 11EU月：Zxr-*-rx£ = 2滴 r： f x p + p x f = Ziftp ；£% =仍(¥ x

3、E)工(L x r) | ：- %在=通(P m 工)* - (Ex P)xiilii 1) (£ x r + r x £)工=£理ty + y£r zty = £>1 ?莊倒啟動0與坐標(biāo)算符的對易子(Eb，蘆=知(£ x l 十 t” x = 2ihrtr同理有(Z X r + r M £)> = 2ihy- (Z x r + r x L) = Zitiz 即£ m r + /角動量算符與動量算符的對易廣心說=£Ki/ipri同上可證工X p + p X K = 2ihp2) l2x-xt

4、= |白,引=|饒+氏+烏川=|氐*| + |馬工| +七.0 =工工"I + '，心+4+邑/匕+工jh + |&,工|&=D + 0 + (-ihz)Ly + £2(iAy) + (ifty)Z1=ih(yLx - zLy)-Lv)| ift (r x 磯-。m r)J2)同理z”:向他-%£上=小傍k t)位黑m) J2、證明概率流密度J不顯含時間 四、計算題2.20 一個瓶量為帆的粒產(chǎn)被戕別在單位為二口即r = /匕的個不可穿透的同心球面之間運勤.不存在其他勢 場.求粒子的基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)一期士粒子所處的翳場cm(r <

5、a)0(q < r < bao(x > t>)位同波函數(shù)所滿足的邊界條件是中例1gti =雙川e =。一徑向部分府位定蹲方%鼻爐由+E 竽店=d g < X <"引入變換R") = x(r)/rtlc = J2m£"，基態(tài)t = 0.可化為震 +0¥的儺是萬=Csin/c(r+。代人邊界條件有(a) = x() = C sin /c(a + r) = C s,nk(b + r) = 0一匚=a,/c = jt/b a)即JZmE/# = ?r/(/? 口)= 粒子的基態(tài)能量£ =fr q-N，n(b

6、-irjT編輯版wordkin依f-m】“TT - j ' r ' R '：-' 'dr - l ' J.' st n r - j ： d- b - a '：C = C 一部&L d) = F sin 3z r yJ b-a r b-«基態(tài)波函數(shù)中y 9, <p)-即e甲)歸一化i = fffv iw&a浦"=r盍(也華)t臼雙川叮叮廣皿廣麗中加=4汽*(亂時 =471(a9)=1人詬曲出波函數(shù)網(wǎng)心£產(chǎn))二雁*七鼠仇二忌忌即窄券/笳%小*第二題：如果類氫原子的核不是點電荷，而是半

7、徑為"、電荷均勻分布的小球, 計算這種效應(yīng)對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。解：這種分布只對r "的區(qū)域有影響，對r "的區(qū)域無影響。據(jù)題意H?U(r) Uo(r)其中Uo(r)是不考慮這種效應(yīng)的勢能分布，即2 U0(r)言U(r)為考慮這種效應(yīng)后的勢能分布，在r r0區(qū)域,U(r)Ze24 0r在rr0區(qū)域,U(r)可由下式得出,U(r)e Edrr140r2Ze可3 1 0Ze20rZe3 r, oro(rr°)(rro)e Edrr0r0U (r) e EdrrH?Ze24 0r03r0rdrrZe24 0r04dr r產(chǎn)(r0280r0由產(chǎn)40rO美

8、(3r022)(r r°)U(r) Uo(r)-e- 國80 r00r2)產(chǎn) 40r(rr0)(rr0)由于很小，所以H? H?一級修正為(基態(tài)(0)looU0(r),可視為一種微擾，由它引起Ei* _i(0) H? ，dZ3 roZe22-p o 8_(3r。ao8 oror2)Ze22Z一 rao24 r dr2Zrr a。，故 e ao1。-,4 2_ (1)Z ero2 24Ei()-3- o (3ro r r )dr2 o% r0-,4 2Z e3 o aorordr第三題 6.2-74 2Z eC3 32 oao"-7 42Z e 23roio oa32Z4e2

9、5a3(ro5-7 42Z e2 °ao2ro求自旋角動量在任意方向n (cos , cos,cos )的投影Sn的本征值和本征函數(shù)解：在§z表象，Sn的矩陣元為Sno1o i1ocos一coscos2 1o2 i o2 o1Sn 2其相應(yīng)的久期方程：coscos i coscos i coscos一 cos 2(cos i cos )2o一 (cos 2i cos )cos-2編輯版word即:編輯版word2cos41)/22(cos cos ) 0(利用 cos2cos2cos22所以冬的本征值為設(shè)對應(yīng)于Sn-的本征函數(shù)的矩陣表示為則 2 cos2 cosi coscos i coscosl(Sn)2. cos icos b 1 cosa(cos i cos ) b(由歸一化條件得：1I |2 cos 間取 a1 12 2i coscos* a(a ,b )2 b|a|2 1al2b2匚1 cos1 cos ,2(1|a cosi coscos ),2cos i cos_；N(1 cos )1 cos1cosi cos 0202(1 cos