高中數(shù)學(xué)(理)空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)及綜合練習(xí)

1、空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)。1 .空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示 ，同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。(2)空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2 .空間向量的運(yùn)算。3 .共線向量。(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量,a平行于b ,記作a/b。(2)共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b ( b w 0 ), a/ b存在實(shí)數(shù)入，使a =入b。4 .共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。(2)共面

2、向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在 實(shí)數(shù)x, y使r r rp xa yb 。r.rrr5 .空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p ,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組r r r r x, y, z,使 p xa yb zc。rrrr r rr r r若三向量a,b,c不共面，我們把a(bǔ),b,C叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面 的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè) O,A, B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P ,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z,使uuu uuu uur uur OP xOA yOB zO

3、C。6 .空間向量的直角坐標(biāo)系： (1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：(2)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：什 rrrr若 a(al,a2,a3) ,b(b1,b2,b3)，則 ab(a1b1,a2b2,a3r rR) , a b a1b1 a2b2 a3b,a1b a2b2 a3b3 0。y1, z2zi)。r rra b 6 b1，a2 b2,a3 b3)， a ( a, a2, %)(r ra/b a b1,a2 b2,%4(uuu若 A(x1，y1,4)，B(x2, y2,z2),則 AB (x2 Xi, y2一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。rr(

4、4)模長(zhǎng)公式：若 a (a1,a2,a3), b (卜也,0),wJ, "22則 | a | , a a a1a2,r r(5)夾角公式： cos； a b(6)兩點(diǎn)間的距離公式：若a32 , |b| 7b- 舊b32 r rTaa1b a2b2 a3b3| a | 1b | a12 a22 a32 b12 b22 b32A(Xi,yi,Zi)， B%, y2,Z2)，uurtutur 222則 | AB | V ABJ(x2 xi)(y2 yi) z1),或 dA,B ,(x2 %)2 (y2 yj2 S 4)27.空間向量的數(shù)量積。(1)空間向量的夾角及其表示:r ruuu已知兩

5、非零向量a,b ,在空間任取一點(diǎn) 。，作OAr uuu ra,OB b,則 AOBr , rr rr r叫做向重a與b的夾角，記作 a,b ；且規(guī)te 0 a,br r,顯然有 a,bJr 什 r r b, a ;右 a,b則稱a與b互相垂直，記作:uuu(2)向量的模：設(shè)OAruuura,則有向線段 OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作:向。(3)向量的數(shù)量積：已知向量r r r r r r r ra,b ,則|a| |b | cos a,b 叫做a,b的數(shù)量積，記作r r r r r 'a b |a| |b| cos a,b 。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：rrr r r -r.r

6、a e | a | cos a,e 。 a b(5)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：a b 0。1a|2 a a。r r (a) br r r r r r r rr r(a b) a ( b)。 a b b a (交換律)。 a (bc)r r r r a b a c (分配律)。8.空間的角：(1)兩異面直線所成的角：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn) O做直線a / a, b / b,則a、b所成的銳角或者直角叫做異面直線a、b所成的角，它的取值范圍是 ；向量求法：設(shè)直線a、b所成的角為 ，它們的方向向量a、 b的夾角為 ，則有cos cos ;(2)線面角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個(gè)平

7、面內(nèi)的射影所成的角，它的取值范圍 是；向量求法：設(shè)直線l的方向向量為u ,平面 的法向量為V,直線與平面所成的角為，向量u、v的夾角為 ，則有sin cos ；(3)二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，其中每一部分叫做一個(gè)半平面，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)11半平面所組成的圖形叫做二面角，它的取值范圍是向量求法：若AB、CD分別是二面角l的兩個(gè)半平面內(nèi)與l垂直的直線（A、B在直線l上），則二面角的大小就是向量AB與向量CD所成角的大??；設(shè)二面角為AB,CD 設(shè)向量u、v分別是二面角l的兩個(gè)半平面的法向量，則向量u、v的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的大小，設(shè)二面角為,則視實(shí)際圖形而定,u,v 或4

8、.空間的距離： 空間的點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、推薦用傳統(tǒng)方法，點(diǎn)面距既可以用傳統(tǒng)方法，也可以用平面的法向AP n量來求。向量法求點(diǎn)面距：點(diǎn) P到平面 的距離為d，其中A為 內(nèi)異于垂足的任一點(diǎn),的法向量?？臻g向量與立體幾何測(cè)試題（一）、選擇題:1.在下列命題中：若 a、b共線，則a、b所在的直線平行；若 a、b所在的直線是異面直線，則a、b定不共面；若 a、b、c三向量?jī)蓛晒裁妫瑒t a、b、c三向量一定也共面;已知三向量a、b、c,則空間個(gè)向量 p總可以唯一表示為 p = xa + yb+ zc,x,y,zR.其中正確命題的個(gè)數(shù)為A.0B.1C.2D.32.若三點(diǎn)A B,C共線，P為空間任意一點(diǎn)，且uu

9、uPAuuuPBuumPC ,則的值為（）A.D.3.設(shè) a (x,4,3),(3,2, z),且2則xz等于（A. 4D.4.已知a= (23), b=(1, 4, 2)c=649(7, 5,入），若a、b、c三向量共面，則實(shí)數(shù)入等于()A. 62B.75 .若a、b均為非零向量，則a637C.647D.A.充分不必要條件B.b |a|b|是a與b共線的必要不充分條件C.充分必要條件657(6.已知點(diǎn)。是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足A.三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B.C.三條中線的交點(diǎn)D.D.既不充分又不必要條件OA OB=OB OC =OC OA,則點(diǎn)。是 ABC的(三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)三

10、條高的交點(diǎn)7.已知 a+b+c=0|a|=2|b| =3| c| = J19 ,則向量a與b之間的夾角為（A. 30°UUT8.已知 OA (1,2,3)B.UUUOB45°(2,1,2)UUUOP取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為C. 60°D.以上都不對(duì)（1,1,2）,點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)uuu uutQA QB八 1 3 1(2,4,3)1 2 3(2,3,4)C.4 4 8(3,3,3)c 4 4 7D- (5,3,3)二、填空題（本大題共5小題，每小題第n卷5分，共（非選擇題，共25分）60分)9.已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為 A （3, 3,2), B (4

11、, 3, 7), C (0, 5, 1),則BC邊上的中線長(zhǎng)為, ,- r r , r、. , r .r > . . , .uulU u uuU10 .已知 A, B, C二點(diǎn)不共線， O為平面 ABC外一點(diǎn)，若由向量OP -OA52 uuu -OB3luutOC確7E的點(diǎn) P與A B, C共面，那么11.已知a,b,c是空間兩兩垂直且長(zhǎng)等的基底,12.在空間四邊形 ABCD, AC和BD為對(duì)角線,uurULur以 AB, AC ,UULT三、解答題（本大題共3小題,滿分35分），14. （10分）如圖,二面角a - i - 3的棱上有A,B兩點(diǎn)，直線 AC,BD分別在這umrAD 為基

12、底，則GE =個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB,已知AB=4, AC=6 BD=8, CD=v;，68求二面角a - c - 3的大小.15. （12分）如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABC比正方形，側(cè)棱 PDPD(1)(2)(3)DC , E是PC的中點(diǎn)，作EF PB交PB于點(diǎn)F.證明 PA /平面EDB ;證明PB 平面EFD；求二面角C-PB-D的大小.底面ABCDAiP-AB-Ai的平面角的M與點(diǎn)A B C 一定共面的16(13分)如圖，在三棱柱 ABC-ABC中，AB± AC,頂點(diǎn)Ai在底面ABC上的射影恰為點(diǎn) B,且 AB=AC=AB=2.求棱AA與BC所成角

13、的大??；(2)在BQ上確定一點(diǎn) P,使AP=",并求出二面角 余弦值.空間向量與立體幾何測(cè)試題(二)一、選擇題：1 .已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面 ABC外的任一點(diǎn)O,下列條件中能確定點(diǎn)A. OM OA OB OCB. OM 2OA OB OC 一 1 一 1 C. OM OA 1OB 1OC23.1 一 1 一 1 -D. OM -OA -OB -OC 3332 .在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) P(x, y, z),那么下列說法正確 的是 A.點(diǎn)p關(guān)于x軸對(duì)稱的坐標(biāo)是 r x, y,z B.點(diǎn)p關(guān)于yoz平面對(duì)稱的坐標(biāo)是 .x, y, zC.點(diǎn)p關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 p3 x,

14、 y, z D.點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是p4x, y, z3 .已知向量a= (1, 1, 0), b= (1, 0, 2),且ka+b與2 ab互相垂直，則k的值是()137A.1B.5C.5D.5 ,1 uuv uuiv , 一4 .已知空間四邊形 ABCD M G分別是BG CD的中點(diǎn)，連結(jié) AM AG MG則AB+1(BD BC)等于()1A. AGB.CG C.BCD.2 BC5 .在棱長(zhǎng)為1的正方體 ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB的中點(diǎn)，那么直線 AM與CN所成角的余弦值是()A.,10106.已知向量a(0,2,1) , b ( 1,1, 2),則 a

15、 與 b 的夾角為A. 0 ° B. 45C. 90°D. 180二、填空題(本大題共 6小題，每小題5分，共30分) rrr r11、若a (1,1,0),b ( 1,0,2)，則a b同方向的單位向量是 .uur uuuuuiuuuu12.已知$是4 ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若BD = xAB yAC zAS，則x+y+z= rrr rr13、已知 a2,4, x ,b2,y,2 ,若 a6且 ab,則 x y 的值為。14、已知向量 a和c不共線，向量 bw 0,且(a b) c (b c) a , d=a+ c,則d,b =.15.已知三角形的頂點(diǎn)是

16、A(1, 1,1), B(2,1,1), C( 1, 1, 2),這個(gè)三角形的面積是 三、解答題(用向量方法求解下列各題 ，共70分)17、在棱長(zhǎng)為 a的正方體 ABCD- ABC1D中，E、F分別為DD和BB的中點(diǎn).(1)證明：AECF是平行四邊形；(2)求AE和AF之間的夾角的余弦;(3)求四邊形 AECF的面積.18.如圖，四邊形 ABC虛直角梯形，/ ABC= / BAD= 90° ,SAL平面 ABCD SA=AB= BC= 1 , AD= 1 .2(1)求SC與平面ASD所成的角余弦；(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦.19、如圖，在底面是菱形的四棱錐 P ABCD中，/ ABC=6