高中數(shù)學(xué)數(shù)列的類型

1、高中數(shù)學(xué)：遞推數(shù)列經(jīng)典題型全面解析類型1an 1 anf(n)2 ,利用累加法(逐差相加解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an1 an法)求解。11例:已知數(shù)列an滿足a12, an1 an產(chǎn)下，求ann2n例：在數(shù)列an中,a1=1,an+1=(1 1)an n(1)設(shè)bn包，求數(shù)列an的通項公式; n(2)求數(shù)列an的前n項和。類型2an 1f(n)anan 1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為求解。f(n),利用累乘法(逐商相乘法)2n. .一 一 .一a1- an 1an例:已知數(shù)列an滿足 3, n 1,求an3n 1-an 1 an .例:已知“3,3n 2(n 1),求 an。例已知數(shù)列an,滿足

2、 a1 = 1,an=a1+2a2+3a3+- +(n 1)an 1(n2),則 an的通項an=類型3 am pan q (其中p, q均為常數(shù)，(Pq(P 1) 0)o解法(待定系數(shù)法)：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an1 t P(an其tq中1 P ,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列an中，a1 1, an 1 2an 3,求an.例：設(shè)數(shù)歹U an滿足 a1 =a,an +1=C an +1 C,n6N*,其中 a、C 為實數(shù)，且C#0求數(shù)列an的通項公式； 類型 4 an1 pan qn (其中 p, q 均為常數(shù)，(pq(p 1)(q 1) 0)。n(an1 pan rq，其中

3、p, q, 均為常數(shù))。 .n 1解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以q ,得：an 1E?包1b曳,_ph1n 1, nbnnbn 1 bnq q q q引入輔助數(shù)列bn (其中 q),得： q q再待定系數(shù)法解決。1，求 an。2n 1 2,n 1,2,3 3514例:已知數(shù)列an中，31 6/n132)例：設(shè)數(shù)列an的前n項的和sn -an -求首項a1與通項an。例：設(shè)數(shù)列an的前n項的和sn，已知 a1 1, sn 14an 2(1)設(shè)bn an1 2an,證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式3n例】、已知數(shù)列an滿足a1 1, an 3n 1 an1（n 2）,則

4、通項公式an2類型5遞推公式為an2 pan1 qan （其中p, q均為常數(shù)）。解法一（待定系數(shù)法）：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an 2 san1 t（an1 san）s t p其中s, t滿足st q解法二（特征根法）：對于由遞推公式an 2 pan1 qan,a1，a2 給2出的數(shù)列an ,方程XPx q ,叫做數(shù)列an的特征方程。若“，X2是特征方程的兩個根，當(dāng)。X2時，數(shù)列an的通項為n 1n 1an Ax1BX2 ,其中 A, B 由 a1 ，a2 決定（即把 a1，a2，X1，X2 和n 1 n 1n 1，2，代入an AX1Bx2 ,得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)X1 x2一一 /A

5、C 一 .- 1_時，數(shù)列an的通項為an （A Bn）X1 ，其中A, B由“，a2 決C9、.，n1定（即把叫烏屬必和n 1，2,代入an （A Bn）X1 ,得到關(guān)于A、B 的方程組）。解法一（待定系數(shù)一一迭加法）數(shù)列an3an 2 5an 12an0(n 0,n N) a1a，a2 b,求數(shù)列an的通項公式 解法二（特征根法）：數(shù)列 an ： 3an2 5an1 2an （n ，n N） a1 a，a2 b的特征方程是：3x2 5x 2 0。Xi 1,X2n 1Axin 1BX2A B(|)n1又由ai a,a2 b,于是A 3b 2aB 3(a b) an 3b 2a 3(a b)(

6、-)n 1 故321an O a a例:已知數(shù)列an中，a11 a2233 ，求an。例：已知數(shù)列an滿足 a1=1,a2=3, an 2 3an 1 2an (n N )。(1)證明：數(shù)列an 2 an是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式；類型6遞推公式為Sn與an的關(guān)系式。(或Sn f(an)_Sn 4 an -4_例：已知數(shù)列an前n項和2n 2. (1)求an1與an的關(guān)系；(2)求通項公式an. n應(yīng)用類型4 ( an 1 pan q (其中p , q均為常數(shù)，(pq(p 1)(q 1) 0)的方法，上式兩邊同乘以2n 1n 1例：已知數(shù)列an的前項和 $= -an- 1+2 (n

7、為正整數(shù))，令bn=2nan,求證數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式類型 7 an 1 pan an b(p 1、0, a 0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an1 x(n 1) y p(an xn y),與已知遞推式比較，解出x，y,從而轉(zhuǎn)化為an xn y是公比為P的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列 an : al 4,an 3an 1 2n 1,(n 2),求 an例：已知數(shù)列an中，ai = 1,點(diǎn)n,2an 1 an在直線y x上，其中 n 1,2,3L(I)令bn an1 an 3,求證數(shù)列bn是等比數(shù)列；(H)求數(shù)列an的通項。類型 8 a Par (P。，an 。)n 1產(chǎn)n解法思路：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an1 pan q,再利用待定系數(shù)法求解。例：已知a1 2,點(diǎn)an，an 1在函數(shù)f XX2 2X的圖像上，其中n 1,2,3L證明數(shù)列l(wèi)g 1 an是等比數(shù)列f (n)a類型9 ann 1 g(n)an