(完整word版)三角形全等之手拉手模型、倍長中線、截長補(bǔ)短法、旋轉(zhuǎn)、尋找三角形全等方法歸納總結(jié)(可

1、-、手拉手模型要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個等頂角的等腰三角形所組成,并且頂角的 頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn)結(jié)論：(1) AABD AAEC (2) Z a +ZB0C=180°例1.如圖在直線ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形A48O與ABCE ,連結(jié)AE與CD,證明(1) ABE = ADBC(2)AE = DCA石與.C之間的夾角為60°(4) SAGB = &DFB(5)EGB = CFB8平分(7)GFH AC4G, CE,二者相交于點(diǎn)H變式精練1：如圖兩個等邊三角形M3.與A8CE,連結(jié)AE與CO, 證實(shí)1 AABE = ADBC(2) AE=DC(3) AE與.C之間

2、的夾角為60°(4) AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H ,BH平分ZAHC變式精練2 :如圖兩個等邊三角形乂8.與BCE ,連結(jié)AE 與CD ,證實(shí)(1) AABE = SDBC(2) AE = DC(3) AE與0c之間的夾角為60°(4) AE與.C的交點(diǎn)設(shè)為平分NAC例2 ：如圖,兩個正方形ABCD與OEFG ,連結(jié)問：(1) AAOGnACO石是否成立？(2) AG是否與CE相等？(3) AG與CE之間的夾角為多少度?(4) “.是否平分NAHE?例3 ：如圖兩個等腰直角三角形ADC與EDG ,連結(jié)4G, CE,二者相交于點(diǎn)H問：(1) A4OG三ACO石是否成立？(2) A

3、G是否與CE相等？(3) AG與CE之間的夾角為多少度？(4)".是否平分NAHE?例4：兩個等腰三角形A48.與MCE,其中AB = BD,CB = EB、ZABD = ZCBE =連結(jié)AE與CD ,問：1 AA8E=AD8C是否成立？（2） AE是否與CO相等？?（3） AE與CO之間的夾角為多少度？（4） HB是否平分NAbC?/ / 一一 * H乙-14B二、倍長與中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長中線類b考點(diǎn)說明：但凡出現(xiàn)中線或類似中線的線段,都可以考慮倍長中線,倍長中線的目的是可以 旋轉(zhuǎn)等長度的線段,從而到達(dá)將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的.【例1】 己知： M8C中,AM是中線.求證：AM <

4、;2 AB + AC.2【練1】在A3C中,AB = 5. AC = 9,那么8C邊上的中線AO的長的取值范圍是什么？【練2】如下圖,在的A3邊上取兩點(diǎn)E、E,使AE = BF,連接CE、CF ,求證: ACBC>ECFC.【例2】如圖,在中,A.是8c邊上的中線,E是AO上一點(diǎn),延長BE交AC 于 F , AF = EF ,求證：ACBE .【練1】如圖,在MBC中,A.是8c邊上的中線,E是A.上一點(diǎn),且BE = 4C, 延長8E交AC于尸,求證：AF = EF【練2】如圖,在AA8C中,AO交BC于點(diǎn).,點(diǎn)E是8.中點(diǎn),七/ AO交CA的延長 線于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)G,假設(shè)BG =

5、CF,求證：A.為AA8C的角平分線.【練3】如下圖,己知以8.中,AO平分N8AC, E、F分別在8.、AD ±. DE=CD EF=AC.求證：EF / AB【例3】AM為AA8C的中線,ZAMB ,44MC的平分線分別交A8于七、交AC于F .求證：BE+CF>EF .【練1】在RtAABC中,尸是斜邊A3的中點(diǎn),D、E分別在邊CA、C3上,滿足 NDFE = 90.假設(shè)AO = 3, BE = 4,那么線段OE的長度為.【練2】在A48C中,點(diǎn).為8c的中點(diǎn),點(diǎn)M、N分別為A8、4c上的點(diǎn),且MD .(1)假設(shè)乙4=90.,以線段8M、MN、CN為邊能否構(gòu)成一個三角形？

6、假設(shè)能,該三 角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？(2)如果 BW2 + CN2 = DM2 + DN2 ,求證 (ab2+ac2).【例4】如下圖,在AA8C中,A8 = AC,延長A8到.,使E為AB的中點(diǎn), 連接CE、CD t求證CO = 2EC.【練1】MBC中,48 = AC, 8.為A3的延長線,且8D = /W, CE為AA8C的A8 邊上的中線.求證：CD = 2CE全等之截長補(bǔ)短：人數(shù)八年級上冊課本中,在全等三角形局部介紹了角的平分線的性 質(zhì),這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用,而“截長補(bǔ)短法又是解決這一類問題的一 種特殊方1 .如下圖,AA8C中,NC = 900,

7、N8 = 45°, AD 平分N3AC交 BC 于ADo 求證：AB=AC+CDcX如下圖,在中,ZB = 60° , AA8C的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O.求證:AE+CD=ACu2 .如下圖,己知N1 = N2, P為BN上一點(diǎn),且尸OJ.8C于D, AB+BC=2BD,求證:N3AP+NBCP=180°.3 .如下圖,在 RM4BC 中,AB=AC, NA4c = 90°, ZABD = NCBD, CE垂直于 BD的延長線于Eo求證：BD=2CEq5如下圖,在AA8C中,N48C = 90°, AD為N84C的平分線,ZC =30 &

8、#176;, 8 石,4.于 E 點(diǎn),求證：AC-AB=2BEo6 .如下圖,43CD,aABC,NBCO的平分線恰好交于AD上一點(diǎn) E,求證：BC=AB+CDo7 .如圖,E是NAO8的平分線上一點(diǎn),EC LOA, 足為 C、Do 求證：(1 )OC=OD； (2) DF=CF"三、截長補(bǔ)短問題1:垂直平分線性質(zhì)定理是問題2 :角平分線性質(zhì)定理足問題3 :等腰三角形的兩個底角.的稱：如果一個三角形有兩個角相等,那么它們所對的邊也,一稱.問題4 :見到線段的 考慮截長補(bǔ)短,構(gòu)造全等或等腰轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)移.然后和 垂新組合解決問胤三角形全等之截長補(bǔ)短一一、單項(xiàng)選擇題共4道,每道25分1.如圖

9、,BM平分NABC.?為BM上一點(diǎn).PDXBC于點(diǎn)D, BD=AB*CD.求證：ZBAP+Z5CP=1SO- .在3P和£»尸中Z1 = Z2SP= SP：4RP泣MBP (SAS)/. CD=ED: PD'BC :.PE=PC請你仔細(xì)觀察卜列序號所代表的內(nèi)容： .9r平分乙48c,"Nl=/2:；Ni=N2：NA=NBEP：AP=PE：BD = AB + CD ,N3 = ZPCD '：BD = AB+CD ：.SD = BS+SD VZ5P+Z3 = 180° 、, mED=AB + CD.,即=超 + 的：,；&現(xiàn)+/3 =

10、 18.°：,Z3 = ZPCDVZBP+Z3 = 180°/4JP+/HCP 二8b 以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖?)A.©®5.卷C.(gx?) D.(SX)2.如圖.5M平分NABC.點(diǎn)P為BX上一點(diǎn).PD1BC于點(diǎn)D.BD=AB+DC, 求證：ZBAP*Z5CP=1SO,.AD C補(bǔ)短法證實(shí),如圖,尸平分/Be在ZXbE尸 fflABDP 中. B8f=8BZ1 = Z26F=R產(chǎn):ZEPggDP (SAS)在ZEA和&QC中'PE = FD"EA = NFDCABCD工 APE心APDC (SAS)"C=4

11、蕉VZ5JP-ZJ£=1SOC/.Z5JP-Z£CP=1805請你仔細(xì)觀察卜列序號所代表的內(nèi)容：延長BA.過點(diǎn)P作PH±BA于點(diǎn)E：延長5A到E,使AE=DC.連接PE：'：BD = BA+CD '：BD = SA+CE>延長BA到E,使DC=AE：即=班+ &2= B£： ©- -BD = BE：.PE = PD, APE A = APDB ：.PE = PD9 APE A = PDBFT) BCFDIRC：.ZFDB = 90°：.ZPDC=9CQ,/E以=90./.ZPZ5 = ZFZC = 90o

12、,“a4=90.l； .乙 FEA = 4FDC：以上空塊處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖茿.®5.C. ；5, D.】匕力3.如圖.在五邊形 ABCDE 中.AB=AE. AD 平分NCDE ZBAE=2ZCAD.求證：BC*DH=CD.VJDZCZ>£AZ1-Z2在AMO和瓜1£.中AD = ADN1=N2DF=DEjFD絲乙心 <SAS)在ZU8C和AWFC中 ABAFZ<5 = Z5 ACAC：4BE&AFC (SAS) .ac=cr：.BC-DE=CF-DF =CD請你仔細(xì)觀察卜列序號所代表的內(nèi)容：在CD上截取CF=CB.連接AF:在DC上

13、截取DF=DE.連接AF:在 DC 上截取 DF=DH： ®AE=AF：AF=AE. Z4=Z3：N4=N3：9：AB = AE：.AB = A：.AB = AF:NBAE = 2ACAD '.'ACAD =Z3+Z6,Z4 ='：ACAD =Z3+Z6 即 N4+N5 = Z3+Z6,/5 = /6:N5 = N6.以上空缺處依次所以最恰當(dāng)?shù)氖?'AB=AE：.AB=AF'ZSAS= 2 AC AD.,.ZC£)=Z3+Z6 即 N4+/5 = N3+/8N5 = /6)A.(D®® 5.(豳& D.4.

14、如圖.在五邊形 ABODE 中,AB=AE. ZBAE=2ZCAD. ZABC+ZAEDzlSO",求證：BC+DE=CD.在ZUBC利中AB-ABZX8C-ZI:AAB33A嚇(SAS) 二/A/3-F 在C4D1O"40 中乙AD-AD:&,皿32 <SAS)i?5你仔細(xì)觀察卜處序號所代表的內(nèi)容:延長DE到F,使EF=5C.連接AF：延長DE到F,使BC=EF：.ZBC+乙4助=180.Zl+Z£)=180°延長DE到F.連接AF:乙4BC=N1.NBAE=2/CADJ.ACAD =Z2 + Z4 'ZCAD = N2 十 N4

15、= Z3+Z4= Z3+Z4*/ &BC = Z1 即 NC43 = ZFAD：.ACAD = FAD® : ：©：.CD = DF:DF 二口 E+EF'：2? = BC"麗=DSBC：.CD = DF'：DF = DE+EF= DEBC3. BC DE = CD: "C DE = CD:、以上空缺處依次所以最恰當(dāng)?shù)?足A. 45°C. 90°84,那么NP3P,的度數(shù)是四、三角形全等旋轉(zhuǎn)與截長補(bǔ)短專題問題一：題中出現(xiàn)什么的時候,我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)？構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件問題二：旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？例1如圖,P是正/XA

16、BC內(nèi)的一點(diǎn),假設(shè)將PBC繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到2'B. 60°D. 120°例2如圖,正方形BAFE與正方形ACGD共點(diǎn)于A,連接3.、CF, 求證：8O=CF并求出NO.的度數(shù).例3如圖,正方形A8CO中,ZFAD=ZFAE 0求證：BE+DF =AEo1 .題干中出現(xiàn)對圖形的旋轉(zhuǎn)一現(xiàn)成的全等2 .圖形中隱藏著旋轉(zhuǎn)位置關(guān)系的全等形一找到并利用3 .題干中沒提到旋轉(zhuǎn),圖形中也沒有旋轉(zhuǎn)關(guān)系存在通過作輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)！例4：如圖：正方形A8CQ中,NMAN=45° , NMAN的兩邊分別交CB、.于點(diǎn)M、M 求證：BM+DN=MN°例5如圖,正方形A8CD中,

17、NE4F=45.,連接對角線B.交AE于M,交AF于N, W OM+BA公=MN例6如圖,OAB和OC.是等邊三角形,連結(jié)AC和5.,相交于點(diǎn)E,4C和8.交于 點(diǎn)F,連結(jié)8C.求NAE8的大小.例7如下圖：/XABC 中,NAC8=90.,AC=BC, P 是ABC 內(nèi)的一點(diǎn),且 AP=3,.尸=2, BP=1,求N3PC的度數(shù).本課總結(jié)問題一：題中出現(xiàn)什么的時候,我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)？構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件1 .圖中有相等的邊等腰三角形、等邊三角形、正方形、正多邊形2 .這些相等的邊中存在共端點(diǎn).3 .如果旋轉(zhuǎn)將一條邊和另一條邊重合,會出現(xiàn)特殊的角：大角夾半角、手拉手、 被分割的特殊角.問題二：旋轉(zhuǎn)都

18、有哪些模型？構(gòu)造旋轉(zhuǎn)輔助線模型：1 .大角夾半角2 .手拉手尋找旋轉(zhuǎn)3 .被分割的特殊角測試題如圖,P是正A48C內(nèi)的一點(diǎn),且8P是NABC的角平分線,假設(shè)將APBC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到AFBA ,那么NPB產(chǎn)的度數(shù)是A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°BC中,AB=AC, 8C為最大邊,點(diǎn).、E分別在3cAe上,BD=CE,F為8A延長線 上一點(diǎn),BF=CD,那么以下正確的選項(xiàng)是A. DF=DEB. DC=DFC. EC=EAD.不確定3 .如圖,四邊形ABC.中,/ABC=30.,NAOC=60.,AD=DC,那么以下正確的選項(xiàng)是A. BD-B

19、2+BC2 B. BDYABTBC2 C. BD2>AB2+BC2 D,不確定4 .ABC中,/ACB = 90° , CO,4B于.,AE為角平分線交CO于F,那么圖中的直 角三角形有A. 7個B6個C. 5個D. 4個5 .如圖,D4LA8, EALAC, AD=AB9 AE=AC.那么以下正確的選項(xiàng)是A. AABDC. 4BMFW4CMSB.D. AOC/A48E針6如圖,P為正方形ABCD 的對角線AC上的一點(diǎn)不與AC 重合,PE_L8C與點(diǎn)EPFLCD與 點(diǎn)F,假設(shè)四邊形PECF繞點(diǎn)C逆時 旋轉(zhuǎn),連結(jié)BE、OF,那么以下一定正確的選項(xiàng)是A. BP=DPB. BE?+E

20、C2=BC C. BP=DFD. BE=DF1.如圖,等腰直角AO3與等腰直角ZVIEC共點(diǎn)于A,連結(jié)BE、CD,那么以下一定正確的是A. BE=DCB. AD/CEC. BELCEB. 60°D. BE=CE8.如圖,等邊三角形于A,連接BE、CE ,C. 90° D. 120°ABE與等邊三角形共點(diǎn)那么NEOB的度數(shù)為A. 45°9.如圖,在四邊形A8C.中,AB = AD9 NB = ND = 90., E、P分別是邊8C、CD ± 的點(diǎn),且NE4尸=1/區(qū)4.0那么以下一定正確的選項(xiàng)是2A. EF = BE+FDB. EF>BE

21、+ FDC. EF<BE + FDD. EF2 = BE2 + FD210.在正方形ABC.中,BE=3, EF=5,.尸=4,那么/04七+/.£為A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°DB五、尋找全等三角形的幾種方法利用全等三角形的性質(zhì)可以證實(shí)分別屬于兩個三角形中的線段或角相等.在證實(shí)線段或角相等時,解題的 關(guān)鍵往往是根據(jù)條件找到兩個可能全等的三角形,再證實(shí)這兩個三角形全等,最后得出結(jié)論.下面介紹尋找 全等三角形的幾種方法,供同學(xué)們參考.一、利用公共角例 1 如圖 1, AB = ACfAE = AE 求證：NB =ZC.

22、分析：要證實(shí)N8=NC,只需證實(shí)BOEgZiCOE或aAB尸而由圖形可知NA是公共角,又由已 知條件AB = AC,AE= AF,所以ABFgAACE,于是問題獲證.二、利用對頂角題目中的隱含條件例2如圖2, B、E、F、D在同一直線上,AB = CD, BE =DF, AE = CF,連接AC交BD于點(diǎn)O.求證：AO = CO.分析：要證實(shí)AO= CO,只需證實(shí)AOE烏ZkCOF或AOBgCOO即可.根據(jù)現(xiàn)有條件都無法直接證 明.而由己知條件AB =CD, BE = DFfAE = CF可直接證實(shí)那么有/AEB=NCFD, 進(jìn)而有NAE.=NC/.再利用對頂角相等,即可證實(shí).三、利用公共邊題

23、目中的隱含條件例 3 如圖 3, AB = CD, AC = BD.求證：ZB =ZC.分析：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)、.,此時N3與NC分別在AOB和OOC中,而用現(xiàn)有的條件是不可 能直接證實(shí)這兩個三角形全等的,需添加輔助線來構(gòu)造另一對全等三角形.此時可以連接AD.那么AD 是4ABD和OCA的公共邊,這樣可以證實(shí)ABOgAOCA.四、利用相等線段中的公共局部例4如圖4, E、F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn),AF = CE.求證：BE/DF.分析：要證實(shí)只需證實(shí)NBEC = ZDFA,此時可以轉(zhuǎn)換為證實(shí)NAE8 =NCFD,進(jìn)而證實(shí)AEBg CFD.五、利用等角中的公共局部例 5 如圖 5,NE = 30° , AB = A.,AC = AE, ZBAE=ZDAC.求NC 的度數(shù).分析：NE= 30° ,要求NC,可考慮證實(shí)ABCgZAOE由NA4E=ND4C,結(jié)合圖形可知NB4c = NZME,于是問題獲解.六、利用互余或互補(bǔ)角的性質(zhì)考點(diǎn)：同角或等角的余角相等例 6 如圖 6,NZ)CE= 90° , ZDAC= 90° , BEA.AC T 8,且 DC = EC,能否找出與 ABAD 相等的線段,并說明理由.分析：由于AC= A8+8C,可以猜測AC= A8+AO,或BE=A