2009年高考數(shù)學(xué)理科全國一試卷附答案解析

1、2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科全國卷I 、選擇題共12小題,每題5分,總分值60分9,全集U=AU B,那么集5 分設(shè)集合 A=4, 5, 7, 9, B=3, 4, 7, 8, 合？U An B中的元素共有2.3.A. 3個B. 4個C. 5個D.5分乏 =2+i,那么復(fù)數(shù)z二1+1A. - 1+3iB. 1 -3iC. 3+iD.3-i5分不等式|當(dāng)|<1的解集為X-!A. x| 0<x< 1 Ux|x>1B. x|0<x<1D. x|x<0C. x| - 1<x<04.225分雙曲線三-4二1 a>0, / b2b>0

2、的漸近線與拋物線y=x2+1相切,那么該雙曲線的離心率為B. 2C.二5.5分甲組有5名男同學(xué),3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué).假設(shè)從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué),那么選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選A. 150種B. 180種C. 300 種D. 345 種的射影D為BC的中點(diǎn),那么異面直線A :6. 5分設(shè)為、b、c是單位向量,且=0,那么a-c?b-c的最小值為C. - 1A. - 2Ai在底面ABC上7. 5分三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,AB與CC所成的角的余弦值為C .一C.48. 5分如果函數(shù)y=3cos"的圖象關(guān)于點(diǎn)號,.中央對稱,那么1

3、4 的最小值為A B C D 64329. 5分直線y=x+1與曲線y=ln x+a相切,那么a的值為A. 1B, 2C. - 1D. - 210. 5分二面角a- l- B為6.°,動點(diǎn)P、Q分別在面a、B內(nèi),P到B的 距離為我,Q到a的距離為2/,那么P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為A. 1B. 2C.不D. 411. 5分函數(shù)f x的定義域?yàn)镽,假設(shè)f x+1與f x-1都是奇函數(shù),那么 A.fx是偶函數(shù)B.fx是奇函數(shù)C.fx=f x+2D.fx+3是奇函數(shù)212. 5分橢圓C:5-+y2=1的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為I,點(diǎn)AC I,線段AF交C于點(diǎn)B,假設(shè)瓦=3而,那么|而|=A.

4、二B. 2C.三D. 3二、填空題共4小題,每題5分,總分值20分13. 5分x-y 10的展開式中,x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于.14. 5分設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)S9=81,那么m+%+a8=.15. 5分直三棱柱ABC- A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上,假設(shè) AB=AC=AA=2, /BAC=120,那么此球的外表積等于 .16. 5分假設(shè)微-冀g,那么函數(shù)y=tan2xtan3x的最大值為. HIJ三、解做題共6小題,總分值70分17. 10分在 ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,a2-c2=2b,且 sinAcosC=3cosAsinC 求

5、 b.18. 12分如圖,四棱錐 S ABCD中,底面ABCD為矩形,SD,底面ABCRAD=/it DC=SD=2 點(diǎn) M 在側(cè)棱 SC上,/ ABM=60I證實(shí)：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；H求二面角 S- AM-B的大小.19. 12分甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽,約定先勝 3局者獲得這次比賽的勝 禾I,比賽結(jié)束,假設(shè)在一局中,甲獲勝的概率為 0.6,乙獲勝的概率為0.4, 各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,前 2局中,甲、乙各勝1局.I求甲獲得這次比賽勝利的概率；R設(shè)士表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù),求 己的分布列及數(shù)學(xué)期 望.20. (12分)在數(shù)列an中,ai=1, an+i= (1+) an+

6、三工. n 2n(1)設(shè)bn求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式； n(2)求數(shù)歹1an的前n項(xiàng)和Sn.21. (12分)如圖,拋物線 E： y2=x與圓M： (x-4) 2+y2=r2 (r>0)相交于A、B、C、D四個點(diǎn).(I )求r的取值范圍；(II)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時,求對角線 AG BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo).22. (12分)設(shè)函數(shù) f (x) =x3+3bx2+3cx有兩個極值點(diǎn) x1、X2,且 x C T , 0, X2e1, 2.(1)求b、c滿足的約束條件,并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi),畫出滿足這些條件的點(diǎn) (b, c)的區(qū)域；(2)證實(shí)：-io4f (工2)<4 . fad202

7、1年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科全國卷I 參考答案與試題解析一、選擇題共12小題,每題5分,總分值60分1. 5 分設(shè)集合 A=4, 5, 7, 9, B=3, 4, 7, 8, 9,全集 U=AU B,那么集合？U An B中的元素共有A. 3個B. 4個C. 5個D. 6個【考點(diǎn)】1H:交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【分析】根據(jù)交集含義取A、B的公共元素寫出AH B,再根據(jù)補(bǔ)集的含義求解.【解答】解：AU B=3, 4, 5, 7, 8, 9,AH B=4, 7, 9 a ?u AH B =3, 5, 8應(yīng)選 A.也可用摩根律：?u APB = ?uA U ?uB應(yīng)選：A.【點(diǎn)評】此題考查集合的根本

8、運(yùn)算,較簡單.2. 5分工 =2+i, WJ復(fù)數(shù)z=1+iA. 1+3iB, 1 -3iC. 3+iD. 3-i【考點(diǎn)】A1:虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).【分析】化簡復(fù)數(shù)直接求解,利用共腕復(fù)數(shù)可求 z.【解答】解：=l+i-2+i=l+3i, . z=1-3i應(yīng)選：B.【點(diǎn)評】求復(fù)數(shù),需要對復(fù)數(shù)化簡,此題也可以用待定系數(shù)方法求解.3. 5分不等式|當(dāng)|<1的解集為 x-lA. x| 0<x< 1 Ux|x>1B. x|0<x<1C. x| - 1<x<0D. x|x< 0【考點(diǎn)】7E:其他不等式的解法.【分析】此題為絕對值不等式,去絕對值是關(guān)鍵,可利

9、用絕對值意義去絕對值, 也可兩邊平方去絕對值.【解答】解：: |史L|<1, x-l|x+1| <| X- 1| , . X2+2x+1<x2-2x+1.x< 0.不等式的解集為x|x< 0.應(yīng)選：D.【點(diǎn)評】此題主要考查解絕對值不等式, 屬基此題.解絕對值不等式的關(guān)鍵是去 絕對值,去絕對值的方法主要有：利用絕對值的意義、討論和平方.4. 5分雙曲線£-4=1 a>0, b>0的漸近線與拋物線y=x2+1相切,那么該雙曲線的離心率為A.三B. 2C.二D. 7【考點(diǎn)】KC雙曲線的性質(zhì)；KH:直線與圓錐曲線的綜合.【專題】11:計算題.【分析】

10、先求出漸近線方程,代入拋物線方程,根據(jù)判別式等于0,找到a和b的關(guān)系,從而推斷出a和c的關(guān)系,答案可得.22k【解答】解：由題雙曲線三號la>0, b>0的一條漸近線方程為 聲, a2a代入拋物線方程整理得ax2 - bx+a=0, 因漸近線與拋物線相切,所以b2 - 4a2=0,即小二5a應(yīng)選：C.【點(diǎn)評】本小題考查雙曲線的漸近線方程直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、雙曲線的離心率,根底題.5. (5分)甲組有5名男同學(xué),3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué).假設(shè) 從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué),那么選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選 法共有()A. 150 種B. 180 種C. 3

11、00 種D. 345 種【考點(diǎn)】D1:分類加法計數(shù)原理；D2:分步乘法計數(shù)原理.【專題】5O:排列組合.【分析】選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法,1名女同學(xué)來自甲組和乙組 兩類型.【解答】解：分兩類(1)甲組中選出一名女生有 Cs/cb,gJzzs種選法；(2)乙組中選出一名女生有 C52?C61?C21=120種選法.故共有345種選法.應(yīng)選：D.【點(diǎn)評】分類加法計數(shù)原理和分類乘法計數(shù)原理, 最關(guān)鍵做到不重不漏,先分類, 后分步！6. (5分)設(shè)為、b、c是單位向量,且=0,那么(a-c)? (b-c)的最小值為(A. - 2B. V2- 2C. - 1【考點(diǎn)】9O:平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

12、及其運(yùn)算.【專題】16:壓軸題.【分析】由題意可得I a+b | =V2,故要求的式子即 a*b - ( a+b) ?c+7 = 1 - la+ITcl cos<a+ir , c>=1 -V2cos<a+V , 再由余弦函 數(shù)的值域求出它的最小值.【解答】解：:君、E、c是單位向量,a*b=0, . . a_L b, | a+b | =/2 . (a-c)?(b-c) = ab- ( a+b) ? c+2=0 - (a+b) ?c+1=1 - | a+b | * | c |cos.=1-&COS<Z+F ,C>> 1/2.應(yīng)選：D.【點(diǎn)評】考查向量的

13、運(yùn)算法那么；交換律、分配律但注意不滿足結(jié)合律.7. 5分三棱柱ABC- A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,Ai在底面ABC上的射影D為BC的中點(diǎn),那么異面直線AB與CC所成的角的余弦值為【考點(diǎn)】LO:空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【分析】首先找到異面直線AB與CC所成的角如/AAB;而欲求其余弦值可 考慮余弦定理,那么只要表示出 A1B的長度即可；不妨設(shè)三棱柱 ABC- A1B1C1 的側(cè)棱與底面邊長為1,利用勾股定理即可求之.【解答】解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D,連接A1D、AD A1B,易知8 h A1AB即為異面 直線AB與CG所成的角；并設(shè)三棱柱 ABC- A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長為1

14、 ,那么| AD|斗,| AQ| 4 ,|A1B| 亨1 + 1 _由余弦定理,得cose一3 應(yīng)選：D.【點(diǎn)評】此題主要考查異面直線的夾角與余弦定理.4718. 5分如果函數(shù)y=3cos2x+|的圖象關(guān)于點(diǎn)* , 0中央對稱,那么|小|D.7T7的最小值為A 6【考點(diǎn)】HB:余弦函數(shù)的對稱性.【專題】11:計算題.【分析】先根據(jù)函數(shù)y=3cos2x+|的圖象關(guān)于點(diǎn)紀(jì)0中央對稱,令x=!二 33代入函數(shù)使其等于0,求出小的值,進(jìn)而可得|加的最小值.【解答】解：二函數(shù)y=3cos 2x+|的圖象關(guān)于點(diǎn)更,0中央對稱.兀+言 巾二k兀當(dāng)LkE Z由此易得|01瓶小=卷應(yīng)選：A.【點(diǎn)評】此題主要考查

15、余弦函數(shù)的對稱性.屬根底題.9. 5分直線y=x+1與曲線y=ln x+a相切,那么a的值為 . 1B, 2C. - 1D. - 2【考點(diǎn)】6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】切點(diǎn)在切線上也在曲線上得到切點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩方程；又曲線切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線斜率得第三個方程.【解答】解：設(shè)切點(diǎn) P x°, y°,那么 y0=x0+1, y0=ln x0+a,x0+a=1 y0=0, x0= - 1 a=2.應(yīng)選：B.【點(diǎn)評】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,常利用它求曲線的切線10. 5分二面角a- l- B為60°,動點(diǎn)P、Q分別在面a、B內(nèi),P到B的距離為“,Q到a的距

16、離為2V3,那么P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為A. 1B, 2C.三D. 4【考點(diǎn)】LQ:平面與平面之間的位置關(guān)系.【專題】11:計算題；16:壓軸題.【分析】 分另1J作QA± a于A, AC±l于C, PB± B于B, PD,l于D,連CQ, BD 那么/ACQ之PBD=60,在三角形APQ中將PQ表示出來,再研究其最值即可.【解答】解：如圖分另I作 QA,a于 A, AC±l 于 C, PBX 0于 B, PD± l 于 D,連 CQ BDWJ/ACQ之 PDB=60, AQ=2Vs BP二審,又.二' -''

17、9;'-當(dāng)且僅當(dāng)AP=0,即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時取最小值.應(yīng)選：C.【點(diǎn)評】此題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系,以及空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,考查空間想象水平、運(yùn)算水平和推理論證水平,屬于根底題.11. (5分)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽,假設(shè)f (x+1)與f (x-1)都是奇函數(shù),那么A. f (x)是偶函數(shù)B. f (x)是奇函數(shù)C. f (x) =f (x+2)D. f (x+3)是奇函數(shù)【考點(diǎn)】3I:奇函數(shù)、偶函數(shù).【專題】16:壓軸題.【分析】首先由奇函數(shù)性質(zhì)求f (x)的周期,然后利用此周期推導(dǎo)選擇項(xiàng).【解答】解：= f (x+1)與f (x- 1)都是奇函數(shù),函數(shù)

18、f (x)關(guān)于點(diǎn)(1, 0)及點(diǎn)(-1, 0)對稱,.f (x) +f (2-x) =0, f (x) +f (-2-x) =0,故有 f (2-x) =f ( - 2 x),函數(shù)f (x)是周期T=2- (-2) =4的周期函數(shù).f ( - x- 1+4) =- f (x- 1+4),f (-x+3) =-f (x+3),f (x+3)是奇函數(shù).應(yīng)選：D.【點(diǎn)評】此題主要考查奇函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用,并考查函數(shù)周期的求法.212. (5分)橢圓C: +y2=1的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為1,點(diǎn)AC 1,線段AF交C于點(diǎn)B,假設(shè)FA=3FB,那么|正產(chǎn)()B. 2D. 3【考點(diǎn)】K4:橢圓的性質(zhì).【專題

19、】11:計算題；16:壓軸題.【分析】過點(diǎn)B作BMx軸于M,設(shè)右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為N,根據(jù)橢圓的性 質(zhì)可知FN=1,進(jìn)而根據(jù)包二3而,求出BM, AN,進(jìn)而可得| AF| .【解答】解：過點(diǎn)B作BMx軸于M,并設(shè)右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為N,易知FN=1.由題意前;3同,故FM,故B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為土 333即BM,3故 AN=1,Iaf|=V2.應(yīng)選：A.【點(diǎn)評】本小題考查橢圓的準(zhǔn)線、向量的運(yùn)用、橢圓的定義,屬根底題.二、填空題共4小題,每題5分,總分值20分13. 5分x-y 10的展開式中,x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于-240 .【考點(diǎn)】DA:二項(xiàng)式定理.【專題】11:計算

20、題.【分析】首先要了解二項(xiàng)式定理：a+b JGOanbO+CnZnrbOCnZanIb'+Cnran- rbr+Gna0bn,各項(xiàng)的通項(xiàng)公式為：Tr+1=Granrbr.然后根據(jù)題目求解即可.【解答】解：由于x-y10的展開式中含x7y3的項(xiàng)為G03x103y3- 13=-G03x7y3, 含 x3y7 的項(xiàng)為 G07x10 7y7 T 7= - C107x3y7.由Ci03=G07=120知,x7y3與x3y7的系數(shù)之和為-240.故答案為-240.對于公式：a+b n=Ci0anb0+Ci1an【點(diǎn)評】此題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題,1b1+Cn2an 2b2+Cnran rbr

21、+Cnna0bn,屬于重點(diǎn)考點(diǎn),同學(xué)們需要理解記憶.14. 5分設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為0,假設(shè)3=81,貝U a2+as+a8= 27【考點(diǎn)】83:等差數(shù)列的性質(zhì)；85:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.【分析】由S9解得a5即可. a5=9 a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【點(diǎn)評】此題考查前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì).15. 5分直三棱柱ABC- A1B1G的各頂點(diǎn)都在同一球面上,假設(shè) AB=AC=AA=2, /BAC=120,那么此球的外表積等于 20冗.【考點(diǎn)】LR球內(nèi)接多面體.【專題】11:計算題；16:壓軸題.【分析】通過正弦定理求出底面外接圓的半徑,設(shè)此圓圓心為O',球心為

22、O,在RT OBO中,求出球的半徑,然后求出球的外表積.【解答】 解：在 ABC中AB=AC=2 /BAC=120,可得：不由正弦定理,可得 ABC外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為 O',球心為O,在RT2OBO中,易得球半徑二,故此球的外表積為4冗聲=20幾故答案為：20冗【點(diǎn)評】此題是根底題,解題思路是：先求底面外接圓的半徑,轉(zhuǎn)化為直角三角 形,求出球的半徑,這是三棱柱外接球的常用方法；此題考查空間想象水平, 計算水平.16. 5分假設(shè)三工,那么函數(shù)y=tan2xtan3x的最大值為-842【考點(diǎn)】3H:函數(shù)的最值及其幾何意義；GS:二倍角的三角函數(shù).【專題】11:計算題；16:壓軸

23、題.【分析】見到二倍角2x就想到用二倍角公式,之后轉(zhuǎn)化成關(guān)于 tanx的函數(shù),將tanx看破成整體,最后轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題解決.【解答】解：令tanx=t,n .32tan%y=tan2Ktan -1-tan x故填：-8.【點(diǎn)評】此題主要考查二倍角的正切,二次函數(shù)的方法求最大值等,最值問題是 中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,它分布在各塊知識點(diǎn),各個知識水平層面.以最 值為載體,可以考查中學(xué)數(shù)學(xué)的所有知識點(diǎn).三、解做題共6小題,總分值70分17. 10分在 ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,a2 - c2=2b,且 sinAcosC=3cosAsinC 求 b.【考點(diǎn)】HR余弦定理.

24、【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理將 sinAcosC=3cosAsin叱成邊的關(guān)系,再根據(jù) a2-c2=2b即可得到答案.【解答】 解：法一：在 ABC中sinAcosC=3cosAsinC那么由正弦定理及余弦定理有：a 2ab -3 2bc C,化簡并整理得：2 (a2-c2) =b2.又由 a2 - c2=2b ,. 4b=b2.解得b=4或b=0 (舍)；法二：由余弦定理得：a2 - c2=b2 - 2bccosA又 a2-c2=2b, bw0.所以 b=2ccosA+2又 sinAcosC=3cosAsinCsinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCs i1A+C) =4co

25、sAsinC即 sinB=4cosAsinCft正弦定理得 sinB=sinC, c故b=4ccosAD由,解得b=4.【點(diǎn)評】此題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.屬根底題.18. (12分)如圖,四棱錐 S ABCD中,底面ABCD為矩形,SD,底面ABCR AD=/2, DC=SD=2 點(diǎn) M 在側(cè)棱 SC上,/ ABM=60(I)證實(shí)：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；(H)求二面角 S- AM-B的大小.SB【專題】11:計算題；14:證實(shí)題.【分析】(I )法一：要證實(shí)M是側(cè)棱SC的中點(diǎn),作MN / SD交CD于N,作NEE± AB 交 AB 于 E,連 ME、NB,那么 MN 上面

26、ABCD MEXAB, =AD二加設(shè) MN=x, WJ NC=EB=x解RTAMNE即可得x的值,進(jìn)而得到M為側(cè)棱SC的中 點(diǎn)；法二：分別以DA、DC、DS為x、v、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz,并求 出S點(diǎn)的坐標(biāo)、C點(diǎn)的坐標(biāo)和M點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)中點(diǎn)公式進(jìn)行判斷；法三：分別以DA、DC、DS為x、v、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz,構(gòu)造 空間向量,然后數(shù)乘向量的方法來證實(shí).(H)我們可以以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA、DC DS為x、y、z軸如圖建立空 間直角坐標(biāo)系D-xyz,我們可以利用向量法求二面角 S- AM-B的大小.【解答】 證實(shí)：(I )作MN / SD交CD于N,

27、作NE±AB交AB于E,連 ME、NB,那么 MNL面 ABCD MEXAB, NE=AD二W設(shè) MN=x, WJ NC=EB=x在 RTMEB中,/MBE=60 . .在 RIA MNE 中由 ME2=nW+MN2； 3x2=x2+2解得x=1,從而 ro=-SD '- M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)M .(I)證法二：分別以 DA、DG DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系 D- xyz,那么 A(表, 0, 0), B(&, 2, 0), C(O, 2, 0), S(0, 0, 2_設(shè) M (0, a, b) (a>0, b>0),那么：. ,一, ,一 .

28、:,cos<由題得二,豆 # SC'幺匕2)_即,2*V(a-2) £ + b2+2 22 4 2(b-2)解之個方程組得a=1, b=1即M (0, 1, 1)所以M是側(cè)棱SC的中點(diǎn).(I)證法三：設(shè)sff=XMC,那么'l/ '1+ 九 1+ A1+ 九 1+ A又廣, ；.1"故“,： U|一 . 11-,即京?2222+備備)'解得人=1所以M是側(cè)棱SC的中點(diǎn).H由I得 1H0, L 1,冠二衣,-1, -1,又- . .：,.,設(shè). . . 1.工2分別是平面SAM、MAB的法向量,n,'MA=0 那么,一即,%

29、9;AS=0亞勺一V1一£ 1n9 pMA=0且1二一,-AB=0=0且2乃二 0分別令町二功士加得 zi=1, yi=1, Y2=0, Z2=2,即叫二L 1,0,2, 一 一、星空一遍Cii七F而角S- AM - B的大小 兀A E B【點(diǎn)評】空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦 值；空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；19. (12分)甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽,約定先勝 3局者獲得這次比賽的勝 禾I,比賽結(jié)束,假設(shè)在一局中,甲獲勝的概率為 0.6,乙獲勝的

30、概率為0.4, 各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,前 2局中,甲、乙各勝1局.(I)求甲獲得這次比賽勝利的概率；(R)設(shè)士表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù),求 己的分布列及數(shù)學(xué)期 望.【考點(diǎn)】C8:相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；CG:離散型隨機(jī)變量及其分布列；CH:離散型隨機(jī)變量的期望與方差.【專題】11:計算題.【分析】(1)由題意知前2局中,甲、乙各勝1局,甲要獲得這次比賽的勝利需 在后面的比賽中先勝兩局,根據(jù)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立,根據(jù)相互獨(dú)立事件 的概率公式得到結(jié)果.(2)由題意知己表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù),由上一問可知己的可能取值是2、3,由于各局相互獨(dú)立,得到變量

31、的分布列,求出期望.【解答】解：記Ai表示事件：第i局甲獲勝,(i=3、4、5)B表示第j局乙獲勝,j=3、4(1)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利,.前2局中,甲、乙各勝1局,甲要獲得這次比賽的勝利需在后面的比賽中先勝兩局, B'AgAzt+BaAziAs+AsB4 A5由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立, .P (B) =P (A3A4) +P (B3A4A5) +P (A3B4A5)=0.6X 0.6+0.4 X 0.6 X 0.6+0.6X 0.4 X 0.6=0.648(2)己表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù),由上一問可知己的可能取值 是2、3由于各局相互獨(dú)立,得到 己的分布列

32、P ( E =2 =P (A3A4+B3B4) =0.52P(己=3 =1 p(己=2 =1- 0.52=0.48EE =2 0.52+3X0.48=2.48.【點(diǎn)評】認(rèn)真審題是前提,局部考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分,這是很可惜的,主要原因在于沒讀懂題.另外,還要注意表述,這也是考生較薄 弱的環(huán)節(jié).20. (12分)在數(shù)列an中,ai=1, an+i= (id) an©k n 2n(1)設(shè)bn=-,求數(shù)歹I bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)歹1an的前n項(xiàng)和S.【考點(diǎn)】8E:數(shù)列的求和；8H:數(shù)列遞推式.【專題】11:計算題；15:綜合題.【分析】(1)由得%?=%+1,即bn+1

33、=bnd,由此能夠推導(dǎo)出所求的通 n+1 n 2n2n項(xiàng)公式.(2) 由題設(shè)知 an=2n 故 Sn= (2+4+, +2n) - ( 1+ + +-+-+一t) 2 2 22設(shè)%=1+4+4+4»一由錯位相減法能求出 Tn=4-嚕.從而導(dǎo)出 21 22 232n-12n-1數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.【解答】解：(1)由得bi=ai=1,且%+1=%+J_, n+1 n 2n即 bn+1 =bn+-,b2=bi+,b3=b2+,22bn=bn i+ (n12).于是 bn=bi+j-+-+-=2 - 1(n>2).2 Q2 n11-1又 bi=i,故所求的通項(xiàng)公式為bn=2-.2

34、*t(2)由(i)知 an=2n-2n-1故&= (2+4+- +2n) - ( i心g+4r+9n=+ 勺 + *+-； + 門,c 22 22 2320T 2n-得,1丁/1111nWTn=i V+r +7+n222223211-12nSn=n (n+i) n-n2n,4.【點(diǎn)評】此題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和的求法,解題時要注意錯位相減法的合理運(yùn)用.21. (i2分)如圖,拋物線 E： y2=x與圓M： (x-4) 2+y2=r2 (r>0)相交于 A、B、C、D四個點(diǎn).(I )求r的取值范圍;(II)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時,求對角線 AC BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo).r

35、【考點(diǎn)】IR:兩點(diǎn)間的距離公式；JF:圓方程的綜合應(yīng)用；K8:拋物線的性質(zhì).【專題】15:綜合題；16:壓軸題.【分析】(1)先聯(lián)立拋物線與圓的方程消去 y,得到x的二次方程,根據(jù)拋物線 E： y2=x與圓M: (x-4) 2+y2=r2 (r>0)相交于A、B、C、D四個點(diǎn)的充要條 件是此方程有兩個不相等的正根,可求出 r的范圍.(2)先設(shè)出四點(diǎn)A, B, C, D的坐標(biāo)再由(1)中的x二次方程得到兩根之和、 兩根之積,表示出面積并求出其的平方值,最后根據(jù)三次均值不等式確定得 到最大值時的點(diǎn)P的坐標(biāo).【解答】解：(I)將拋物線E: y2=x代入圓M: (x-4) 2+y2=r2 (r>0)的方程, 消去 y2