等比數(shù)列經(jīng)典例題

1、因此16 3%=qxq= 3 x=84a+ 2 q =3R1444故原來(lái)的三個(gè)數(shù)是:2.1030.或練習(xí):已知數(shù)列&13 s胖是它的前 項(xiàng)和,并且4=L S.* = 4& + 2.'T等比數(shù)列經(jīng)典例題例1 一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18,求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).解：喝1表示題中公比為q的等比數(shù)列，由已知條件，有 12,% = 18,即。通= 120 g，= 18解得“巴一13216答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是 3例2.三數(shù)成等比數(shù)列，若將第三個(gè)數(shù)減去 32,則成等差數(shù)列，若再將這等差數(shù)列的第二個(gè)數(shù)減去4,則又成等比數(shù)列，求原來(lái)三個(gè)數(shù)。解：設(shè)原來(lái)的三個(gè)數(shù)

2、是：a,aq,aq2則必有備行"+(W 72代人得：“ = 2,9 = 5 或r設(shè)幾一/.求i正數(shù)列物是等比數(shù)列: 2設(shè)求證數(shù)列匕J是等差數(shù)列.即既是公比為2的等比數(shù)列 =3.尸3：|"-3一"入"Cn 1Cn4問(wèn)：如何用ai和q表示第n項(xiàng)an1.疊乘法（累乘法）比如產(chǎn)qas/a2=qa4/a3=qan/an-1 =q這n-1個(gè)式子相乘得an/ai=qn-1所以 an=a1qn-12.不完全歸納法時(shí)aq一 一一一 一2a3=a2q=a1q23a4=a3q=a1q3_ n-1an=a1qn 11. 在等比數(shù)列an中，已知a2 = 2, a4a6 = 256

3、,貝U a8等于（128）2. 等比數(shù)列an中，a5= 3,則a2 a8等于（9）3. 將20,50,100這三個(gè)數(shù)加上相同的常數(shù)，使它們成為等比數(shù)列， 則其公比是_5/3_.4. 已知等比數(shù)列an/a1 an的公比 q =1 a1+a3 + a5 - a7=3'、a2+a4+呢+ a8（-3）5. 在等比數(shù)列an中，若 an>0, a2a4+2a3a5 +a4a6 =25.求 a? 十a(chǎn)5的值.解:他知+2a§的+。j%=25/(心 + g尸= 25.乂4r0, ，6 + %=5.6. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，ai = 3,前三項(xiàng)的和為21,貝！J a3+a4

4、 + a5=( 84 )7. 在等比數(shù)列an中，若a2 - a8=36, a3 + ay=15,則公比q值的可能個(gè)數(shù)為(4 )8. 已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且a2= 3,4S2= S4.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證數(shù)列2an是等比數(shù)列;(3)求使得Sn+2>2Sn的成立的n的集合.解：(1)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公差為d,由題意得:a1 + d = 34X 2ai+d =4ai +6d解得 a1 = 1, d=2, - an= 2n 1.2n 22n 1(2膿題意得，=/3=4,2an 12二數(shù)歹*2"為首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列，(3)由 a1 =

5、1, d=2, an= 2n 1，得 Sn= n2, &+ 2>2Sn? (n + 2)2>2n2? (n-2)2<8, . n= 1,2,3,4,故 n 的集合為：1,2,3,4.9.在等比數(shù)列an中，as、a9是方程7x2 18x + 7=0的兩個(gè)根，試求a7.正解： as、a9是方程7x218x+ 7 = 0的兩個(gè)根，工 18as + a9 = 7 .a5a9= 1又 a7是as和a9的等比中項(xiàng)，一 a7= a5a9= 1, 即 a7=蟲(chóng).又由方程可得 a5>0, - a7-= a5q2>0,a7= 1.10 . (2010年高考重慶卷)在等比數(shù)列a

6、n中，22010= 8a2007,則公比q的值為(2 )11 .設(shè)an是等比數(shù)列，a1 = 2, a8=256,貝U a?+a3=1212 .若數(shù)列an滿足：a1=1,an+1=2an(n6 N+),則 Sn =.答案：2n113 . (2011年高考全國(guó)卷H )設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1 , Sn+ 1 = 4an + 2.(1)設(shè)bn=an+1 2an,證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【解】(1)證明：由已知有a1 + a2 = 4a1 + 2,解得 a2 = 3a1 + 2 = 5,故 b1 = a22a1=3,又 an + 2=Sn+2Sn+ 1=4an+

7、1 + 2 (4an + 2)于是 an+2 20n + l = 2(an+l 2an),即 bn+l = 2bn.因此數(shù)列bn是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.由(1)知等比數(shù)列bn中bi=3,公比q=2, 所以 an + 12an=3X2nT,a an + 1 an 3I2nF14，因此數(shù)列翁是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,an 13 31所以 2n=2+(nD>4=4n 4所以 an=(3n1) 2n-2(nC N + ).14.(1) (2010年高考江西卷)等比數(shù)列an中，冏|=1, a5= 8a2,a5>a2,則 an= ( A )A. (2)n 1B. -(-2)n 1

8、C. (2)nD. -(-2)n(2) (2010年高考遼寧卷)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知3s3= a42,3S2 = a3 2,則公比 q=( B )A. 3B. 4C. 5D. 6 (3)(2010年高考遼寧卷)設(shè)2是由正數(shù)組成的等 比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.已知a2a4=1,S3=7,則 S5=()A.152B.314C.33D.172【解析】記數(shù)列 的公比為q,由a5= 8a2,得 a1q4 = 一 8aq,即 q = 2.由 |a4 = 1 ,得 a1= ±1, 當(dāng)a1 = 1時(shí)，a5 = - 16<a2= 2,與題意不符，舍 去；當(dāng)a1= 1時(shí)，3s= 1

9、6>32 = 2,符合題意，故 an= ad 1= (- 2)n 1.3s3 = a42 3S2=a3- 2一得： 3a3=a4一3s,4a3= 4? q=4.833 Aaiq aiq = 1顯然公比q*1,由題意得，ai 1 - qs/01 + Y 5 - q - q- 1<0 ,角牛得 0vqv. ), -r=7ai = 4解得 1,q=21o ai 1-q54 1 -2531 Q !i一- ,。5 一 _ 一 一 4 “1 _215.數(shù)列an中，ai = 1, 32= 2,數(shù)列an a1是公比為 q(q>0) 的等比數(shù)列.求使anan+i + an+ian+2>a

10、n+2an+3(n N+)成立的q的取值范圍；若bn=a2n i + a2n(n G N + ),求bn的通項(xiàng)公式.解:(1) :數(shù)列anan+4是公比為 q(q>0)的等比數(shù)列，且 ai a2= 1 2=2, an an+1 = 2qn 1,由 Hn 3n + 13n+ 1 3n + 2 > 3n + 2 an + 3( H C N+)-a-* - n 1 , c n 八 n +1 .有 2q + 2q >2q(q>0),小an+1an+2(2)二=q ,anan+1 an + 2 _ , o 一 q，a2n+ 1 qa2n- 1 , ana2n+2= qa2n.,

11、bn = a2n- 1 + a2n，-=q,又 bn + 1 _ a2n+ 1 + a2n + 2bna2nl+ a2n a2nl+ a2n_ qa2n-l+ qa2n，bn是首項(xiàng)為b1= 3,公比為q的等比數(shù)列, bn= 3qn1.16. (2011年南陽(yáng)調(diào)研)在等比數(shù)列an中,a1最小,且a1 +(2)求 n.【解】a2 an 1; an是等比數(shù)列，a1 + an= 66,=a1an =一 a1an解得a1an是方程2或64128,x266x+ 128 = 0 的兩根,a1an642an = 66, a2 an 1=128,前 n 項(xiàng)和 Sn=126, (1)求公比q;又丁 a1最小， .

12、 a1 = 2 , an = 64 ,64= 2 qn 1由2 1 qn = 1261-q17.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=2X3 n+k(k R, nG N + ).求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足 an=4(5+k)anbn,Tn 為數(shù)列bn3的刖n項(xiàng)和，求證：0&Tn<16.【解】 當(dāng)n=1時(shí)，ai=Si=6+k,當(dāng)n>2時(shí)，an= Sn-Sn 1=4 3n1由于an是等比數(shù)列，所以定=更=:包， ai a2an i因此有6k =3，解得卜=一 2,這時(shí)an =4 3n 1.(2)證明：由于 an = 4(5+k)anbn,所以 4 3anbn=4 3n

13、1,H.' n . n 1故 anbn = n 1 ,從而 bn = 0n 1.4 3所以 Tn=b1+ b2_l_ b3+b4+ , + bn=吉+ 422+券+，,3Tn=4+43 +言+ + 43/不/曰一 1 , 1 ,11 n- 1一信 2Tn = 4+43 + 4-32+ " + 43n 2 - 4 3n 1，T 1111 n 13所" Tn = 8+ 8-3+832+ + 8 3n 2 8 3n 1 = 76 2n+ 116 3n 1'“ 2n + 1 一 .令f(n)= R，顯然f(n)隨著n的增大而減小，故16 3, 一 3 田八3 2n+ 13 目口八30<f(n)或1)=正故0常-<誣，即0或<618.(2010年高考四川卷)已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6,前8項(xiàng)和為一4.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn= (4an)qn 1(q3Q n6N + ),求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.【解】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d,由已知，得3ai+ 3d=6, 8a1+ 28d = 4.解得ai = 3,d = 1.故 an= 3(n 1)= 4n. 4分(2)由(1)可得bn= n qn 于是Sn= 1 -q0+ 2 q1+ 3 q2+ + n