拋物線高三復習專題

1、一、拋物線的方程例1求滿足下列條件的拋物線的標準方程，弁求對應拋物線的準線方程：(1)過點(3, 2);(2)焦點在直線x2y4=0上.(3)已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為 x軸，拋物線上的點M (-3, mj)到焦點的距離等于 5,求拋物線的方程和 m的值.(4)點M與點F (4,0)的距離比它到直線i：x + 5 = 0的距離小1, 求點M的軌跡方程.(5)斜率為1的直線經過拋物線y2= px的焦點，與拋物線相交 于兩點A、B,線段白長為6,求拋物線的方程(6) 一拋物線拱橋跨度為52米，拱頂離水面6.5米，一竹排上載有一寬4米、高6米的大木箱，問能否安全通過?(7)點P、Q是拋物線y2

2、=2mx上兩點，PQ垂直于這條拋物線的 對稱軸，且|OP|=5, O為坐標原點，|PQ|=6,則 m的值 為.(8) .拋物線y=ax2的準線方程是y = 2,則a的值為()A. 1 B. - 1 C. 8D. -888(9) .在拋物線y2=2px上，橫坐標為4的點到焦點的距離為5,則p的值為()A. 1 B. 1 C. 2 D. 42(10) .已知拋物線方程為y2=8x ,則它的焦點坐標是 , 準線方程是 ,若該拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點等于 , 拋物線 上的M到焦點的距離是4,則點M的坐標是 。(11) .拋物線y =4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的

3、縱坐標是()A. -B. -C. 716168D. 0(12)過拋物線y2 = 4x的焦點作直線交拋物線于 P(xii)、Q(x22) 兩點，若xi2=6，則| |的值為()A. 10 B. 8C. 5D. 6(13)斜率為2的直線經過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相 交于A,B兩點，則|AB|= 。(14)拋物線y2=2x上的兩點A,B到焦點的距離和是5,則線段AB 的中點到y(tǒng)軸的距離是。(15)已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在 y軸上，拋物線 上的點(m, 2)到焦點的距離等于4,則m的值為.16.方程x2sina +y2cosa =1表示的曲線不可能是()(A)直線 (B)拋物線 (

4、C)圓 (D)雙曲線二、拋物線的定義(1)已知拋物線x 2 = 4 y的焦點F和點A(-1,8)為拋物線上一點，則I I+1 I的最少值是()A. 16 B. 6 C. 12 D.9 已知拋物線y2 =2px(p>0)的焦點為F ,點PN,yi),P2X2 y2), 2(x3, y3)在拋物線上，且|PF卜IP2F卜IP3FI成等差數列， 則有( )A +x2=x3B , y+y2=y3C« xi x3 = 2x2D.yi y3 = 2 y2(3) P是拋物線y2=4x上的一個動點，又 F是拋物線的焦點，A(2,5)，則I I + I I的最少值是 .(4)已知點A(3,4),

5、F是拋物線y2=8x的焦點是拋物線上的動點 當|MA + MF最小時，M點坐標是 ()A. (0, 0) B. (3, 2、6) C. (2, 4) D. (3, -2.6)(5)拋物線y = -x2上的點到直線4x + 3y - 8 =0距離的最小值A、4C、D 3(6)拋物線x 2 1上的點到直線4坐標為y = 45的距離最短，則該點的A. (0,0) B. (1,4) C.；D. (5,1)(7)已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A（Xi,yi）、B（x2,y2）兩點，則y2+y2的最小值是 8.以拋物線y2=2px（p>0）的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸

6、位置關 系是（）（A）相交（B）相切（C）相離（D）以上三種均有可能三、拋物線的幾何性質1 .過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于a、B兩點，它們的橫坐標之和等于a2+2a+4（aw R）,則這樣的直線（） A.有且僅有一條B.有且僅有兩條C.1 條或2條D.不存在2 .如果Pi, P2,，P8是拋物線y2=4x上的點，它們的橫坐標 依次為X, x2 ,，x8 , F是拋物線的焦點，若x1,x2，xn（nW N沖）成等差數列且 xi +x2 i +xg=45,則 |EF |=（）.A. 5 B .6 C.7 D . 93 .設O號坐標原點，F是拋物線y2=4x4焦點，A是拋物線上的

7、 一點，FA與x軸正向的夾角為60 ,則OA為.4 .（山東省威海市2008年普通高中畢業(yè)年級教學質量檢測）拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l , l與x軸相交于點E,過F且 傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點 A, 11 ,垂足為B,則四邊形的面積等于（）A. 3 芯 B . 4V3C . 63D . 8<3四、拋物線和直線的綜合應用：例1斜率為1的直線經過拋物線y2 =4x的焦點，與拋物線相交 于兩點A B,求線段的長.變式1.斜率為1的直線經過拋物線y2 = px的焦 點，與拋物線相交于兩點 A B,線段白長為6, 求拋物線的方程變式2.過拋物線y2

8、=2px的焦點F任作一條直線fy-XBX Jr 、H -E-OF-D 、AXm交這拋物線于 a b兩點，求證：以為直徑的圓和這拋物線的準線相切./ 16例2:設p>0是一常數，如圖，過點 Q (2p, 0)的直線與拋物 線y2=2px交于相弁兩點A、B,以線段為直徑作O H (H為圓心)， 試證拋物線頂點 。在OH上，弁求當O H的面積最小時，直線的 方程。變式1：設人、B為拋物線y2=2px上的點，且/aob=90,(O為原點), 則直線必過的定點坐標為.變式2：如圖所示，F為拋物線y2 =2px(p >0)的焦點，A (4, 2)為拋物線內一定點，P為拋物線上一動點,PA +|

9、PF的最小值為8。(2)若O為坐標原點，問是否存在點M使過點M的動直(1)求拋物線的方程;線與拋物線交于 R C兩點。且NBOC=90"證明你的結論。例3:已知拋物線y2=4x的準線與X軸交于M點，過M作直線與 拋物線交于 A B兩點，若的垂直平分線與x軸交于E (xo，0)(1)求X0的取值范圍；(2) AABE能否是正三角形？若能，求 小的值；若不能，請 說明理由yjL變式1：已知拋物線y2 =2px(p>0)過動點M (a,0)且斜率為1的 直線l與拋物線交于不同的兩點 A B, |AB <2p o(1)求a的取值范圍；(2)若線段的垂直平分線交 X軸于點N,求AN

10、AB面積的最 大值。例4 .(理)已知拋物線x2 = 4y的焦點為F,過焦點F且不平行 于x軸的動直線l交拋物線于A,B兩點，拋物線在兩點處的切線 交于點M(1)求證三點的橫坐標成等差數列(2)求點M的軌跡(3)設直線交拋物線于兩點，求四邊形面積的最小值(文)設拋物線y 2=2 (p>0)被直線24截得的弦長長為3回(1)求此拋物線的方程；(2)設直線上一點 Q,使得A Q B三點到拋物線準線的距 離成等差數列，求Q點坐標；(3)在拋物線上求一點M使M到Q點距離與M到焦點距離之和 最小.導數在解析幾何中的應用例1 癡一,.：一的弦長為4萬(D求F的值；(II)過拋物線C上兩點&

11、B分另J作拋物線C的切線心若 交于點M求直線AB的方程，例：2：已知過點P(0,-1 )的直線l與拋物線x2=4y交于兩點A(xi,yi)、 BY。？li、I2分別是該拋物線在A、B兩點處的切線。M、N分 別是li、I2與直線y = -1的交點。求直線l的斜率的取值范圍試比較PM|與PN的大小，說明理由。例3過y軸正方向上一點C(0,c )任作一直線，與拋物線y=x2交于A、B兩點。一條垂直于 x軸的直線，分別與線段 AB和直線 l：y = _c交于點P、Q。若P為線段AB的中點，求證：AQ為此拋 物線的切線例4：已知曲線C上的動點P(x,y)滿足到點F(0,1)的距離比到直線l ： y = 2的距離小1 .(I )求曲線C的方程；(II)動點E在直線l上，過點E分別作曲線C的切線EA,EB,切 點為A、B .求證：直線AB恒過一定點，弁求出該定點的坐標.例5、已知拋物線x2=4y的焦點為F, A B是直線上的兩動點， 且AFrFB（九A0）.