第8課時兩點分布

1、第8課時 兩點分布、超幾何分布、正態(tài)分布重溫教材掃清盲點基礎(chǔ)知識導(dǎo)航1 .兩點分布如果隨機變量X的分布列為X01P1 - pp其中0<p<1,則稱離散型隨機變量X服從兩點分布.E(X) = p, D(X) = p(1 p).2 .超幾何分布般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(MWN)件次品.從中任取n(n&N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么ck Z k CmCn M,.一一、P(X=k)=CN(k= 0,1,2,，m).X01mPcMcN 10/i cNcMcN，M cNmn mCmCn M cN其中 m=minM, n,且 n&N, M<N, n

2、, M, NC N*.如果一個隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布.3 .正態(tài)分布1(1)正態(tài)曲線：函數(shù)冊。)=下5", xe (-OO, +00),其中頭數(shù)以和(T72 TtCT為參數(shù)(o>0,戶R).我們稱函數(shù) 如(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線， 簡稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方,與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x4X對稱；曲線在x=仙處達到峰值1曲線與x軸之間的面積為1;當(dāng)b一定時，曲線的位置由N確定，曲線隨著 上的變化而沿x軸平移，如圖甲 所示；當(dāng)N一定時，曲線的形狀由 b確定，越小,曲線越“瘦高”，表示總體的分 布越集中

3、； 理大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示.J r-2 -11 ol11 2I-2ToI_23C1|1乙(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a, b(a<b),隨機變量X滿足P(a<X&b)=犬心_叁心，則稱 a隨機變量X服從正態(tài)分布，記作XN"().正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 P(廠 0< X< 葉 i = 0.682 6; P(廠 2o<X< 葉 2 =0.954_4： P(廠 3o<X< 葉 3 &=0.997 4.4 .判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“/ 錯誤的打"X” )

4、(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量.服從兩點分布.(X)(2)某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù) X服從兩點分布.(X)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分 布.(V)(4)正態(tài)分布中的參數(shù) 小和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù) 以是正態(tài)分布的期望，(T 是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.(，)5 5) 一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.(，)(6)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=以對稱，從而在關(guān)于x=以對稱的區(qū)間上概率相等.(，)對于正態(tài)分布 XN(內(nèi) 婿)，總有P(x< 廠a)=P(x>

5、葉a). (V)2（8）XN（內(nèi)6），發(fā)生在（廠3仿 葉3丸 之外的概率為0,稱N不可能事件.（X）（9）正態(tài)總體（1,9）在區(qū)間（0,1）和（一1,0）上的概率相等.（X）（10）隨機變量分布列為X12PP2p是兩點分布.（X）考點典例領(lǐng)航處考點深化突破考點一 兩點分布、超幾何分布命題點1 .求兩點分布的分布列2 .求超幾何分布列例1 （1）設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的 2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P（X=0）等于（）1A. 0B八12C.oD.o33解析：設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X=0”表示試驗失敗，“X=1”表示試驗成功，設(shè)失敗率為p,則成功率為2P.由 p+2

6、P=1,則 p=1,故應(yīng)選 C. 3答案：C（2）一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出 2個球，至少得到1個白球的概率是9. 9求白球的個數(shù)；從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及期 望.解：記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A,設(shè)袋中白球的個數(shù)為x,則P(A)=1 C10-x 7C20 =9,得到x=5.故白球有5個.35C k5 cX服從超幾何分布，P(X= k)=于是可得其分布列為k=0,1,2,3.方法引航(1即點分布列白隨機變量X取值為1和0,不能取其它整數(shù)，X=1 表示“成功”.(2悶于服從某些特殊分布的隨機變量，其分

7、布列可以直接應(yīng)用公式給出.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)， 隨機變量取變式巡航值的概率實質(zhì)上是古典概型播化訓(xùn)練提升考能1 .若將本例(1)改為x01Pp2 p,求X的成功率.解：p+p2=1,(p>o)V5-1p= 2X的成功率P(x=1) =05723-加22.將本例(2)改為：隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延 遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)注的話題，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學(xué)習(xí)小組從某社區(qū)隨機抽取了50人進行調(diào)查，將調(diào)查情況進行整理后制成下表:年齡20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)

8、人數(shù)45853年齡45,50)50,55)55,60)60,65)65,70人數(shù)67354年齡在25,30), 55,60)的被調(diào)查者中贊成人數(shù)分別是 3人和2人，現(xiàn)從這兩組的 被調(diào)查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調(diào)查.求從年齡在25,30)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成的概率；求選中的4人中，至少有3人贊成的概率；若選中的4人中，不贊成的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：設(shè)“年齡在25,30)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成”為事件A,c33所以P(A)=cr行設(shè)“選中的4人中，至少有3人贊成”為事件B,所以P(B) =12C2c ccir112+ 22 -X的可能取值為0,1,2,3,

9、-2-2c3c21所以 P(X=0)=CC2=布,c3c2 c2+c3c2c12P(X=1)= cc =5c2cP(X=2)=2 八Zd2 + C3C2C2C113c5c3= 30，c2c2C1依=3)=年-=行.X0123P121311053015一,1213122所以 E(X) = 0X 而 + 1X5+ 2X30+ 3X=.考點二正態(tài)分布命題點1.利用正態(tài)密度曲線性質(zhì)求概率2.利用正態(tài)分布求隨機變量2例2 (1)(2017山西四校聯(lián)考)設(shè)隨機變量 XN(3,) 若P(X>m) = 0.3,則 P(X>6 m) =.解析：因為 P(X>m)=0.3, XN(3,總所以 m

10、>3, P(X<6m) = P(X<3(m3)= P(X> m) = 0.3 所以 P(X> 6 m) = 1 P(X< 6- m) = 0.7.答案：0.7云南省2016年全省高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省 100 000名高中男 生的身高服從正態(tài)分布 N(170.5,16).現(xiàn)從云南省某校高三年級男生中隨機抽取 50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成 6組：第1組157.5,162.5),第2組162.5,167.5),， 第6組182.5, 187.5,如圖是按上述分組方式得到的

11、頻率分布直方圖.頻率組距:1575 162J51的5 1725 1775 1R25 1873試評估該校高三年級男生在全省高中男生中的平均身高狀況；求這50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人數(shù)；身高排名(從高到低)在全省130名之內(nèi)，其身高最低為多少？參考數(shù)據(jù)：若 己N(內(nèi)(2),則P(四o< 長葉3=0.682 6,P(四2 o< 口 吐 24 = 0.954 4,P(四3o< 口 吐 34 = 0.997 4.解：由頻率分布直方圖知，該校高三年級男生平均身高為160X 0.1+ 165X 0.2+ 170X 0.3+ 175X 0.2+180X 0.

12、1 + 185X 0.1 = 171.5(cm),-171.5 cm> 170.5 cm,故該校高三年級男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值.由頻率分布直方圖知，后兩組頻率和為0.2, 人數(shù)和為0.2X50= 10,即這50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人數(shù)為10.P(170.5 3X4< 仁 170.5+3X4) = 0.997 4,10.997 4P(182.5)=2=0.001 3,又 0.001 3X 100 000= 130.身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的高中男生可排進全省前130名.方法引航在高考中主要考查正態(tài)分布的

13、概率計算問題，其解決方法如下：第一步，先弄清正態(tài)分布的均值是多少；第二步：若均值為內(nèi)則根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得 P(X>心=0.5, P(X<心=0.5, P(X<葉c產(chǎn)P(X>四c1j(c>0怦結(jié)論；第三步，根據(jù)這些結(jié)論、題目中所給條件及對稱性，對目標(biāo)概率進行轉(zhuǎn)化求解即 可.,說明：關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率問題，要熟記P(L(<X<心力,P(廠2KX0 什2(t), P(廠3 KX0葉36的值，充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲 線與x軸之間的面積為1來解題.跟蹤巡航強化訓(xùn)維提升考能1. (2017江西八校聯(lián)考)在某次數(shù)學(xué)測試中，學(xué)生成績己服從正

14、態(tài)分布N(100,(2)(60),若士在(80,120)內(nèi)的概率為0.8,則士在(0,80)內(nèi)的概率為()A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.2解析：選 B.由題意得，P(80<3100)=P(100<3120) = 0.4, P(0< <100) = 0.5, P(0< <80) = 0.1.2.在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布 N(80,52),現(xiàn)已知該班同 學(xué)中成績在8085分的有17人.試計算該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人.解：依題意，由8085分的同學(xué)的人數(shù)和所占百分比求出該班同學(xué)的總數(shù)，再求90分以上同學(xué)的人數(shù).二.

15、成績服從正態(tài)分布N(80,52),. 尸 80,戶 5, (J戶 75,葉 o= 85.于是成績在(75,85內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.26%.1由正態(tài)曲線的對稱性知，成績在(80,85內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的 2X68.26%=34.13%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則XX 34.13%= 17,解得x=50.又 廣2 戶 8010=70, 葉2 80+ 10=90,丁成績在(70,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%.丁成績在(80,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的47.72%.丁成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的 50% 47.72%= 2.28%.即有 50 X 2.28%= 1(人)，即成績在 90分以

16、上的同學(xué)僅有1人.智能提升返航特色展示體驗高考易錯警示不能正確理解正態(tài)曲線的對稱性典例已知隨機變量己滿足正態(tài)分布N" (2),且P(&1) = 1, P(早2) = 0.4,則P(0< <1) =.錯解 由 P(02)=0.4, . .P( 32)=10.4= 0.6,1P(0< 01) = 2P( &2) = 0.3.錯因P(0< 31)是 P( 32)的一半.一 ，一 1-正解由p（ 31）=2得 尸1,.隨機變量己服從正態(tài)分布N（1, 己,曲線關(guān)于乂= 1 對稱.P（02） = 0.6,. P（0< 01）=0.60.5= 0.1.

17、答案0.1警示正態(tài)曲線關(guān)于直線x=以對稱，從而在關(guān)于x=以對稱的區(qū)間上概率相同.P(X<a)=1 P(X>a), P(X< 廠a)=P(X> 葉a).高考真題體驗1. （2015高考湖南卷）在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影 部分（曲線C為正態(tài)分布N（0,1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（）B. 2 718D. 4 772A. 2 386C. 3 413附：若XN(內(nèi)弁，則Pg MX0 葉 4 = 0.682 6,Pg 2(<X< 葉 2 4=0.954 4.解析：選 C.由 P(1<X& 1) = 0.682 6,彳

18、4 P(0<X< 1) = 0.341 3,則陰影部分的面0.341 3積為0.341 3,故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為10 000X 1 x1 =3 413,故選C.2. （2015高考山東卷）已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（0,32）,從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量 己服從正態(tài)分布N（內(nèi)（2）,則P（廠o< y 什3 = 68.26%, P（n2o< 己(葉 2 4 = 95.44%.)A. 4.56%C. 27.18%B. 13.59%D. 31.74%故 P(3<6)P(-6< 6 廠

19、 P(-3< &3)0.954 4- 0.682 620.135 9 =解析：選B.由正態(tài)分布的概率公式知P（-3<己<3） = 0.682 6, P（-6< &6）= 0.954 4,13.59%,故選 B.3. （2014高考課標(biāo)全國卷I ）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 500件，測量這些 產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 7和樣本方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用 該組區(qū)間的中點值作代表）；由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（內(nèi)U）,其中祖近似為樣本平均數(shù)7 , 2近似為

20、樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求 P（187.8<Z<212.2）;某用戶從該企業(yè)購買了 100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo) 值位于區(qū)間（187.8,212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求 E（X）.附：150=12.2.若 ZN（內(nèi)，），貝 U P（mZ<H 4=0.682 6, P（廠 2（<Z< 葉 2，= 0.954 4.解：（1）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為 x =170X 0.02+ 180X 0.09+ 190X 0.22+200X 0.33+ 210X 0.24+220X 0.08 +230X0.02= 2

21、00, s2 = ( 30)2X0.02+ ( 20)2X0.09+ ( 10)2X0.22+ 0X0.33+ 102X0.24 + 202X0.08+302X0.02= 150.(2)由(1)知,ZN(200,150),從而 P(187.8<Z<212.2)= P(20012.2<Z<200+12.2) = 0.682 6.由知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 6,依題意知XB(100,0.682 6),所以E(X) = 100X 0.682 6= 68.26.4. (2016高考天津卷)某小組共10人，利用假期參加義工活動，

22、已知參加義工活 動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參 加座談會.設(shè)A為事件”選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為 4"，求事件A發(fā)生的概 率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(1)由已知，得c3c4+C3 1P(A)=C0=3.所以，事件A發(fā)生的概率為1.3隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.C2+ C2+C44P(X=0)=C10=15,c3c1+c3c47P-1戶 C20=175,_ 1 _ 1c3c44P(X=2) = " = %.C1015所以，隨機變量X的分布列為X

23、012P415715415隨機變量X的數(shù)學(xué)期望474e(x)= 0*15+ 1x15+2x15=1.課時規(guī)范訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練1 .設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c 1),則c等于()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：選B.二.尸2,由正態(tài)分布的定義知其圖象關(guān)于直線x = 2對稱，于是c+ 1 + c 12: 2, 'c= 2.2.正態(tài)總體N(1,9)在區(qū)間(2,3)和(一1,0)上取值的概率分別為 m, n,則()A.m> n B. m< nC.m= n D.不確定解析：選C.正態(tài)總體N(1,9)的曲線關(guān)于x=1對稱，區(qū)間

24、(2,3)與(一1,0)到對稱軸 距離相等，故m=n.3. 一批產(chǎn)品共50件，次品率為4%,從中任取10件，則抽到1件次品的概率是_ 1 9c2c&B.-p0-C50()c2c98 A.-o- C501050c- C9 4 158-00解析：選A.50件產(chǎn)品中，次品有50X4% = 2件，設(shè)抽到的次品數(shù)為X,則抽到 C2C981件次品的概率是P1戶百.4.設(shè)XN(血(2), YN(匹 扇，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論中正確的是()A. P(Y> )>P(Y> i)B. P(X<(2)<P(X< di)C.對任意正數(shù) t, P(X>t

25、)>P(Y> t)D.對任意正數(shù) t, P(X<t)>P(Y< t)1斛析：選D.由圖象知，以<巴oi<(2, P(Y> ) = 2,1P(Y> 以)>2,故 P(Y> j2)<P(Y> ，故 A 錯；因為01<%所以P(X<(2)>P(X< 01),故B錯；對任意正數(shù)t, P(X>t)<P(Y>t),故C錯；對任意正數(shù)t, P(X<t)>P(Y< t)是正確的，故選 D.5.設(shè)隨機變量 己服從正態(tài)分布N(3,4),若P( 2a 3)=P(P a+2),則a

26、=()3 7AB.o7 3C.7D.88 7解析：選B.因為己服從正態(tài)分布N(3,4),且P(<2a 3) = P(>a + 2),所以2a3+a+2=6, 'a=q. 3-2 1x+ 26 .若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)是 如G)=2京e- -8一 (xCR)，則E(2XT)=.解析：尸2,嚴(yán)2, E(2X1)=2E(X) 1 = 2X( 2)1 = 5.答案：57 .從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設(shè)其中有X個紅球，則 隨機變量X的分布列為解析:P(X=0)=C1=0.1,P(X=1) =612 cC3P(X=2) = &=0.3.X012P答案

27、：0.1 0.6 0.38 .已知某次英語考試的成績 X服從正態(tài)分布N(116,64),則10 000名考生中成 績在140分以上的人數(shù)為.解析：由已知得尸116,戶8.P(92<X< 140)= P(四3(K X0 什 33 = 0.997 4,1. P(X> 140)= 2(10.997 4)=0.001 3,成績在140分以上的人數(shù)為13.答案：139 .甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從 6道備選 題中一次性抽取3道題獨立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對其中2題就 停止答題，即闖關(guān)成功.已知在6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對 一，

28、一 一 2每道題的概率都是2. 3(1)求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；設(shè)甲答對題目的個數(shù)為 己，求己的分布列. -1 _2 一 CztCo 41解：(1)設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件 A, B,則P( A ) = = =y C620 52 3 7/2 2 21127p(b)N3 尸沌一3 %”27+ 9=方則甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率是1 P( AB) = 1 P(A)P(B) = 1 5x277= 135由題意知己的可能取值是1,2.c4c2 1 Cd 4P(± 1)= c6 =5, P(±2)=C=5,則己的分布列為12P154510.盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中

29、2個紅色球，3個白色球，4個黑色球.規(guī)定 取出1個紅色球得1分，取出一個白色球得0分，取出1個黑色球得1分.現(xiàn) 從盒內(nèi)任取3個球.(1)求取出的3個球中至少有一個紅球的概率；(2)求取出的3個球得分之和恰好為1分的概率；設(shè)己為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求 己的分布列.C3 7解：(1)p=1-d=心 記”取出1個紅色球，2個白色球”為事件B, “取出2個紅色球，1個黑色1 _22 1C2c3 C2 c45球 為事件 c,則 p(B+c) = p(B)+p(c)=-C-+-c3-=42.(3)己可能的取值為0,1,2,3,士服從超幾何分布,c3c6-kP(土k)=-C3-k= 0,1,2,3.

30、C35，、C3c6 15故P(土0)=企=21，P(3 1)=育=25；dc63c、C31P(上 2)=育=五，"3)=濤54己的分布列為：0123P5211528314184B組能力突破1 .某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度1函數(shù)為如。戶許一(xC R)，則下列命題中不正確的是()A .該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?80分B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為10解析：選B.由密度函數(shù)知，均值(期望)產(chǎn)80,標(biāo)準(zhǔn)差 戶10,又正態(tài)曲線關(guān)于直

31、線乂= 80對稱，故分?jǐn)?shù)在100分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同，所以B是錯誤的.2 .已知 XN(山(2)時，P(廠 o< X< 葉 4 = 0.682 6, P(四一2 V X< 葉 2 3= 0.95414, P(四一3 o<X< 葉34 = 0.997 4,則 fS1=edx=()3 N2九A. 0.043B. 0.021 5C. 0.341 3D. 0.477 21解析：選 B.由題意知，尸 1,戶 1,P(3<X<4) = 2X P(-2<X<4)-P(- 1<X<3)1= 2X(0.997 4-0.954 4) = 0.021 5故選 B.3.已知隨機變量 己服從正態(tài)分布N(2,9),若P(E>3)=a