第十三屆全國中學生物理競賽預賽試題(無答案)

1、圖復13 - 1第十三屆全國中學生物理競賽復賽試題全卷共六題，總分為140分。一、（20）如圖復13 - 1所示，有 一勻質細導線彎成的半徑為a的圓線圈 和一內接等邊三角形的電阻絲組成的電 路（電路中各段的電阻值見圖）。在圓線 圈平面內有垂直紙面向里的均勻磁場， 磁感應強度B隨時間t均勻減小，其變化率的大小為一已知常量ko已知2r1=32。試求圖中A、B兩點的電勢差Ua-Ub。二、（20分）長度為4毫米的物體AB由圖復13 - 2所示的光學系統(tǒng)成像。光 學系統(tǒng)由一個直角棱鏡、一個會聚透鏡和一個發(fā)散透鏡組成，各有關參數(shù)和幾何尺 寸均標示于圖上。求（1）像的位置；（2）像的大小，并作圖說明是實像還

2、是虛像，是正立還是倒立的。圖復13 - 2圖復13 - 3三、（25分）如圖復13 - 3 所示，四個質量均為m的質點， 用同樣長度且不可伸長的輕繩 聯(lián)結成菱形ABCD靜止放在水 平光滑的桌面上。若突然給質點 A 一個歷時極短沿CA方向的沖 擊，當沖擊結束的時刻，質點A 的速度為V,其它質點也獲得定速度,BAD = 2 a （ a <兀/4 ）。求此質點系統(tǒng)受沖擊后所具有的總動量和總能里。四、（25分）在一個半徑為R的導體球外，有一個半徑為r的細圓環(huán)，圓環(huán)的 圓心與導體球心的連線長為 a （a >R）,且與環(huán)面垂直，如圖復13 - 4 所示。已知 環(huán)上均勻帶電，總電量為q ,試問：

3、1、當導體球接地時，球上感應電荷總電量是多少？2、當導體球不接地而所帶總電量為零時，它的電勢如何？3、當導體球的電勢為V。時，球上總電荷又是多少？4、情況3與情況1相比, 圓環(huán)受導體球的作用力改變 量的大小和方向如何？5、情況2與情況1相比, 圓環(huán)受導體球的作用力改變 量的大小和方向如何？注已知：裝置不變 時，不同的靜電平衡帶電狀態(tài)可以疊加，疊加后仍為靜電平衡狀態(tài)。五、有一個用伸縮性極小且不漏氣的布料制作的氣球（布的質量可忽略不計） ，直徑為d = 2.0米。球內充有壓強p0 =1.005 x 105帕的氣體。該布料所能承受的最大不被撕破力為fm = 8.5X103牛頓/米（即對于一塊展平的1

4、米寬的布料，沿布面而垂直于布料寬度方向所施加的力超過8.5X103牛頓時，布料將被撕破）。開始時，氣球被置于地面上，該處的大氣壓強為pa0=1.000 X 105帕，溫度T0= 293開。假設空氣的壓強和溫度均隨高度而線性地變化 ，壓強的變化為 p= - 9.0 帕/米， 溫度的變化為 T= - 3.0X 10 3開/米，問該氣球上升到多高時將破裂？假設氣球上升很緩慢，可認為球內溫度隨時與周圍空氣的溫度保持一致。在考慮氣球破裂時，可忽略氣球周圍各處和底部之間空氣壓強的差別。六、有七個外形完全一樣的電阻，已知其中六個的阻值相同，另一個的阻值不同。請按照下面提供的器材和操作限制，將那個阻值不同的電

5、阻找出，并指出它的阻值是偏大還是偏小，同時要求畫出所用電路圖，并對每步判斷的根據(jù)予以論證。提供的器材有：電池。一個僅能用來判斷電流方向的電流表（量程足夠），它的零刻度在刻度盤的中央，而且已知當指針向右偏時電流是由哪個接線柱流入電流表的。導線若干。操作限制：全部過程中電流表的使用不得超過三次。第十三屆全國物理競賽復賽試題解答一、在各段電路上，感應電流的大小和方向如圖復解 13 - 1所示電流的分布, 已考慮到電路的對稱性，根據(jù)法拉第電磁感應定律和歐姆定律，對半徑為a的圓電 路，可得2九 a k = 2 r1 I1 + r1 I1對等邊三角形三個邊組成的電路，可得3.3 a2 k / 4 = 2

6、b I2+ 2 r2 I2對由弦AB和弧AB構成的回路，可得(冗 a2 -3 v3 a2 / 4 ) k / 3 = r1 I1 -r2 I2考慮到，流進B點的電流之和等于流出B點電 流之和，有I 1 + I 2 = I1 + I 2由含源電路歐姆定律可得2U a - U b = tc a k /3 - I11由以上各式及題給出的2= 21 / 3可解得Ua- Ub = -,3 a2k / 32、解法一：1、分析和等效處理根據(jù)棱鏡玻璃的折射率，棱鏡斜面上的全反射臨界角為c= arcsin ( 1 / n )注意到物長為4mm由光路可估算，進入棱鏡的近軸光線在斜面上的入射角大多在45左右，大于

7、臨界角，發(fā)生全反射。所圖復解13 - 2 - 1以對這些光線而看，棱鏡斜面可看成是反射鏡。本題光路可按反射鏡成像的考慮方法，把光路“拉直”如圖復解13 - 2 - 1 所示。現(xiàn)在,問題轉化為正立物體經過一塊垂直于光軸、玻璃板及其后的會聚透鏡、厚度為6cm的平發(fā)散透鏡成像的問題。2、求像的位置；厚平玻璃板將使物的近軸光線產生一個向右側移動一定距離的像，它成為光學系統(tǒng)后面部分光路的物，故可稱為側移的物。利用沿光軸的光線和 與光軸成a角的光線來討論就可求出這個移動的距離。設軸上的物點為Bo由于厚平玻璃板的作用（即側移的物點）為 B'(ctg a13 - 2 - 2 所示）。畫出厚平玻璃板對光

8、線的折射，由圖可知 Al = d(tg a - tg B )所以A l = D (1 - tg a / tg B)當a為小角度時tgsin B / sin a = 1/n故得A l = D (1 1 / n )= 2 cm這也就是物AB與它通過厚玻璃板所成的像之間的距離。這個像對透鏡L1來說就是物，而物距U1(6 - 2 ) + 6 + 10 cm = 20 cm可見，物正好在L1的左方焦平面上，像距即為再考慮透鏡L 2 ,這是平行光線入射情形，uOO 。f2 = - 10 cm圖復解13 - 2 - 3圖復解13 - 2 - 4所以必須成像于這個發(fā)散透鏡L2左側的焦平面上（虛像）V2 整個光

9、路的最后成像位置就是在L2的左側10 cm處。3、求像的大小和虛、實、正、倒情況：可用作圖法求解，如圖復解 13-2 - 3所示（為了圖示清楚圖中把物高加大了）。連接A O1并延長，便得到發(fā)自A的光線經Li后的平行光線的方向。過L2的光心。2作A Oi的平行線，它與Li交于C點，則A C即為從A發(fā)出經過Li折射后又通過L2光心 的光線。反向延長CO2與L2左側焦平面的交點A就是A由L1與L2所成的像點。令L2左側焦面與光軸的交點為B。A B就是AB的像，這是一個正立的虛像。由圖可得a b = f2 tg 丫A B = f1 tg 丫而AB與AB等高，所以像的大小為A""B&

10、quot; =（ f2 / f1 ）A B = 2 mm解法二：關于物體 AB經棱鏡（折射， 反射，折射）后，所成像的位置及大小可采 用視深法處理。如圖復解13 - 2 - 4所示， AB發(fā)出的、與PQ面近乎垂直白小光束經PQ 面折射后成像于A1B1這是視深問題。A1、B1 與PQ面的距離均為A B與PQ面的距離的n倍，即CiBi = n CiB AiBiAB （像與物的大小相同）AiBi經PR面的反射成像于A2B2,大小不變，且C2B2 C2BiC2CiCiBiCiP nCiBA2B2經QF®后折射成像于AB，大小不變，且C3B = (C3B2 /n (C3C2 CzB2)/n (

11、CiQC1P nC1B1)/n (PQ C1B)/n=(6 / i. 5 + 6)cm = i0 cm由此即可求出這個像AB作為透鏡Li的物的物距，其它部分的求解同解法（一）三、由對稱性可知，C點的速度也必沿CA方向，設其大小為vco D的速度可以分解為平行于v和垂直于v的分速度，其大小分別設為V Di 和 v D 2 °同樣，B的速度也類似地分解為平行和垂直于V的二個分速度，其大小設為VBi和VB2 ,如圖復解i3 - 3所示，根據(jù)對稱性，必有V Bi VDiVB2 V D2圖復解i3 - 3由于繩子不可伸長，A沿DA的分速度和D沿DA的分速度一定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的

12、分速度也相等，即v cosv Di cos v D2 sinVc cosVdi cos Vd2 sin另一方面，設繩子AD給質點D的沖量的大小為Ii,純子DC給質點C沖量大小為12。注意到純子DC給質點D的沖量的大小同樣也是I2 （各沖量的方向均沿繩子方 向）。由對稱性還可以判定，繩子 AB給質點B的沖量的大小也是Ii ,純子BC給質點B和C的沖量的大小都是I2,根據(jù)動量定理，可分別列出關于質點D平行和垂直于v的方向以及質點C平行于v方向的關系式如下:mvD1mvD2 mvc11 cosI 2 cosI1 sin12 sin由(3) 式可解出本題所需的V D1 和 Vd2、VcV D1V D2

13、v/(1 2sin2 )Vcv sin 2vcos 22/(1 2sin/(1 2sin 2據(jù)此結果和（1）、式,此系統(tǒng)的總動量為P mv2mv D1 mvC 一 .2、4mv/(1 2sin )方向沿CA方向。212 cos此系統(tǒng)的總動能為E Ea EbEc Ed222v 2v D1 2v D22-2 ._ .2v c 2mv / 1 2sin四、1、見圖復解13-4o導體是一個等勢體，所以導體球接地（V球=0 ）時，對于球心點有V球心(1)另一方面，可以直接計算球心點的電勢。因為所有感應電荷都分布在球面上，它們到球心的距離都是R,而圓環(huán)上電荷到球心的距離都是Jr2 a2 ,所以V球心=K

14、q感 / R + Kq /dr2式中q感就是要求的感應電荷總量由（1）、（2）兩式即得q 感=- Rq / v,r2 a2(3)2、導體球不接地時，其電勢可通過對球心的電勢計算而求得：球二V球心=Kq面 / R + K q Jr2 a2(4)式中q面表示分布在球面上所有電荷的代數(shù)和，而導體球體內是不會有電荷分布的 由于題給導體球為電中性，即q面=0,所以由(4)式得V球=K q面 /# a2(5)3、導體球的電勢為Vo時，再以球心點考慮：V球心=V球=Vo(6)而另一方面，球心的電勢是球面上電荷和圓環(huán)上電荷分別產生的電勢的迭加：V 球心二 Kq 面 / R + K q d2 a2(7)導體球的

15、總電荷就是球面上的電荷總量，由(6)、(7)兩式解得q 總=q 面=RVo/ K - Rq Jr2 a2(8)4、對比(8)式和(3)式可知，情況3比情況1只是在導體球上多了電荷 RVo/K,而導體球的電勢相應地由零變?yōu)?V?？梢栽O想從情況1出發(fā)，把導體球與地斷開而維持原來的q感大小及分布不變，再把電荷 RVo/ K均勻地加到球面上，正是它使球的電勢變?yōu)閂o,即成為情況3。對于球外的圓環(huán)來說，這些加上的電荷對它的 作用力相當于集中在球心處的等量點電荷對它的作用力，這也就是圓環(huán)受到的作用 力。由于圓環(huán)上的電荷均勻發(fā)布，對圓環(huán)中心到球心的連線具有軸對稱性，把圓環(huán) 上各線元電荷受到上述等效點電荷的作

16、用力沿二心連線方向的分量相加，就是圓環(huán) 多受到的作用力。所以，其方向是沿二心向外(圖中向右)。大小是(9)(RVo /K)q aRaqVo2222/ 22 . 3/2r a . r2 a2(r a )5、可直接應用情況4的結果，只是現(xiàn)在把（9）式中的V。用情況2中的V球值, 即將（5）式代入即可。所以，情況2比情況1圓環(huán)多受的力方向仍為沿二心連線向2K RaqK 22 2(r a )外（圖中向右），大小是Raq Kq7-22 3/222(r a) r2 a2五、當氣球充滿氣體而球內壓強大于球外時，布料即被繃緊，布料各部分之間 產生張力，正是這種張力可能使布料被撕裂。設想把氣球分成上下兩個半球，

17、它們 的交線是一個直徑為d的圓周，周長為九d,所以要從這條交線處撕破氣球，至少需 要的張力為fm d,另一方面，考慮上半球（包括半球內的氣體）受力的情況，它受 到三個力作用：1、下半球的球面布料所施加的張力 F;2、上半球外空氣對它的壓力的合力，其大小為d2Pa/4, Pa是氣球所在高度處的大氣壓強；3、下半球內氣體對它的壓力為 d2p/4,式中P為氣球內氣體的壓強。忽略浮力 時，上述三力相互平衡，即d 2p/4 = d2pa/4 + F而當F >% d時，布料即被撕裂，所以，氣球破裂的條件是d2PPa/4>fmd（1）設氣球破裂發(fā)生在高度h處，則Pa Pa0 Phi（2）而該處溫

18、度T To 油(3)這個溫度也就是破裂時氣球內氣體的溫度。又因為氣球在上升過程中球內氣體是等容變化，所以有Po/ToP = PoT/To(4)(2)、(4)和(3)式代入(1)式，得h (4fm/d) (Po pa012.1 103m(P0/T0) Tp即所球上升到2.1 103 m高度以上就將破裂。六.判斷所用電路如圖復解 13-6。a、b、c、d為四個電阻。P、Q間可 接電流計，由電流計中電流I的方向可判斷出P、Q兩點中哪一點的電勢較高?？赡?出現(xiàn)下列三種情況:. p _圖復解13 - 61、I = 0 ,這表示四個電阻的阻值相等。2、I從P到Q,這表示P點電勢較高，a、b、 c、d中有一電阻偏大或偏小。有下列四種可能： b 偏大；c偏大；a偏小；d偏小。3、I從Q到P,這表示P點電勢較低，有四種可 能；a偏大；d偏大；b偏??；c偏小。應采取的實驗步驟和判斷：設 7個電阻為、，阻值c、d位置，這時可有以下三相同的稱為正常電阻，阻值不同的那個為特異電阻。第一次測量：將、分別接入 a、b種情況：情況A: I向下，則有四種可能：大；大；??；小情況B: I向上，則有四種可能：大；大；??；小情況A和情況B中，其余三個電阻、均正常情況E: I = 0 ,這時，、正常，特異電阻在、中第二次測量：若情況A或情況B成立，進行第二次測量時將、對調，即將 、分別接入a、b、