第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)分析

1、第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列1.進(jìn)一步了解等差數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的規(guī)律2.理解等差數(shù)列的性質(zhì)3.掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用.第二章第二章 數(shù)列數(shù)列1.對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的考查是本課的熱點(diǎn)2.本課時(shí)內(nèi)容常與解析幾何、不等式結(jié)合命題3.多以選擇題、解答題的形式命題.第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列1等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第 項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于 常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ，通常用字母 表示2等差中項(xiàng)如果 ，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a

2、na1(n1)d，nN*.2同一公差da，A，b成等差數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列等差數(shù)列的常用性質(zhì)性質(zhì)1通項(xiàng)公式的推廣：anam (n，mN*)性質(zhì)2若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman性質(zhì)3若an是等差數(shù)列，則2anan1an1 a1ana2an1a3an2性質(zhì)4若an，bn分別是以d1，d2為公差的等差數(shù)列，則panqbn是以pd1qd2為公差的等差數(shù)列性質(zhì)5若an是等差數(shù)列，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)組成公差為 的等差數(shù)列(nm)dmd第二章第二章 數(shù)列數(shù)列1在等差數(shù)列an中，a1a910，則a5的值為()A5 B6C8 D10解析：a1a

3、92a5a55答案：A第二章第二章 數(shù)列數(shù)列解析：由題意知a4a5a2a7a215123，故選A.答案：A第二章第二章 數(shù)列數(shù)列3設(shè)數(shù)列an、bn都是等差數(shù)列，且a125，b175，a2b2100，則a37b37等于_解析：設(shè)cnanbn，則數(shù)列cn為等差數(shù)列c1a1b1100，c2a2b2100，cn100，c37a37b37100.答案：100第二章第二章 數(shù)列數(shù)列4已知等差數(shù)列an中，a2a6a101，求a3a9.第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列由題目可獲取以下主要信息：37462528.a3a7a4a62a5a2a8.解答本題可用

4、等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)于(2)也可以用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式第二章第二章 數(shù)列數(shù)列解題過(guò)程(1)因?yàn)閍3a7a4a62a5，所以a3a7a4a6a55a5，所以5a5450，所以a590.又因?yàn)閍2a82a5，所以a2a8180.(2)方法一：因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數(shù)列，其公差為d，a15為首項(xiàng)，則a60為其第四項(xiàng)，所以a60a153d，得d4.所以a75a60da7524.第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列題后感悟等差數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì)若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則(1)an去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公差為d的等差數(shù)列；(2)奇數(shù)項(xiàng)數(shù)

5、列a2n1是公差為2d的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列a2n是公差為2d的等差數(shù)列；(3)若kn成等差數(shù)列，則akn也是等差數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列1.已知等差數(shù)列an中，(1)a2a8a141，求a3a13；(2)已知a2a3a23a2448，求a13；(3)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d.第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列 (1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，和為6，積為24，求這三個(gè)數(shù)；(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為8，求這四個(gè)數(shù)第二章第二章 數(shù)列數(shù)列由題目可獲取以下主要信息：根據(jù)三個(gè)數(shù)的和為6，成等差數(shù)列，可設(shè)這三個(gè)數(shù)為ad，

6、a，ad(d為公差)；四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，且中間兩數(shù)的和已知，可設(shè)為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)解答本題也可以設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，建立基本量的方程組求解第二章第二章 數(shù)列數(shù)列規(guī)范作答(1)方法一：設(shè)等差數(shù)列的等差中項(xiàng)為a，公差為d，則這三個(gè)數(shù)分別為ad，a，ad，2分依題意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24，化簡(jiǎn)得d216，于是d4，4分故這三個(gè)數(shù)為2,2,6或6,2，2.6分第二章第二章 數(shù)列數(shù)列方法二：設(shè)首項(xiàng)為a，公差為d，這三個(gè)數(shù)分別為a，ad，a2d，2分依題意，3a3d6且a(ad)(a2d)24，所以a2d，代入a(ad)(a

7、2d)24，得2(2d)(2d)24,4d212，即d216，于是d4，4分這三個(gè)數(shù)為2,2,6或6,2，2.6分第二章第二章 數(shù)列數(shù)列(2)方法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)，8分依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.10分又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，d1，故所求的四個(gè)數(shù)為2,0,2,4.12分第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，所以d2，故所求的四個(gè)數(shù)為2,0,2,4.12分題后感悟利用等差數(shù)列的定義巧設(shè)未知量，從而簡(jiǎn)化計(jì)算一般地有如下規(guī)律：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列an的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)

8、，可設(shè)中間一項(xiàng)為a，再用公差為d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：，a2d，ad，a，ad，a2d，；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為ad，ad，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：，a3d，ad，ad，a3d，這樣可減少計(jì)算量第二章第二章 數(shù)列數(shù)列2.已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，求這個(gè)等差數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列 某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年可獲利200萬(wàn)元從第2年起，由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，其利潤(rùn)每年比上一年減少20萬(wàn)元，按照這一規(guī)律，如果公司不開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從第幾年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將會(huì)出現(xiàn)虧損？第二章第二章 數(shù)列數(shù)列由題設(shè)可知第1年獲利200萬(wàn)元，

9、第2年獲利180萬(wàn)元，第3年獲利160萬(wàn)元，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an，且當(dāng)an0時(shí)，該公司將會(huì)出現(xiàn)虧損第二章第二章 數(shù)列數(shù)列解題過(guò)程設(shè)第n年的利潤(rùn)為an萬(wàn)元，則a1200，anan120，n2，nN*，所以每年的利潤(rùn)an可構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為200，公差為20的等差數(shù)列an，從而an22020n.若an0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將會(huì)出現(xiàn)虧損，令an22020n11.又nN*，所以n12.故從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將會(huì)出現(xiàn)虧損第二章第二章 數(shù)列數(shù)列題后感悟本例中由于公差小于零，所以該數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列想一想，如果規(guī)定當(dāng)該產(chǎn)品的利潤(rùn)降到50萬(wàn)元以下時(shí)就放棄經(jīng)銷此產(chǎn)品，那么該公司應(yīng)從第幾年起放棄經(jīng)銷此

10、產(chǎn)品？(1)在實(shí)際問(wèn)題中，若涉及到一組與順序有關(guān)的數(shù)的問(wèn)題，可考慮利用數(shù)列方法解決，若這組數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決(2)在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問(wèn)題第二章第二章 數(shù)列數(shù)列3.有一批影碟機(jī)原銷售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家商場(chǎng)均有銷售甲商場(chǎng)用如下方法促銷：買一臺(tái)單價(jià)為780元，買兩臺(tái)單價(jià)為760元，依次類推，每多買一臺(tái)則所買各臺(tái)單價(jià)均減少20元，但每臺(tái)最低價(jià)不能低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75%銷售某單位需購(gòu)買一批此類影碟機(jī)，問(wèn)去哪一家商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少？第二章第二章 數(shù)列數(shù)列解析：設(shè)某單位需購(gòu)買影碟機(jī)n臺(tái)，在甲商場(chǎng)購(gòu)買每臺(tái)售價(jià)不

11、低于440元時(shí)，售價(jià)與臺(tái)數(shù)n成等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為an，an780(n1)(20)80020n，解不等式an440，即80020n440，得n18，當(dāng)購(gòu)買臺(tái)數(shù)小于18時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為(80020n)元，當(dāng)臺(tái)數(shù)大于或等于18時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為440元到乙商場(chǎng)購(gòu)買，每臺(tái)售價(jià)為80075%600元，作差：(80020n)n600n20n(10n)，所以，當(dāng)n10時(shí)，600n(80020n)n；第二章第二章 數(shù)列數(shù)列當(dāng)n10時(shí)，600n(80020n)n；當(dāng)10n18時(shí)，(80020n)n600n；當(dāng)n18時(shí)，440n600n.所以當(dāng)購(gòu)買臺(tái)數(shù)少于10臺(tái)時(shí)，到乙商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少；當(dāng)購(gòu)買10臺(tái)時(shí)，到兩商場(chǎng)購(gòu)買花

12、費(fèi)相同；當(dāng)購(gòu)買多于10臺(tái)時(shí)，到甲商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少第二章第二章 數(shù)列數(shù)列1等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣由等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana1(n1)d，容易得到anam(nm)d，這可以看作等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣公式事實(shí)上，am(nm)da1(m1)d(nm)da1(n1)dan.第二章第二章 數(shù)列數(shù)列2等差數(shù)列的“子數(shù)列”(1)在公差為d的等差數(shù)列an中，可以有規(guī)律的選擇出某些項(xiàng)，使它們組成新的等差數(shù)列，如數(shù)列a2n，a2n1，anan1，anan1，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，等都是等差數(shù)列，公差分別為2d,2d,2d,0,9d.(2)若an、bn為等差數(shù)列，則ank、kan(k0)、anbn仍為等差數(shù)列，公差分別為d，kd，d1d2.第二章第二章 數(shù)列數(shù)列第二章第二章 數(shù)列數(shù)列已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn，且an為2,5,8，bn為1,5,9，它們的項(xiàng)數(shù)均為40項(xiàng)，則它們有多少個(gè)彼此具有相同數(shù)值的項(xiàng)？【錯(cuò)解】由已知兩等差數(shù)列的前三項(xiàng)，容易