常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)【目的要求】 1、能區(qū)分無(wú)窮項(xiàng)相加與有限項(xiàng)相加的區(qū)別； 2、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)部分和與級(jí)數(shù)收斂及發(fā)散的關(guān)系、和的定義； 3、掌握用部分和的極限、收斂級(jí)數(shù)的必要條件來(lái)判別級(jí)數(shù)的斂散性 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 【教學(xué)內(nèi)容】 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 定義1.1 給定一個(gè)無(wú)窮實(shí)數(shù)列：則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式叫做常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù), 簡(jiǎn)稱(chēng)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 記為, 即,其中第項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)(或通項(xiàng)). 級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和. 部分和構(gòu)成的數(shù)列稱(chēng)為部分和數(shù)列. 定義 1.2 如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂, 即, (為一實(shí)數(shù))則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)收

2、斂, 并稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和, 并寫(xiě)成;如果發(fā)散, 則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散. 級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散統(tǒng)稱(chēng)為斂散性. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其部分和是級(jí)數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差稱(chēng)為級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 和之間的誤差可由去衡量, 由于, 所以 例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù)), ()的斂散性. 解 如果, 則部分和. 當(dāng)時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)時(shí), 因?yàn)椴淮嬖? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 如果, 則當(dāng)時(shí), 因?yàn)椴淮嬖? 因此此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 因?yàn)椴淮嬖? 因此此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 綜上所述, 如果, 則級(jí)數(shù)收斂, 其和為; 如果, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 例2 證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 此級(jí)數(shù)的部分和為.顯然

3、, , 因此該級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù) 的收斂性. 解 部分和,由于 從而,所以該級(jí)數(shù)收斂, 其和是1. 以上幾個(gè)例題, 都是先將部分和的表達(dá)式算出, 然后討論是否存在, 從而判斷級(jí)數(shù)的斂散性. 然而對(duì)絕大多數(shù)級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō), 的表達(dá)式難以計(jì)算, 而且實(shí)際問(wèn)題中往往只需知道一個(gè)級(jí)數(shù)是收斂還是發(fā)散, 并不奢望對(duì)每個(gè)級(jí)數(shù)都求出其和, 因此我們有必要研究某些直接從一般項(xiàng)的形式就可以判斷斂散性的簡(jiǎn)明法則. 為此, 先對(duì)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)展開(kāi)一些討論. 二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì) 1 如果級(jí)數(shù)收斂于和, 為任意常數(shù), 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為. 證 設(shè)與的部分和分別為sn與sn, 則 . 所以級(jí)數(shù)收斂,

4、 且和為. 性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)、分別收斂于和、, 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為. 證 設(shè)、的部分和分別為sn、sn、tn, 則 .所以級(jí)數(shù)收斂, 且和為. 性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性. 比如, 級(jí)數(shù)是收斂的, 級(jí)數(shù)也是收斂的, 級(jí)數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 設(shè)級(jí)數(shù)收斂, 其和為, 則保持級(jí)數(shù)原有順序?qū)ζ淙我饧永ㄌ?hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂, 且其和不變. 注意 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂, 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂. 例如, 級(jí)數(shù)收斂于, 但級(jí)數(shù)卻是發(fā)散的. 推論 如果保持原有順序添加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 性質(zhì)5(級(jí)數(shù)收斂的必要條件) 如果收斂

5、, 則它的一般項(xiàng) 趨于零, 即. 證 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為, 且, 則 . 注意 性質(zhì)5只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件, 而不是充分條件, 即一般項(xiàng)趨于零的級(jí)數(shù)不一定收斂. 但可以用性質(zhì)5的逆否命題來(lái)判斷一個(gè)級(jí)數(shù)的發(fā)散. 推論 若，則級(jí)數(shù)發(fā)散. 由此結(jié)論, 我們馬上可知下列級(jí)數(shù):, , , 是發(fā)散的. 應(yīng)當(dāng)注意, 盡管有些級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨向于零, 但仍是發(fā)散的. 例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散的. 證 假若級(jí)數(shù)收斂且其和為, 是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)必定發(fā)散. §2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法【目的要求】 1、理解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義、性質(zhì)、收斂的充分必要條

6、件； 2、掌握三種判別法使用區(qū)別 3、了解絕對(duì)收斂與條件收斂等概念； 4、熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的判別法； 5、熟練掌握絕對(duì)收斂與條件收斂的判別法 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的特有性質(zhì)及判別法 區(qū)分絕對(duì)收斂與條件收斂【教學(xué)內(nèi)容】 一般的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 它的各項(xiàng)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者零. 現(xiàn)在我們先討論各項(xiàng)都是非負(fù)的級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù). 這種級(jí)數(shù)特別重要, 以后將看到許多級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題可歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題. 一、 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 定義 2.1 若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)均非負(fù), 即, 則稱(chēng)該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 設(shè)級(jí)數(shù) (1)是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), 它的部分和為. 顯然, 數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列. 如果數(shù)列有界, 根據(jù)單

7、調(diào)有界的數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則, 級(jí)數(shù)(1)必收斂于. 反之, 如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)收斂于, 即, 根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知, 數(shù)列有界. 因此, 我們得到如下重要的結(jié)論. 定理2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界. 由定理2.1 可知, 如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則它的部分和數(shù)列(), 即 由此, 可得關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)基本的審斂法. 定理 2.2 (比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 (). 若級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; 反之, 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 證 設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和, 則級(jí)數(shù)的部分和 即部分和數(shù)列有界, 由定理2.1 知級(jí)數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)必

8、發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù)收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級(jí)數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果級(jí)數(shù)收斂, 且存在自然數(shù), 使當(dāng)時(shí), 有 ()成立, 則級(jí)數(shù)收斂; 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)時(shí), 有 ()成立, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級(jí)數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù). 解 設(shè). 這時(shí), 而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 設(shè), 且時(shí). 有 (). 對(duì)于級(jí)數(shù), 其部分和 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論可知, 級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂. 綜上所述, -級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂, 當(dāng)時(shí)發(fā)散. 例2 證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)

9、散的. 定理 2.3 (比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), , 且, 則 (1) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散; (2) 當(dāng)時(shí), 若級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. (3) 當(dāng)時(shí), 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散; 若收斂, 則收斂. 例3 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 例4 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)收斂. 定理 2.4 (比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 對(duì)任意, 有, 則 (1) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂; (2) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散; (3) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)可

10、能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 例6 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 例7 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 . 這時(shí), 比值審斂法失效, 必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理 2.5 (根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 , 則 (1) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂; (2) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散; (3) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級(jí)數(shù)是收斂的, 并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和近似代替和所產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)

11、數(shù)收斂. 以這級(jí)數(shù)的部分和近似代替和所產(chǎn)生的誤差為 + . 例9 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理 2.6 (極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1) 當(dāng)時(shí), 則級(jí)數(shù)發(fā)散; (2) 當(dāng), 而時(shí), 則級(jí)數(shù)收斂. 例10 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 例11 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理 2.7 (積分審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 是上的單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù), 且對(duì)任意自然數(shù)有,則級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是廣義積分收斂. 例12 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 設(shè),在此定義區(qū)間中,

12、單調(diào)遞減連續(xù), 且,由于,即廣義積分發(fā)散, 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散. 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 定義 2.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)依次正負(fù)相間, 就稱(chēng)該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù). 它的一般形式如下:, 其中.例如, 是交錯(cuò)級(jí)數(shù), 但不是交錯(cuò)級(jí)數(shù). 下面給出關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一個(gè)審斂法. 定理 2.8 (萊布尼茨定理) 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件: (1) , (); (2) ,則級(jí)數(shù)收斂, 且其和, 其余項(xiàng)滿(mǎn)足. 例13 證明級(jí)數(shù)收斂, 并估計(jì)其和及余項(xiàng). 證 這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù). 而且該級(jí)數(shù)滿(mǎn)足 (1) (), (2), 由萊布尼茨定理, 該級(jí)數(shù)是收斂的, 且其和s<u1=1, 余項(xiàng). 三、絕對(duì)收斂與條件收斂 現(xiàn)在我們討

13、論一般的級(jí)數(shù),它的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù). 定義 2.3 若級(jí)數(shù)各項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂, 則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; 若級(jí)數(shù)收斂, 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱(chēng)級(jí)條件收斂. 例14 級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的, 而級(jí)數(shù)是條件收斂的. 定理 2.9 如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 則級(jí)數(shù)必定收斂. 注意 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級(jí)數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級(jí)數(shù)必定發(fā)散. 這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 例15 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)閨, 而級(jí)數(shù)是收斂的, 所以級(jí)數(shù)收斂, 從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 例16 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 由,

14、有, 可知, 因此級(jí)數(shù)發(fā)散. §3 冪級(jí)數(shù)【目的要求】 1、了解冪級(jí)數(shù)的基本概念；收斂域的定義； 2、理解 Abel 定理、會(huì)求（缺項(xiàng)與不缺項(xiàng)）冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 缺項(xiàng)與不缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法 【教學(xué)內(nèi)容】 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 前面討論的是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 它的每一項(xiàng)都是常數(shù), 當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是在某一區(qū)間上的函數(shù)時(shí), 就稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 即 其中, 是定義在區(qū)間上的函數(shù). 定義 3.1 對(duì)于區(qū)間內(nèi)的一定點(diǎn), 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 則稱(chēng)點(diǎn)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn); 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱(chēng)點(diǎn)是級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為它的收斂域, 所有發(fā)散點(diǎn)的

15、全體稱(chēng)為它的發(fā)散域. 定義 3.2 在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域上, 其和是關(guān)于的函數(shù), 把稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù), 并寫(xiě)成. 定義 3.3 把函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)的部分和記作, 即.在收斂域上有. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)與部分和的差叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域上有. 例如, 冪級(jí)數(shù)可以看成是公比為的幾何級(jí)數(shù). 當(dāng)時(shí), 該級(jí)數(shù)是收斂的; 當(dāng)時(shí), 該級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 因此, 該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 在收斂域內(nèi)有和函數(shù). 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂域 我們不討論一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 而是就為的情形, 即下面要定義的冪級(jí)數(shù)來(lái)展開(kāi)討論. 冪級(jí)數(shù)在函數(shù)逼近理論及數(shù)值計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用. 定義 3.4 形如 (1)的級(jí)數(shù)

16、稱(chēng)為的冪級(jí)數(shù), 其中為常數(shù), 均為實(shí)常數(shù), 稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù). 注意 當(dāng)時(shí), 冪級(jí)數(shù)的一般形式(1)就稱(chēng)為 , (2)式(2)稱(chēng)為的冪級(jí)數(shù). 因?yàn)橹灰? 就可把式(1)化為式(2), 所以不失一般性, 我們討論冪級(jí)數(shù)(2)的收斂性問(wèn)題. 定理 3.1 (阿貝爾定理) 若冪級(jí)數(shù)在處收斂, 則對(duì)滿(mǎn)足不等式的任何, 該冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 反之, 若冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散, 則對(duì)滿(mǎn)足不等式的任何, 該冪級(jí)數(shù)發(fā)散. 定理 3.1 告訴我們, 如果冪級(jí)數(shù)在處收斂, 則它在開(kāi)區(qū)間內(nèi)都收斂, 且絕對(duì)收斂; 如果冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散, 則它在區(qū)間和上都發(fā)散. 這表明, 冪級(jí)數(shù)在收斂域中除了零點(diǎn)外, 還有非零的收斂點(diǎn)時(shí),發(fā)散點(diǎn)

17、不可能處在零點(diǎn)和非零收斂點(diǎn)之間. 也就是說(shuō), 冪級(jí)數(shù)的收斂域一定是個(gè)包含的連續(xù)區(qū)間, 且除了端點(diǎn)之外, 這個(gè)區(qū)間是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的. 從而, 我們得到如下重要的推論: 推論 如果冪級(jí)數(shù)不是僅在點(diǎn)一點(diǎn)收斂, 也不是在上都收斂, 則必存在一個(gè)完全確定的正數(shù), 使得 (1) 當(dāng)時(shí), 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; (2) 當(dāng)時(shí), 冪級(jí)數(shù)發(fā)散; (3) 當(dāng)時(shí), 冪級(jí)數(shù)可能收斂, 也可能發(fā)散. 正數(shù)通常叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 開(kāi)區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級(jí)數(shù)在處的斂散性就可以決定它的收斂域. 冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? , , 四種形式之一. 注意 若冪級(jí)數(shù)僅在處收斂, 此時(shí)收斂域中只有一點(diǎn), 規(guī)定此時(shí)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

18、, 若冪級(jí)數(shù)對(duì)一切都收斂, 則規(guī)定收斂半徑, 收斂域?yàn)? 關(guān)于冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法, 有如下定理: 定理 3.2 如果冪級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)滿(mǎn)足,則該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . 證 考察冪級(jí)數(shù)的各項(xiàng)絕對(duì)值所構(gòu)成的級(jí)數(shù) , 因?yàn)?所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值審斂法, 可知 (1) 若, 則當(dāng)時(shí), 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; 當(dāng)時(shí), 冪級(jí)數(shù)發(fā)散, 所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂半徑. (2) 若, 則對(duì)任何, 有,冪級(jí)數(shù)在絕對(duì)收斂, 所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂半徑. (3) 若, 則對(duì)除外的其它一切, ,冪級(jí)數(shù)都發(fā)散,所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂半徑. 例1 求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為. 當(dāng)時(shí), 冪級(jí)數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)時(shí),

19、 冪級(jí)數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 例2 求冪級(jí)數(shù)的收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為, 從而收斂域?yàn)? 例3 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為, 即級(jí)數(shù)僅在處收斂. 例4 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 由于該級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 定理3.2 不適用. 我們可直接根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑: 冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為. 且, 于是當(dāng)即時(shí), 原級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)即時(shí), 原級(jí)數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 例5 求冪級(jí)數(shù)的收斂域. 解 令, 原級(jí)數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?, 所以收斂半徑, 收斂區(qū)間. 當(dāng)時(shí), 原級(jí)數(shù)化為, 該級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)時(shí), 原級(jí)數(shù)化為, 該級(jí)數(shù)收斂. 因此級(jí)數(shù)的收

20、斂域?yàn)? 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算 設(shè)冪級(jí)數(shù)及分別在區(qū)間及內(nèi)收斂, 且, 則有如下計(jì)算法則: (1) 加減法: ; (2) 乘法: . 設(shè)冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)為, 則有如下性質(zhì): 性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)連續(xù). 性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式 , 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原冪級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 , 逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原冪級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑. 注意 經(jīng)過(guò)逐項(xiàng)可導(dǎo)或逐項(xiàng)積分后, 所得的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑雖然不變, 但端點(diǎn)的斂散性卻會(huì)有所變化, 故需另作判斷.

21、 利用我們已知的一些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)以及冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分的運(yùn)算規(guī)則可以求出一些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 例6 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? 設(shè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為, 即, . 顯然, . 在的兩邊求導(dǎo)得 . 對(duì)上式從到積分, 得 . 于是, 當(dāng)時(shí), 有. 從而. 有冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性可知, 這里和函數(shù)在是連續(xù)的, 我們不難驗(yàn)證: 注意: 冪級(jí)數(shù)在發(fā)散, 而在收斂. 例7 求級(jí)數(shù)的和. 解 考慮冪級(jí)數(shù), 該級(jí)數(shù)在上收斂, 設(shè)其和函數(shù)為, 則. 在例6中已得到 , 于是, 即.§4 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)【目的要求】 1、了解函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)； 2、熟練掌握用間接法展開(kāi)函數(shù)為

22、冪級(jí)數(shù) 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 間接法展開(kāi)函數(shù)為冪級(jí)數(shù) 【教學(xué)內(nèi)容】 一、泰勒級(jí)數(shù) 前面我們討論了冪級(jí)數(shù)所確定的和函數(shù)的性質(zhì). 下面討論相反的問(wèn)題, 即給定函數(shù), 能否找到一個(gè)冪級(jí)數(shù), 該冪級(jí)數(shù)在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和函數(shù)恰好就是給定的函數(shù). 如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù), 我們就說(shuō), 函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù), 而該冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x). 定義 4.1 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn), 有 , (1)其中(介于與之間). 式(1)稱(chēng)為在處的階泰勒公式, 稱(chēng)為泰勒公式的余項(xiàng), 而 (2)稱(chēng)為在處的階泰勒多項(xiàng)式. 當(dāng)時(shí), 在處的階泰勒多項(xiàng)式(2)就化為冪級(jí)數(shù) (3

23、)冪級(jí)數(shù)(3)稱(chēng)為函數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù). 顯然, 當(dāng)時(shí), 的泰勒級(jí)數(shù)收斂于. 在處的泰勒級(jí)數(shù)稱(chēng)為的麥克勞林級(jí)數(shù). 當(dāng)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域具有任意階導(dǎo)數(shù)時(shí), 在點(diǎn)處總可以寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的泰勒級(jí)數(shù), 但該級(jí)數(shù)是否收斂? 若收斂,是否一定以為和函數(shù)? 為此, 我們不加證明的給出如下定理. 定理 4.1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是的泰勒公式(1)中的余項(xiàng)滿(mǎn)足:. 注意 函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)是的冪級(jí)數(shù), 如果能展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù), 那么這種展開(kāi)式是唯一的, 它一定等于的麥克勞林級(jí)數(shù). 但是, 反過(guò)來(lái)如果的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于. 因此,

24、如果在點(diǎn)處具有各階導(dǎo)數(shù), 則的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能寫(xiě)出來(lái), 但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于卻需要進(jìn)一步考察. 二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 把一個(gè)給定函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)一般有直接法和間接法兩種方法. 1. 直接展開(kāi)法 按下列步驟把給定函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)的方法叫直接展開(kāi)法: (1) 計(jì)算的各階導(dǎo)數(shù)及其在處的導(dǎo)數(shù)值: ; (2) 寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù), 并求出收斂半徑. (3) 考察在收斂區(qū)間內(nèi), 余項(xiàng)的極限是否成立. 如果成立, 則在內(nèi)有展開(kāi)式 . 例1 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)? 因此 . 于是得級(jí)數(shù) , 它的收斂半徑. 對(duì)于任何有限的數(shù), (介于0與之間), 有 , 由于有限, 且時(shí)收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng), , 所以, 從而有展開(kāi)式 . 例2 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)? , 于是得級(jí)數(shù) ,