高數(shù)高三數(shù)學專題精講4

1、數(shù)學開放性問題怎么解 數(shù)學開放性問題是近年來高考命題的一個新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標的操作模式分為:規(guī)律探索型,問題探究型,數(shù)學建模型,操作設計型,情景研究型.如果未知的是解題假設,那么就稱為條件開放題;如果未知的是解題目標,那么就稱為結論開放題;如果未知的是解題推理,那么就稱為策略開放題.當然,作為數(shù)學高考題中的開放題其“開放度”是較弱的,如何解答這類問題,還是通過若干范例加以講解.例 1 設等比數(shù)列的公比為 ，前 項和為 ，是否存在常數(shù) ，使數(shù)列 也成等比數(shù)列？若存在，求出常數(shù)；若不存在，請 明 理 由. 講解 存在型開放題的求解一般是從假設存在入手, 逐步深

2、化解題進程的. 設存在常數(shù)， 使數(shù)列 成等比數(shù)列. (i) 當 時， 代入上式得 即=0但, 于是不存在常數(shù) ，使成等比數(shù)列. (ii) 當 時， 代 入 上 式 得 . 綜 上 可 知 , 存 在 常 數(shù) ，使成等比數(shù)列.等比數(shù)列n項求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 !例2 某機床廠今年年初用98萬元購進一臺數(shù)控機床，并立即投入生產(chǎn)使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設使用x年后數(shù)控機床的盈利額為y萬元.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關系式；（2）從第幾年開始

3、，該機床開始盈利（盈利額為正值）； (3 ) 使用若干年后，對機床的處理方案有兩種： (i )當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該機床； (ii )當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床，問用哪種方案處理較為合算？請說明你的理由.講解 本例兼顧應用性和開放性, 是實際工作中經(jīng)常遇到的問題. （1） =. （2）解不等式 0,得 x.xN， 3 x 17.故從第3年工廠開始盈利.（3）(i) 40當且僅當時，即x=7時，等號成立.到2008年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利127+30=114萬元.(ii)y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，當x=

4、10時，ymax=102.故到2011年，盈利額達到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元.解答函數(shù)型最優(yōu)化實際應用題，二、三元均值不等式是常用的工具.例3 已知函數(shù)f(x)= (x-2)(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x); (2)設a1=1,=-f-1(an)(nN),求an; (3)設Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對任意nN,有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在說明理由. 講解 本例是函數(shù)與數(shù)列綜合的存在性問題, 具有一定的典型性和探索性.(1) y=,x0).(2) , =4.是公差為4的等差數(shù)列.a1=1, =+4(n-1)=4n

5、-3.an0 , an=.(3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn對于nN成立.5 ,m5,存在最小正數(shù)m=6,使得對任意nN有bn成立.為了求an ,我們先求,這是因為是等差數(shù)列, 試問: 你能夠想到嗎? 該題是構造等差數(shù)列的一個典范.例4 已知數(shù)列在直線x-y+1=0上.（1） 求數(shù)列an的通項公式；（2）若函數(shù)求函數(shù)f(n)的最小值；(3)設表示數(shù)列bn的前n項和.試問:是否存在關于n 的整式g(n), 使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由. 講解 從 規(guī) 律 中 發(fā) 現(xiàn) ,從 發(fā) 現(xiàn) 中 探 索. （1） （2）

6、 ,.（3）, . 故存在關于n的整式使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立.事實上, 數(shù)列an是等差數(shù)列, 你知道嗎？ 例5 深夜，一輛出租車被牽涉進一起交通事故，該市有兩家出租車公司紅色出租車公司和藍色出租車公司，其中藍色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個城市出租車的85%和15%。據(jù)現(xiàn)場目擊證人說，事故現(xiàn)場的出租車是紅色，并對證人的辨別能力作了測試，測得他辨認的正確率為80%，于是警察就認定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑. 請問警察的認定對紅色出租車公平嗎？試說明理由.講解 設該城市有出租車1000輛，那么依題意可得如下信息：證人所說的顏色（正確率80%）真實顏色藍色紅色合計藍色（85%）

7、680170850紅色（15%）30120150合計7102901000從表中可以看出，當證人說出租車是紅色時，且它確實是紅色的概率為，而它是藍色的概率為. 在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據(jù)對紅色出租車顯然是不公平的.本題的情景清新, 涉及到新教材中概率的知識, 上述解法中的列表技術顯示了一定的獨特性, 在數(shù)學的應試復課中似乎是很少見的. 例6 向明中學的甲、乙兩同學利用暑假到某縣進行社會實踐，對該縣的養(yǎng)雞場連續(xù)六年來的規(guī)模進行調查研究，得到如下兩個不同的信息圖： （A）圖表明：從第1年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)2萬只雞; （B）圖表明：由第1年養(yǎng)雞場個數(shù)

8、30個減少到第6年的10個.請你根據(jù)提供的信息解答下列問題： （1）第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少？ （2）哪一年的規(guī)模最大？為什么？講解 （1）設第n年的養(yǎng)雞場的個數(shù)為，平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)雞萬只，由圖（B）可知, =30，且點在一直線上，從而 由圖（A）可知, 且點在一直線上，于是 =（萬只），（萬只）第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)是26個，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只；（2）由（萬只），第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大，共養(yǎng)雞31.2萬只.有時候我們需要畫出圖形, 有時候我們卻需要從圖形中采集必要的信息, 這正反映了一個事物的兩個方面. 看來, 讀圖與識圖的能力是需要不斷提升的.例7 已知

9、動圓過定點P（1，0），且與定直線相切，點C在l上. （1）求動圓圓心的軌跡M的方程； （2）設過點P，且斜率為的直線與曲線M相交于A，B兩點. （i）問：ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由； （ii）當ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.講解 本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關系，是解析幾何中的存在性問題.（1）由曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，知曲線M的方程為.（2）（i）由題意得，直線AB的方程為 消y得于是, A點和B點的坐標分別為A，B（3，），(3，)假設存在點C（1，y），使ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|

10、AC|=|AB|，即有 由得因為不符合，所以由，組成的方程組無解.故知直線l上不存在點C，使得ABC是正三角形.（ii）設C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由即當點C的坐標是（1，）時，三點A，B，C共線，故. ， ， . (i) 當，即， 即為鈍角. (ii) 當，即， 即為鈍角.(iii)當，即， 即. 該不等式無解，所以ACB不可能為鈍角.故當ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是.需要提及的是, 當ABC為鈍角三角形時, 鈍角的位置可能有三個,需要我們進行一一探討.例8 已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，bR都滿足關系式 . （1）求f（0），f（1）的值；

11、（2）判斷的奇偶性，并證明你的結論； （3）若，求數(shù)列un的前n項的和Sn.講解 本題主要考查函數(shù)和數(shù)列的基本知識，考查從一般到特殊的取特值求解技巧. （1）在中,令得 . 在中,令得 ，有 . （2）是奇函數(shù),這需要我們進一步探索. 事實上 故為奇函數(shù).（2） 從規(guī)律中進行探究,進而提出猜想. 由 , 猜測 . 于是我們很易想到用數(shù)學歸納法證明. 1 當n=1時，公式成立； 2假設當n=k時，成立，那么當n=k+1時，公式仍然成立. 綜上可知，對任意成立. 從而 . ，. 故 例9 若、，(1)求證：； (2)令，寫出、的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式； (3)證明：存在不等于零的常數(shù)p

12、，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值.講解 (1)采用反證法. 若，即, 解得 從而與題設,相矛盾， 故成立. (2) 、, .（3）因為 又,所以,因為上式是關于變量的恒等式，故可解得、.我們證明相等的問題太多了,似乎很少見到證明不相等的問題,是這樣嗎?例10 如圖，已知圓A、圓B的方程分別是動圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為：（1）求圓P的軌跡方程，并證明：當時，點P到點B的距離與到定直線l距離的比為定值；（2） 延長PB與點P的軌跡交于另一點Q，求的最小值； （3）如果存在某一位置，使得PQ的中點R在l上的射影C，滿足求a的取值范圍講解（1）設動圓P的半徑為r，則PA，PB| = r + ， |PA| PB| = 2 點P的軌跡是以A、B為焦點，焦距為4，實軸長為2的雙曲線的右準線的右支，其方程為 （x 1）若 , 則l的方程為雙曲線的右準線, 點P到點B的距離與到l的距離之比為雙曲線的離心率e = 2.(2)若直線PQ的斜率存在，設斜率為k，則直線PQ