高數(shù)極限求解方法與技巧總結

1、第一章 極限論極限可以說是整個高等數(shù)學的核心，貫穿高等數(shù)學學習的始終。因為有關函數(shù)的可積、連續(xù)?？蓪У刃再|(zhì)都是用極限來定義的。毫不夸張地說，所謂高數(shù)，就是極限。衡量一個人高等數(shù)學的水平只需看他對極限的認識水平，對極限認識深刻，有利于高等數(shù)學的學習，本章將介紹數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及極限的求解。重點是求極限。一、求極限的方法1.利用單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理：若數(shù)列具有單調(diào)性、且有有界性，也即單調(diào)遞增有上界、單調(diào)遞減有下界，則該數(shù)列的極限一定存在?？梢哉f，整個高等數(shù)學是從該結論出發(fā)來建立體系的。利用該定理一般分兩步：1、證明極限存在。2、求極限。說明：對于這類問題，題中均給出了數(shù)列的第項和第項的

2、關系式，首先用歸納法或作差法或作商法等證明單調(diào)性，再證明其有界性（或先證有界、再證單調(diào)性），由單調(diào)有界得出極限的存在性，在最終取極限。例1 設證的極限存在，并求其極限。分析：本題給出的是數(shù)列前后兩項的關系，所以應該用單調(diào)有界原理求解。解：由基本不等式，所以可知數(shù)列有下界；下面證單調(diào)性，可知當時，有，則單調(diào)遞減。綜合可得，則單調(diào)遞減有下界，所以存在；令，帶入等式解得。評注：對于該題，再證明有界性的過程中用到基本不等式；特別是在證明單調(diào)性的過程中并沒有用傳統(tǒng)的作差或作商的方法，而是用了這一代換（原因是正是數(shù)列的極限值，這正是本題的高明之處，在以后的證明過程中可以借鑒，掌握這一套路。例2設，證明的極

3、限存在。分析：本題給出的是數(shù)列的通項，看似很難下手，其實應該注意到的原函數(shù)就是，而且正好可以與定積分的和式掛鉤，這就是本題的突破口。證：可視為高（長）度為，寬度為1的矩形的面積和。由于在上單調(diào)遞減且恒大于0，則由定積分的幾何意義可知，所以有所以，下證單調(diào)性 由式（1.1）和（1.2）可知，數(shù)列單調(diào)遞減有下界，所以存在。得證。評注：本題以的原函數(shù)就是，而且可視為定積分的和式這一突破口，結合函數(shù)的單調(diào)性運用定積分的幾何意義構造不等式進行有界性，單調(diào)性的證明。對于單調(diào)性的證明，也可其本質(zhì)上是一樣的。前面，我們討論的數(shù)列都是單調(diào)的，但有時候數(shù)列本身不單調(diào)，而其奇、偶子列單調(diào)且其有相同的極限值，則原數(shù)列

4、也有極限。下面以例子說明。例3 設證明收斂，并求之。分析：首先可知，可知并不單調(diào)，但可以考慮奇子列和偶子列。證明：用數(shù)歸法證明單調(diào)性。（1） 由，知成立。（2） 假設當時，有成立（3） 則有當時，所以，當時也成立。其奇子列單調(diào)遞減。由于，而，且，所以有。則其奇子列單調(diào)遞減且有下界。同理可證，偶子列單調(diào)遞增且有上界，由單調(diào)有界原理可知，奇、偶子列的極限均存在，不妨設為和。則有 ，解得評析：在應用數(shù)學歸納法證明單調(diào)性的過程中用到了是增函數(shù)這一性質(zhì)，當然，數(shù)學歸納法證明單調(diào)性也并不是唯一的方法，下面用作差法證明：所以可知與的符號相同，由于,則；同理，則。即奇子列單調(diào)遞減，偶子列單調(diào)遞增。這樣的討論顯

5、然比較繁瑣，有沒有更簡單的方法呢？當然有，下面再討論。2.壓縮映象原理其實應用壓縮映象原理求極限的基礎實質(zhì)上就是極限的定義。下面介紹該原理：定理：設和是兩個常數(shù)，是一個給定的數(shù)列，只要滿足下列兩個條件之一：,.那么必收斂，并在第二種條件下，有證明：由，則有，由級數(shù)的比較審斂法，可知收斂，則有收斂，所以也收斂，則其部分和的極限存在，并設為。則有 兩邊同時取極限，可知，得證.由，則當充分大時，有由極限的定義可知，有。特別的，雖然說證明是認為從開始時滿足上述條款1,2.但事實上從某一項開始滿足上述兩條款也是成立的。下面我們運用壓縮映象原理再證例3由于，則有，所以有可知其滿足條款1，所以存在。顯然，沒

6、有對比就沒有差距，第二種方法要簡單很多，這正是壓縮映象原理的魅力。3.夾逼定理夾逼定理實際上就是運用數(shù)列極限的性質(zhì)求極限，其實質(zhì)上就是掌握不等式的放縮技巧，做到放縮有度。例4.求【法一】設 ，因為，則有 將式（1.3）與式（1.4）兩邊相乘，則有，有，由夾逼定理，則有當然，夾逼定理能證明，但是世界總是多元的，方法也當然不只是一種?？煽吹?，也許我們可以很快想到【法二】將原問題轉(zhuǎn)化為求，求該極限值也有兩種方法1. 由修正后的積分中值定理可知2. 注意到當（即）時，必有，所以必須在這一點處開始分段，取為一充分小的正數(shù)，將分為，兩個區(qū)間對于第一項，由于在上單調(diào)遞增，則有 （當時，有）對于第二項，由于在

7、上單調(diào)遞增，則有 將式（1.5）與（1.6）相加，則有由極限的定義可知，有評注：法一與法二的求解明了高等數(shù)學的整體性，他們都是高等數(shù)學最基本的套路，應該重點掌握。為了更進一步理解和熟悉運用夾逼定理，在對上述例4求解的基礎上，我們更一般的衍生出更一般的例5。例5.求解：設，在例4的基礎上，已知，則必有，而，而左邊為0，所以不能用夾逼定理，原因是左邊放縮過度，放縮得太小，必須重新放縮。則有所以有，而，由雙邊夾逼定理，則有.評注：總結例4和例5，可知運用雙邊夾逼定理求極限的基礎是掌握不等式的放縮，下面總結一些常用的不等式。1. 2.3.當時， 4.5. 6.7. 8.9. 特別的，當時，有10.4.Stolze定理1.（型）設數(shù)列單調(diào)遞增，且，如果存在或為，則有.2.（型）設數(shù)列單調(diào)遞減，且，如果存在或為，則有.若（常數(shù)），運用Stolze定理不難得到下面結論1. 2.3.由1,2,3可知，若一個數(shù)列的極限存在，則其前項的算術平均值，幾何平均值，調(diào)和平均值均存在且相等。對于此定理，只要求讀者會應用，并不要求掌握其證明。例65.等價無窮小例76.中值定理對于此類求極限問題，主要是指用微分、積分中值定理和夾逼定理綜合求極限，對于此類極限問題的求解，關鍵要弄清楚中值定理中的函數(shù)以