高中數(shù)學(xué)知識要點(diǎn)重溫之24導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義

1、導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義江蘇 鄭邦鎖1叫函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作 。注：函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在。在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，趨近于0可正、可負(fù)、但不為0，而可能為0。是函數(shù)對自變量在范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點(diǎn)（，）及點(diǎn)（+，）的割線斜率。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)的處瞬時變化率，它反映的函數(shù)在點(diǎn)處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線上點(diǎn)（，）處的切線的斜率。若極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)，稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加

2、以區(qū)分：求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求一個函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)值。舉例1若，則等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2解析：，即=2=-1。舉例2 已知為正整數(shù)設(shè)，證明解析：本題可以對展開后“逐項(xiàng)”求導(dǎo)證明；這里用導(dǎo)數(shù)的定義證明：=。鞏固1一質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動，它的位移S與時間t的關(guān)系為： ，試用導(dǎo)數(shù)的定義求t =3時的速度。鞏固2設(shè)C是成本，q是產(chǎn)量，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為CC（q），當(dāng)產(chǎn)量為時，產(chǎn)量變化對成本的影響可用增量比刻劃.如果無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)A，經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱A為邊際成本.它表明當(dāng)產(chǎn)量為時，增加單位產(chǎn)量需付出成本A（這是實(shí)際付出成本的一

3、個近似值）。設(shè)生產(chǎn)x個單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是C(x)8，則生產(chǎn)8個單位產(chǎn)品時，邊際成本是： （ ） A2B8C10D162常用導(dǎo)數(shù)公式：,，；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)存在，則,，；（這個公式很容易記錯，注意和“積的導(dǎo)數(shù)”對比）；復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：由與=得到復(fù)合函數(shù)，則=.。舉例1已知，則= 。解析：是常數(shù)，=3+2-1= -2，故=3。舉例2，= 。解析：本題可以用“倒序相加”法，也可以用“通項(xiàng)變化”法（k= n）；這里，我們觀察 ，不難發(fā)現(xiàn)其通項(xiàng)求導(dǎo)后的系數(shù)正是所求“項(xiàng)”；故考慮對式兩邊同求導(dǎo)數(shù)，得：，令=1得：=鞏固1 已知令，則= 。鞏固2已知函數(shù)，則的值為：A B C D3函數(shù)在處

4、的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在其上點(diǎn)，處的切線的斜率。用導(dǎo)數(shù)研究切線問題，切點(diǎn)是關(guān)鍵（切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上、切點(diǎn)橫坐標(biāo)的導(dǎo)函數(shù)值為切線斜率）。舉例1曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（） （07高考海南理10）解析：，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為：，切線方程為：，它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為：（2，0），（0，-）；切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為：，選D。舉例2函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是：，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5，則= 。解析：本題沒有函數(shù)表達(dá)式，但有切線方程，注意到“切點(diǎn)在切線上”，P（5，3）；又“切點(diǎn)在曲線上”，；而曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為，即=-1，故=2。舉例3已知直線與拋物線相切，則

5、解析：本題固然可以將直線方程帶入拋物線方程中，使得到的一元二次方程的判別式=0，從而求出的值；但這種做法只限于二次曲線，若將拋物線換成其它的非二次曲線，則此路不通。以下用“導(dǎo)數(shù)”求解：“切點(diǎn)”是關(guān)鍵，記切點(diǎn)P（，），則有： （切點(diǎn)在切線上）； （切點(diǎn)在曲線上）=1 （切點(diǎn)橫坐標(biāo)的導(dǎo)函數(shù)值為切線斜率）；由解得：。鞏固1已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則（07高考湖北文13）鞏固2點(diǎn)P是曲線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則的取值范圍是A、 B、 C、 D、鞏固3若直線y=x是曲線y=x3-3x2+ax的切線，則a=_4、注意區(qū)分“求曲線上過點(diǎn)M的切線”與“求曲線上在點(diǎn)M處的切線”；前者只要求

6、切線過M點(diǎn)，M點(diǎn)未必是切點(diǎn)；而后者則很明確，切點(diǎn)就是M點(diǎn)。舉例求函數(shù)y=x3-3x2+x的圖象上過原點(diǎn)的切線方程解析：易見O（0，0）在函數(shù)y=x3-3x2+x的圖象上，y=3x26x+1,但O點(diǎn)未必是切點(diǎn)。設(shè)切點(diǎn)A（x0,y0）y=3x26x+1, 切線斜率為3x026x0+1,又切線過原點(diǎn)，=3x026x0+1即：y0=3x036x02+x0 又切點(diǎn)A（x0,y0）y=x3-3x2+x的圖象上y0=x033x02+x0 由得：x0 =0或x0 =，切線方程為：y=x或5x+4y=0點(diǎn)評：一般地,過三次曲線的對稱中心（不難證明三次曲線一定是中心對稱圖形，且對稱中心在曲線上）的切線有且僅有一條；而過三次曲線上除對稱中心外的任一點(diǎn)的切線有二條。以下給出簡單證明（不要求學(xué)生掌握）：由于三次曲線都是中心對稱曲線，因此，將其對稱中心移至坐標(biāo)原點(diǎn)便可將三次函數(shù)的解析式簡化為。若M（x1，y1）是三次曲線上的任一點(diǎn)，設(shè)過M的切線與曲線y=f（x）相切于（x0，y0），則切線方程為，因點(diǎn)M上此切線上，故，又，所以，整理得：，解得，或。 當(dāng)點(diǎn)M是對稱中心即=-=0時，過點(diǎn)M作曲線的切線切點(diǎn)是惟一的，且為M，故只有一條切線；當(dāng)點(diǎn)M不是對稱中心即時，過點(diǎn)M作曲線的切線可產(chǎn)