高中數(shù)學(xué)必修5正弦定理說(shuō)課稿

1、正 弦 定 理人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（必修5）第一章第一節(jié)正弦定理（第一課時(shí)）正弦定理是三角形邊角關(guān)系的量化，是解三角形的重要依據(jù)之一。這一內(nèi)容僅一課時(shí)，我主要針對(duì)正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明與應(yīng)用談?wù)勎覍?duì)教學(xué)的理解與設(shè)計(jì)，敬請(qǐng)各位專家斧正。一、教材分析1.1教材的地位與作用 三角形是最基本的幾何圖形，有著極其廣泛的應(yīng)用。在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常遇到解任意三角形的問(wèn)題，因此必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形的邊角關(guān)系和解任意三角形的基本方法。本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)于初中學(xué)習(xí)了直角三角形的邊角關(guān)系和解直角三角形的方法，在高中學(xué)習(xí)了三角函數(shù)與平面向量的基礎(chǔ)上的深化拓展。故在此引入正弦定理，使得“解三角形”的學(xué)習(xí)變

2、得合情合理，學(xué)生在思想上易于接受。1.2教材的主體結(jié)構(gòu)編者從四個(gè)層次闡述正弦定理，層層遞進(jìn)，不斷深化。如何量化“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”正弦定理的證明定理應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系任意三角形的邊角關(guān)系推廣 猜想編者的意圖如何呢？通過(guò)提出問(wèn)題：如何量化“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”，引發(fā)學(xué)生思考；從特殊的三角形直角三角形入手，將結(jié)論推廣到一般的情況任意三角形，讓學(xué)生感受“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法；分三種情況證明定理，讓學(xué)生體會(huì)“分類(lèi)討論”和“先猜想，后證明”的方法。從而建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)體系，使得探究的過(guò)程變得簡(jiǎn)單而有效。1.3教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明，及利用定理解三角形。難點(diǎn):銳

3、角三角形中正弦定理的證明；已知“兩邊及其一邊對(duì)角”解三角形的情況。難點(diǎn)依據(jù)：在證明方面，銳角和鈍角的情況需要類(lèi)比直角三角形，而學(xué)生在理論證明中的轉(zhuǎn)化能力較弱；在應(yīng)用方面，解兩邊及其一邊對(duì)角的情況時(shí)，需要應(yīng)用正弦函數(shù)的圖像，學(xué)生綜合判斷能力不強(qiáng)。因此構(gòu)成了學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。1.4教學(xué)的三維目標(biāo)1.知識(shí)與能力目標(biāo):掌握正弦定理,能利用正弦定理解三角形,判斷解的個(gè)數(shù);培養(yǎng)學(xué)生歸納、猜想、論證的能力；培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與邏輯思維能力。目標(biāo)分析：此目標(biāo)體現(xiàn)了基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)、基本技能的形成，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的首要環(huán)節(jié)，符合新課標(biāo)的要求2.過(guò)程與方法目標(biāo):分析研究正弦定理的探索過(guò)程；體驗(yàn)先猜想后證明，由特

4、殊到一般，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法。目標(biāo)分析：此目標(biāo)體現(xiàn)了知識(shí)的演繹過(guò)程與數(shù)學(xué)思想方法的滲透，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力的目的。3. 情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo):通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，給學(xué)生成功的體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索與創(chuàng)造，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。目標(biāo)分析：此目標(biāo)是在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)以上兩個(gè)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的，體現(xiàn)了使學(xué)生獲得知識(shí)、培養(yǎng)能力的同時(shí)，更加注重情感態(tài)度的體驗(yàn)，與價(jià)值觀的正確導(dǎo)向。 二教法分析建構(gòu)主義認(rèn)為:教師的角色是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的引導(dǎo) 者和幫助者。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo)。教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、探索、反思，

5、為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建支架。學(xué)生由問(wèn)題開(kāi)始，以"正弦定理的發(fā)現(xiàn)"為基本內(nèi)容，從而得出猜想、證明猜想，并逐步得到深化。 因此為了有效的突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)達(dá)到三維教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課主要采用支架式教學(xué)法。 在這里問(wèn)題支架的核心，通過(guò)提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，來(lái)演繹知識(shí)的發(fā)生，發(fā)展和應(yīng)用，組織并推動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)。分析問(wèn)題提出問(wèn)題解決問(wèn)題反思升華三學(xué)法分析教與學(xué)是和諧統(tǒng)一的整體，是相互促進(jìn)的體系。學(xué)生以自主探究,合作交流為主要學(xué)習(xí)方式,結(jié)合“觀察歸納猜想證明應(yīng)用”的方法將直角三角形、三角函數(shù)的知識(shí)應(yīng)用于對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究。體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。四教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)及

6、簡(jiǎn)要分析遵循“最近發(fā)展區(qū)”的認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合可接受性和可操作性原則，把教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)融入到教學(xué)過(guò)程之中，通過(guò)正弦定理的發(fā)現(xiàn),證明和應(yīng)用過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展，幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系。1. 創(chuàng)設(shè)情景、建立模型從學(xué)生熟悉而有興趣的例子出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型并探索結(jié)論；2、歸納猜想、證明定理 從特殊情況直角三角形入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納，得出并推廣猜想，最后證明；3、結(jié)構(gòu)研究、分析定理 從形式上分析定理的結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的形式美與變化；4. 例題練習(xí)、應(yīng)用定理從簡(jiǎn)單題型切入，回歸到情境問(wèn)題。讓學(xué)生通過(guò)應(yīng)用正弦定理，加深對(duì)定理的認(rèn)識(shí)；5. 小結(jié)反思、鞏固提高引導(dǎo)學(xué)生整理新知，歸納方法，將

7、知識(shí)形成體系，從而內(nèi)化為數(shù)學(xué)能力。（一） 創(chuàng)設(shè)情境，建立模型 興趣是最好的老師，如果一堂課有一個(gè)良好的開(kāi)頭，那就意味著成功的一半。因此，我從學(xué)生熟知的國(guó)際時(shí)事中的索馬里海盜問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情景，建立模型，為學(xué)生提供問(wèn)題之源，把學(xué)習(xí)任務(wù)轉(zhuǎn)移給學(xué)生，為新知的建構(gòu)做好鋪墊。問(wèn)題一：索馬里海盜日益猖獗，為保護(hù)商船我國(guó)堅(jiān)決予以出兵打擊海盜。某日我A艦隊(duì)突然發(fā)現(xiàn)其正東處有一海盜艦艇B正以30節(jié)的速度朝正北方向追擊商船,我方?jīng)Q定全速攔截海盜。已知我方艦隊(duì)A的速度為60節(jié)，問(wèn)怎樣確定航行角度使得兩艦恰好相遇？ 分析一：學(xué)生一般會(huì)想到利用直角三角形中，300 所對(duì)的邊等于斜邊的一半，得A=300。問(wèn)題思路簡(jiǎn)單，學(xué)生信心

8、十足。順利的解決，為下面的問(wèn)題變換打下了良好的基礎(chǔ)。 問(wèn)題二：如果其他條件不變，問(wèn)題一的劃線部分改為“海盜艦艇朝北偏西400方向追擊商船”，此時(shí)我方艦隊(duì)A又如何確定航行角度，使得兩艦恰好相遇？ CC分析二：由特殊情況到一般情況，激發(fā)學(xué)生迫切解決問(wèn)題與探索一般規(guī)律的愿望。學(xué)生多數(shù)會(huì)想到做高轉(zhuǎn)化為直角三角形，但限于非特殊角的存在,學(xué)生較難計(jì)算. （問(wèn)題二）（問(wèn)題一） 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立模型，并提出“解三角形”的概念。（二） 歸納猜想，證明定理教師引導(dǎo)學(xué)生猜想學(xué)生觀察學(xué)生歸納通過(guò)以上的猜想，學(xué)生自然會(huì)去思考猜想的證明方法。因此，及時(shí)強(qiáng)調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的理論證明，讓學(xué)生牢固樹(shù)

9、立“先猜想后證明”的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索正弦定理。 1.回顧直角三角形的邊角關(guān)系，要求學(xué)生寫(xiě)出三個(gè)角的正弦式，觀察特點(diǎn)； 學(xué)生得出結(jié)論有： 2.引導(dǎo)學(xué)生從的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)聯(lián)系（都有C）；3.繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察特點(diǎn)得，故對(duì)直角三角形有。 4.提出猜想 是否對(duì)任意三角形都成立？(學(xué)生探尋證明) 5.證明定理分直角、銳角和鈍角三種情況 銳角的情況由學(xué)生敘述，老師板書(shū)；鈍角由學(xué)生課后完成。證：BACacbD過(guò)C作CDAB，則有同理可得，過(guò)B作BEAC，則有 提出問(wèn)題：是否有其他方法證明正弦定理？引起學(xué)生一題多解的好奇心。（教師提示可用向量的方法來(lái)證明）【設(shè)計(jì)意圖】愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)

10、題更重要。這樣設(shè)計(jì)是通過(guò)教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生從熟知的特殊情況-直角三角形入手，主動(dòng)探究、合作交流：觀察-歸納-猜想，從而體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生，為一般性證明打下良好的基礎(chǔ),并感受“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法。體現(xiàn)學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的教學(xué)思想。（三） 結(jié)構(gòu)研究，分析定理正弦定理（law of sines）：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即（1）等價(jià)于 ，； （2）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使 或， ； 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式的對(duì)稱美，學(xué)會(huì)公式的變形用法，體會(huì)從形式上研究公式變化，提升對(duì)定

11、理的認(rèn)識(shí)。辨析題： 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)此題讓學(xué)生體會(huì)：正弦定理是如何量化“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”，并進(jìn)一步理解課本P3的原話:由正弦定理在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理很好的描述了任意三角形邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。（四）例題練習(xí)，定理應(yīng)用(1)C 例1 在ABC中，若A=45°,B=60°,a=8cm，解三角形. 8 Ba 450600bA 【設(shè)計(jì)意圖】以上環(huán)節(jié)是對(duì)正弦定理的猜想與證明，學(xué)生迫切需要練習(xí)加以鞏固。因此我首先用例1示范正弦定理的應(yīng)用,并將題型歸納為：已知兩角和一邊解三角形。在解答過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)解三角形必須畫(huà)圖，標(biāo)出已知邊和角，并注意解答格式的規(guī)范性。例1由教師板書(shū)。

12、CBAa cb例2 在ABC中,已知a= ，b= ，B=，解三角形. xo-11y 【設(shè)計(jì)意圖】例題2是改編于教材P4的例題2，目的是數(shù)據(jù)便于計(jì)算，學(xué)生易于接受。此題讓學(xué)生明確利用正弦定理求已知兩邊及其一邊對(duì)角時(shí)解三角形有兩種可能,并熟練掌握。在這里角A有兩解的情況是難點(diǎn)，學(xué)生容易遺漏一解，因此我設(shè)計(jì)將正弦函數(shù)的圖像畫(huà)出，便于學(xué)生思考，突破難點(diǎn)。（四）例題練習(xí)，定理應(yīng)用(2)練習(xí)：索馬里海盜日益猖獗，為保護(hù)商船我國(guó)堅(jiān)決予以出兵打擊海盜。某日我A艦隊(duì)突然發(fā)現(xiàn)其正東處有一海盜艦艇朝北偏西400方向追擊商船,我方?jīng)Q定全速攔截海盜。已知我方艦隊(duì)A的速度為60節(jié)，問(wèn)怎樣確定航行角度使兩艦恰好相遇 【設(shè)計(jì)

13、意圖】最后的練習(xí)回到打擊索馬里海盜問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)以致用。一方面與例題2作比較，闡述已知兩邊及其一邊對(duì)角解三角形時(shí)只有一解的情況，對(duì)例題2的情況加以補(bǔ)充,無(wú)解的情況則由學(xué)生課后自己探索，從而對(duì)題型歸納完整；另一方面，抓住時(shí)機(jī)利用時(shí)事適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，加強(qiáng)學(xué)生努力學(xué)習(xí)的責(zé)任心，在教學(xué)中進(jìn)行德育滲透，寓德于教。另外，在教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合，在解三角形的過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生利用計(jì)算器進(jìn)行一些繁雜的計(jì)算，更好、更快地實(shí)現(xiàn)對(duì)新知的探索與發(fā)現(xiàn)。（五）小結(jié)鞏固，提高認(rèn)識(shí) 1.正弦定理具有對(duì)稱和諧美； 2.“先猜想后證明”是一種常用的科學(xué)研究問(wèn)題的思路和方法; 3.正弦定理

14、可以解決的三角形的類(lèi)型：兩角一邊，兩邊一對(duì)角類(lèi)型的三角形;4.在解兩邊和其中一邊對(duì)角的三角形時(shí)可能出現(xiàn)兩解、一解、無(wú)解的情況?！驹O(shè)計(jì)意圖】最后由學(xué)生自我總結(jié)，教師投影板書(shū)。一方面檢驗(yàn)學(xué)生的知識(shí)掌握；另一方面鍛煉學(xué)生的歸納能力?！救蝿?wù)拓展】如果已知一個(gè)三角形的兩邊及其夾角，要求第三邊，怎么辦？發(fā)現(xiàn)正弦定理不適用了，那么自然過(guò)渡到下一節(jié)內(nèi)容余弦定理。布置作業(yè)，預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容。 【課后作業(yè)】必做題：1.課本P4 練習(xí)1(1)，練習(xí)2(2)； 2.在ABC中，若a=22,b=25,A=1330,解三角形。選做題：1.在ABC中，AB=,AC=1,且B=300,求此三角形的面積； 2.正弦定理的第二種證明。設(shè)計(jì)遞進(jìn)式分層作業(yè)以滿足不同學(xué)生的多樣化學(xué)習(xí)需求，使他們得到更深入的發(fā)展.將求三角形的面積作為選做題既不影響主體知識(shí)建構(gòu),又能滿足學(xué)生的進(jìn)一步的探究需求.五板書(shū)設(shè)計(jì)§1.1.1 正弦定理 1. 正弦定理： 例題1的解答過(guò)程 2. 證明：（銳角情況） 練習(xí)的解答過(guò)程（投影） 六課后