高中物理等時(shí)圓 大家共享

1、不同的“等時(shí)圓”AOBC30° 圖1【例1】傾角為30°的長斜坡上有C、O、B三點(diǎn)，CO = OB = 10m，在C點(diǎn)豎直地固定一長10 m的直桿AO。A端與C點(diǎn)間和坡底B點(diǎn)間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點(diǎn)），將兩球從A點(diǎn)由靜止開始、同時(shí)分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖1所示，則小球在鋼繩上滑行的時(shí)間tAC和tAB分別為（取g = 10m/s2） A2s和2s B 和 2s C和4s D4s 和圖2AOBC30° 12D解析：由于CO = OB =OA ，故A、B、C三點(diǎn)共圓，O為圓心。又因直桿AO豎直，A點(diǎn)是該圓的最高點(diǎn)，如圖2所示。兩球由靜止釋放，

2、且光滑無摩擦，滿足“等時(shí)圓”條件。設(shè)鋼繩AB和AC與豎直方向夾角分別為1、2，該圓半徑為r，則對(duì)鋼球均有解得：, 鋼球滑到斜坡時(shí)間t跟鋼繩與豎直方向夾角無關(guān)，且都等于由A到D的自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)間。代入數(shù)值得t=2s，選項(xiàng)A正確。aObcd圖3【例2】如圖3所示，Oa、Ob、Oc是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O、a、b、c四點(diǎn)位于同一圓周上，d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，c為最低點(diǎn)，每根桿上套著一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)都從圖中O點(diǎn)無初速釋放，用t1、t2 、t3、依次表示滑到a、b、c所用的時(shí)間，則A BC D. cbadOefg圖4解析：如果不假思索，套用結(jié)論，就會(huì)落入“陷阱”，錯(cuò)選A。必須注

3、意，“等時(shí)圓”的適用條件是：光滑斜面上初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)（或終點(diǎn)）應(yīng)在“等時(shí)圓”的最高（或最低）點(diǎn)。題圖中O不是最高點(diǎn)，題設(shè)圓不是“等時(shí)圓”。現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為最高點(diǎn)，取合適的豎直直徑Oe，作“等時(shí)圓”交Ob于b，如圖4所示，顯然，O到f、b、g、e才是等時(shí)的，比較圖示位移OaOf，OcOg，故可推知，正確的選項(xiàng)是B。C圖5D【例3】如圖5所示，在豎直面內(nèi)有一圓，圓內(nèi)OD為水平線，圓周上有三根互成的光滑桿、，每根桿上套著一個(gè)小球（圖中未畫出）?，F(xiàn)讓一個(gè)小球分別沿三根桿頂端無初速下滑到O,所用的時(shí)間分別為、，則（ ）A B C D 無法確定BCB/C/圖6D解析：題設(shè)圖中O點(diǎn)不在圓的最

4、低點(diǎn)，故不是“等時(shí)圓”。延長OA，過B作B/BBO，則O、B、B/在同一圓周上，B/處自由下落到O的時(shí)間和小球沿光滑桿由B無初速滑到O的時(shí)間相同。同理，過C作C/CCO，則O、C、C/在同一圓周上，C/處自由下落到O的時(shí)間和小球沿光滑桿由C無初速滑到O的時(shí)間相同。C/、B/、A自由下落到O的時(shí)間依次遞減，故選項(xiàng)B正確?！纠?】MP圖7如圖7所示，在同一豎直平面內(nèi)，從定點(diǎn)P到固定斜面(傾角為)搭建一條光滑軌道PM，使物體從P點(diǎn)釋放后，沿軌道下滑到斜面的時(shí)間最短，則此軌道與豎直線的夾角為多少？解析：先用解析法求解。從定點(diǎn)P向斜面作垂線，垂足為D，如圖8所示，設(shè)P到斜面距離為h，則軌道長度為物體沿軌

5、道下滑的加速度MP圖8Dh由于聯(lián)立解得：令根式中分母，利用積化和差得：，一定，當(dāng)時(shí)，分母y取得最大值，物體沿軌道下滑的時(shí)間t最小。再用“等時(shí)圓”作圖求解。以 定點(diǎn)P為“等時(shí)圓”最高點(diǎn)，作出系列半徑r不同（動(dòng)態(tài)的）“等時(shí)圓”，所有軌道的末端均落在對(duì)應(yīng)的“等時(shí)圓”圓周上，如圖9中甲所示，則軌道長度均可表示為物體沿軌道下滑的加速度由于，故得：，圖9P 1M1M22PM2甲乙欲t最小，則須“等時(shí)圓”的半徑r最小。顯然，半徑最小的“等時(shí)圓”在圖中與斜面相切于M2點(diǎn)，如圖9中乙所示。再根據(jù)幾何關(guān)系可知：。PHL圖10在這里，用了轉(zhuǎn)化的思想，把求最短時(shí)間轉(zhuǎn)化為求作半徑最小的“等時(shí)圓”，避免了用解析法求解的復(fù)

6、雜計(jì)算。 【例5】如圖10所示，在同一豎直平面內(nèi)，地面上高H的定點(diǎn)P，到半徑為R的定圓的水平距離為L，從P搭建一條光滑軌道到定圓的圓周上。現(xiàn)使物體從P點(diǎn)釋放后，沿軌道下滑到定圓的時(shí)間最短，該軌道與豎直方向夾角應(yīng)多大？H和L滿足題設(shè)要求。PTNMQDKMH圖11解析：先用解析法求解。如圖11所示，延長PM與定圓相交于N，過N作水平線與PD相交于K，則物體沿光滑軌道下滑的加速度為gsin，即 ，又 ，所以 由圓的切割線定理得：=常數(shù)，所以，式中為常數(shù)，為變量。當(dāng)M點(diǎn)的選擇不同時(shí)，的值也不同，當(dāng)=H時(shí)，其值最大，此時(shí)t最小。也就是軌道PM/延長線PQ與定圓相交于和地面的接觸點(diǎn)Q，物體沿軌道下滑的時(shí)間

7、最短，軌道PM/與豎直線的夾角滿足或.圖12POO/、MDQHL 再用“等時(shí)圓”作圖求解。以定點(diǎn)P為“等時(shí)圓”最高點(diǎn)，作出系列半徑r不同（動(dòng)態(tài)的）“等時(shí)圓”， 所有軌道的末端均落在對(duì)應(yīng)的“等時(shí)圓”圓周上。其中，剛好與定圓O外切于M的“等時(shí)圓”半徑最小，如圖12所示，由P沿軌道下滑到M點(diǎn)的時(shí)間也最短。圖中PD和OQ都垂直于地面，由幾何關(guān)系可知，軌道PM的延長線必與定圓O的交于Q，求得PM與豎直線的夾角滿足或?！纠?】在豎直平面內(nèi)，固定一個(gè)半徑為R的大圓環(huán)，其圓心為O，在圓內(nèi)與圓心O同一水平面上的P點(diǎn)搭一光滑斜軌道PM到大環(huán)上，如圖13所示，=dR。欲使物體從P點(diǎn)釋放后，沿軌道滑到大環(huán)的時(shí)間最短，求M點(diǎn)位置（用OM與水平面的夾角的三角函數(shù)表達(dá)）。OPMd圖13解析：若用解析法求解，軌道長度由余弦定理求得設(shè)軌道PM與水平面夾角為，則物體沿軌道下滑的加速度由正弦定理得：又 聯(lián)立以上四個(gè)方程，有、a和t五個(gè)變量，可以建立起下滑時(shí)間t與OM傾角之間的函數(shù)關(guān)系，再利用數(shù)學(xué)工具求極值，但計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。OPMd·O/r圖14如果改用“等時(shí)圓”作圖求解，以定點(diǎn)P為最高點(diǎn)，可作出系列半徑r不同（動(dòng)態(tài)的）“等時(shí)圓”， 所有軌道的末端均落在對(duì)