高中物理天體運(yùn)動多星問題

1、雙星模型、三星模型、四星模型天體物理中的雙星，三星，四星，多星系統(tǒng)是自然的天文現(xiàn)象，天體之間的相互作用遵循萬有引力的規(guī)律，他們的運(yùn)動規(guī)律也同樣遵循開普勒行星運(yùn)動的三條基本規(guī)律。雙星、三星系統(tǒng)的等效質(zhì)量的計算，運(yùn)行周期的計算等都是以萬有引力提供向心力為出發(fā)點(diǎn)的。雙星系統(tǒng)的引力作用遵循牛頓第三定律：，作用力的方向在雙星間的連線上，角速度相等，?！纠}1】天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r

2、，試推算這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為G）【解析】：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運(yùn)動的半徑分別為r1、r2，角速度分別為1、2。根據(jù)題意有根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有GG聯(lián)立以上各式解得根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知聯(lián)立式解得【例題2】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律.天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響.A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的距離保持不變，如圖4-2所示.引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行

3、周期T.(1)可見星A所受暗星B的引力Fa可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m(用m1、m2表示).(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式；(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=2.7×105 m/s，運(yùn)行周期T=4.7×104 s，質(zhì)量m1=6ms，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（G=6.67×10-11 N·m2/kg2，ms=2.0×1030 kg）解析：設(shè)A、B的圓軌道半徑分別

4、為，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動的角速度相同，設(shè)其為。由牛頓運(yùn)動定律，有， 設(shè)A、B間距離為，則由以上各式解得由萬有引力定律，有，代入得令，通過比較得（2）由牛頓第二定律，有而可見星A的軌道半徑將代入上式解得（3）將代入上式得代入數(shù)據(jù)得設(shè)，將其代入上式得可見，的值隨的增大而增大，試令，得可見，若使以上等式成立，則必大于2，即暗星B的質(zhì)量必大于，由此可得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞。【例題3】天體運(yùn)動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們在萬有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心軌道作勻速園周運(yùn)動，設(shè)雙星間距為L，質(zhì)量分別為M1、M2，試計算（1）雙星的軌道半徑（2）雙星

5、運(yùn)動的周期。15.解析：雙星繞兩者連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，即：-.- 由以上兩式可得：，又由.- 得：【例題4】我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星.某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成,兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動.由天文觀察測得其運(yùn)動周期為T,S1到C點(diǎn)的距離為r1,S1和S2的距離為r,已知引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為 （ D ） A.B.C.D. 答案 ：D解析 雙星的運(yùn)動周期是一樣的,選S1為研究對象,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得,則m2=.故正確選項(xiàng)D正確.【例題5】如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做

6、勻速周運(yùn)動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。1 求兩星球做圓周運(yùn)動的周期。2 在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動的，這樣算得的運(yùn)行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)）【答案】 1.01【解析】 A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且A和B和

7、O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期。因此有，連立解得，對A根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得化簡得 將地月看成雙星，由得將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得化簡得 所以兩種周期的平方比值為【例題6】【2012江西聯(lián)考】如右圖，三個質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為m1、m2、M（M>> m1，M>> m2）。在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，它們的周期之比TaTb=1k；從圖示位置開始，在b運(yùn)動一周的過程中，則 （ ）Aa、b距離最近的次數(shù)為k次Ba、b距離最近的次數(shù)為k+1次Ca、b、c共線的次數(shù)為2kDa、b

8、、c共線的次數(shù)為2k-2【答案】D【解析】在b轉(zhuǎn)動一周過程中，a、b距離最遠(yuǎn)的次數(shù)為k-1次，a、b距離最近的次數(shù)為k-1次，故a、b、c共線的次數(shù)為2k-2，選項(xiàng)D正確?！纠}7】宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行;另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行.設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m.(1)試求第一種形式下,星體運(yùn)動的線速度和周期.(2)假設(shè)兩種形式下星體的運(yùn)動周期相同,第

9、二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少?答案 (1) (2)解析 (1)對于第一種運(yùn)動情況,以某個運(yùn)動星體為研究對象,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有:F1=F1+F2=mv2/R運(yùn)動星體的線速度:v =周期為T,則有T=T=4(2)設(shè)第二種形式星體之間的距離為r,則三個星體做圓周運(yùn)動的半徑為R=由于星體做圓周運(yùn)動所需要的向心力靠其它兩個星體的萬有引力的合力提供,由力的合成和牛頓運(yùn)動定律有：F合=cos30°F合=mR所以r=R【例題8】（2012湖北百校聯(lián)考）宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通?？珊雎云渌求w對四星系統(tǒng)的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點(diǎn)上，均圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，其運(yùn)動周期為；另一種形式是有三顆星位于邊長為a的等邊三角形