高中數(shù)學導數(shù)及其應(yīng)用 172 定積分在物理中的應(yīng)用課時作業(yè) 新人教版選修22

1、1.7.2定積分在物理中的應(yīng)用明目標、知重點1能利用定積分解決物理中的變速直線運動的路程、變力做功問題2通過定積分在物理中的應(yīng)用，學會用數(shù)學工具解決物理問題，進一步體會定積分的價值變速直線運動做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a，b上的定積分，即v(t)dt.變力做功如果物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從xa移動到xb(a<b)，那么變力F(x)所做的功為F(x)dx.探究點一變速直線運動的路程思考變速直線運動的路程和位移相同嗎？答不同路程是標量，位移是矢量，路程和位移是兩個不同的概念：(1)當v(t

2、)0時，求某一時間段內(nèi)的路程和位移均用v(t)dt求解；(2)當v(t)<0時，求某一時間段內(nèi)的位移用v(t)dt求解，這一時段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為v(t)dt.例1一輛汽車的速度時間曲線如圖所示求汽車在這1 min行駛的路程解由速度時間曲線可知：v(t)因此汽車在這1 min行駛的路程是：s3tdt30dt(1.5t90)dtt2|30t|(t290t)|1 350 (m)答汽車在這1 min行駛的路程是1 350 m.反思與感悟(1)用定積分解決變速直線運動的位移和路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是關(guān)鍵(2)路程是位移的絕對值之和，因此在求路程時，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是

3、否恒正，若符號不定，應(yīng)求出使速度恒正或恒負的區(qū)間，然后分別計算，否則會出現(xiàn)計算失誤跟蹤訓練1一質(zhì)點在直線上從時刻t0(s)開始以速度v(t)t24t3(m/s)運動求：(1)在時刻t4時，該點的位置；(2)在時刻t4時，該點運動的路程解(1)由(t24t3)dt(2t23t)|知，在時刻t4時，該質(zhì)點離出發(fā)點m.(2)由v(t)t24t3>0，得t(0,1)(3,4)這說明t(1,3)時質(zhì)點運動方向與t(0,1)(3,4)時運動方向相反故s|t24t3|dt(t24t3)dt(4tt23)dt(t24t3)dt4.即在時刻t4時，該質(zhì)點運動的路程為4 m.探究點二變力做功問題思考恒力F沿

4、與F相同的方向移動了s，力F做的功為WFs，那么變力做功問題怎樣解決呢？答與求曲邊梯形的面積一樣，物體在變力F(x)作用下運動，沿與F相同的方向從xa到xb(a<b)，可以利用定積分得到WF(x)dx.例2如圖所示，一物體沿斜面在拉力F的作用下由A經(jīng)B、C運動到D，其中AB50 m，BC40 m，CD30 m，變力F(單位：N)，在AB段運動時F與運動方向成30°角，在BC段運動時F與運動方向成45°角，在CD段運動時F與運動方向相同，求物體由A運動到D所做的功(1.732，1.414，精確到1 J)解在AB段運動時F在運動方向上的分力F1Fcos 30°，

5、在BC段運動時F在運動方向上的分力F2Fcos 45°.由變力做功公式得：Wcos 30°dxcos 45°dx600|6004506001 723 (J). 所以物體由A運動到D變力F所做的功為1 723 J.反思與感悟解決變力做功注意以下兩個方面：(1)首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關(guān)鍵的一步(2)根據(jù)變力做功的公式將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題跟蹤訓練2設(shè)有一長25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長到30 cm，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功解設(shè)x表示彈簧伸長的厘米，F(xiàn)(x)表示加在彈簧上的力，設(shè)F(x)kx，依題意得x5時F

6、(x)100，k20，F(xiàn)(x)20x.彈簧由25 cm伸長到40 cm即x0到x15所做的功W20xdx10x2|2 250(N·cm)22.5(J)答使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功為22.5 J.1從空中自由下落的物體，在第一秒時刻恰經(jīng)過電視塔頂，在第二秒時刻物體落地，已知自由落體的運動速度為vgt(g為常數(shù))，則電視塔高為()A.g B.gC.g D2g答案C解析hgtdtgt2|g.2一列車沿直線軌道前進，剎車后列車速度v(t)270.9t，則列車剎車后前進多少米才能停車()A405 B540C810 D945答案A解析停車時v(t)0，由270.9t0，得t30，

7、sv(t)dt(270.9t)dt(27t0.45t2)|405.3一個彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力，把它從自然長度壓縮到比自然長度短5 cm，求彈簧克服彈力所做的功解設(shè)F(x)kx，因為彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力，k4.彈簧克服彈力所做的功為W4xdx4×(x2)|50(N·cm)0.5(J)呈重點、現(xiàn)規(guī)律1已知變速運動方程，求在某段時間內(nèi)物體運動的位移或者經(jīng)過的路程，就是求速度方程的定積分解這類問題需注意三點：(1)分清運動過程中的變化情況；(2)如果速度方程是分段函數(shù)，那么要用分段的定積分表示；(3)明確是求位移還是求路程，求位移可以正負抵消，求路程不能

8、正負抵消2利用定積分求變力做功問題，關(guān)鍵是求出變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間求變力做功時，要注意單位，F(xiàn)(x)單位：N，x單位：m.一、基礎(chǔ)過關(guān)1一物體沿直線以v2t1 (t的單位：s，v的單位：m/s)的速度運動，則該物體在12 s間行進的路程為()A1 m B2 mC3 m D4 m答案D解析s(2t1)dt(t2t)|4(m)2一物體從A處向B處運動，速度為1.4t m/s(t為運動的時間)，到B處時的速度為35 m/s，則AB間的距離為()A120 m B437.5 mC360 m D480 m答案B解析從A處到B處所用時間為25 s.所以|AB|1.4tdt0.7t2|43

9、7.5 (m)3以初速度40 m/s豎直向上拋一物體，t s時速度v4010t2，則此物體達到最高時的高度為()A. m B. mC. m D. m答案A解析v0時物體達到最高，此時4010t20，則t2 s.又v040 m/s，t00 s.h(4010t2)dt(40tt3)|(m)4如果1 N的力使彈簧伸長1 cm，在彈性限度內(nèi)，為了將彈簧拉長10 cm，拉力所做的功為()A0.5 J B1 JC50 J D100 J答案A解析由于彈簧所受的拉力F(x)與伸長量x成正比，依題意，得F(x)x，為了將彈簧拉長10 cm，拉力所做的功為WF(x)dxxdxx2|50 (N·cm)0.

10、5 (J)5一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與F(x)相同的方向，從x0處運動到x4(單位：m)處，則力F(x)做的功為()A44 J B46 JC48 J D50 J答案B解析WF(x)dx10dx(3x4)dx10x|(x24x)|46(J)6做直線運動的質(zhì)點在任意位置x處，所受的力F(x)1ex，則質(zhì)點沿著與F(x)相同的方向，從點x10處運動到點x21處，力F(x)所做的功是()A1e BeC. De1答案B解析WF(x)dx(1ex)dx(xex)|(1e)1e.二、能力提升7若1 N的力能使彈簧伸長2 cm，則使彈簧伸長12 cm時克服彈力所做的功為_答案0.36 J解析彈

11、簧的伸長與所受到的拉力成正比，設(shè)Fkx，求得k50，F(xiàn)(x)50x.W50xdx25x2|0.36 (J)8汽車以每小時32 km的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以加速度a1.8 m/s2剎車，則從開始剎車到停車，汽車所走的路程約為_(保留小數(shù)點后兩位)答案21.95 m解析t0時，v032 km/hm/s m/s.剎車后減速行駛，v(t)v0at1.8 t停止時，v(t)0，則1.8 t0，得t s，所以汽車所走的路程sv(t)dt|21.95(m)9把一個帶q電量的點電荷放在r軸上坐標原點處，形成一個電場，已知在該電場中，距離坐標原點為r處的單位電荷受到的電場力由公式Fk(其中k為常

12、數(shù))確定在該電場中，一個單位正電荷在電場力的作用下，沿著r軸的方向從ra處移動到rb(a<b)處，則電場力對它所作的功為_答案kk解析Wkdrk|kk.10.如圖所示，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置l m處，則克服彈簧力所做的功為_答案kl2 J解析在彈性限度內(nèi)，拉伸(壓縮)彈簧所需的力與彈簧拉伸(壓縮)的長度成正比，即F(x)kx，其中k為比例系數(shù)由變力做功公式得Wkxdxkx2|kl2(J)11一物體按規(guī)律xbt3作直線運動，其中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方，試求物體由x0運動到xa時，阻力所做的功解物體的速度vx(t)(bt3)3bt2，媒質(zhì)的阻力F阻kv2

13、k·(3bt2)29kb2t4(其中k為比例常數(shù)，k>0)當x0時，t0；當xa時，t().所以阻力所做的功為W阻F阻dxkv2·vdt9kb2t4·3bt2dt27kb3t6dtkb3t7|k·.故物體由x0運動到xa時，阻力所做的功為k·.12物體A以速度vA3t21(米/秒)在一直線上運動，同時物體B也以速度vB10t(米/秒)在同一直線上與物體A同方向運動，問多長時間物體A比B多運動5米，此時，物體A，B運動的距離各是多少？解依題意知物體A，B均作變速直線運動，所以可借助變速直線運動的路程公式求解設(shè)a秒后物體A比B多運動5米，則A從開始到a秒末所走的路程為sAvAdt(3t21)dta3a；B從開始到a秒末所走的路程為sBvBdt10tdt5a2.由題意得sAsB5，即a3a5a25，得a5.此時sA535130(米)，sB5×52125(米)故5秒后物體A比B多運動5米，此時，物體A，B運動的距離分別是130米和125米三、探究與拓展13有一動點P沿x軸運動，在時間t時的速度為v(t)8t2t2(速度的正方向與x軸正方向一致)求(1)P從原點出發(fā)，當t6時，求點P離開原點的路程和位移；(2)P從原點出發(fā)，經(jīng)