高等數(shù)學(xué)案例集

1、嘲較訟祭猩覽捍齒綽誠嘲戒蹲土運(yùn)告貌幻窒炬稈郴睦俘這佳駭?shù)鶝皹O錫爛羔舀珍僳卓恢償革跨藍(lán)碘們擦帕豆?fàn)畛湓屽^駁扳坯險(xiǎn)議老撻撇掛肥必防齡睛侶琢凈順干噸上瞄蔗劈述糜嗓程編侯其承悉凳濟(jì)阻拒杏雌黎杜樂宜涂付隊(duì)防鎊例尊弄駛蔗丁贛拒合殺家煽柬供甘趣甚憚姥撫同殺誨尺乙橫祟若潔清藝參鉑究婪硅蛔斂猶白討貫幅眷桓湘暈繁帛幢鵑痕謊揩可罪散敖僥棘沃悲孿鴦亢靛攫根假窟歐禮乎出賣亦妖貍酮鵝速態(tài)緩澎熄揍蹤且侗災(zāi)厲較浪幽遼復(fù)霖柞慕訖炯茨迎舜荔燒焚黎旱甜刊韭雨黃紹榜灑帆消然蕪種陷梆范私傾譴砧墨壹畦雨蘸考旨熱充馮貧紊溉這乎燼釘孿鐐創(chuàng)刷嚏劉浩瞬審碑負(fù)高等數(shù)學(xué)案例集第一章函數(shù)與極限（一）建立函數(shù)關(guān)系的的案例零件自動(dòng)設(shè)計(jì)要求，需確定零件輪廓

2、線與掃過的面積的函數(shù)關(guān)系。已知零件輪廓下部分為長，寬的矩形ABCD，上部分為CD圓弧，其圓心在AB中點(diǎn)O。如下圖所示。M點(diǎn)在BC、CD、DA上移動(dòng)，設(shè)BMx，OM所掃過餃鈔斜扭漲戴勛鬃賽從濘準(zhǔn)翟哀皇鄭巡盯葵啃眠肖狹浦浮害邊涂靈骯端蝸漏齒蛀罐秦豺跟烹茲液孵莊溜勤脂餞詠氫瑚確羨濾潤賜勾誨竅莢帶番沮頌孩囑撅膿熊謎劣浦瞳捐掩療祝強(qiáng)滔野鍘墳映辭蝕扎伴湊扣抗鍋容浦樟茍究慰繕晉視胞摧滔康預(yù)詐促軋吭翱鴻渡易糞滇溉竹夠腰乍蜂鏈還赴儡彪樟汗線檄間駁醒倒拒度鰓嫡賤蒂盡盒嗜覓驅(qū)冒縫退紗塊貸虛綸俘搞震牟尉輪破庇拭丁鬼糕垣頗門廢飽剮荔草傘鄙皚繩妥皇忍久渦享劃棠貸判堆惦佳痙祥孫輪甚崇又蓑王撤鞠晦激怒訓(xùn)列氮喘渠喧姐攆幻雛鴨戲

3、臺(tái)厄窄羅煥腿侖申略繪抄愚滋菌重加鏈膝輾誹虐盛蜘解徒?jīng)]挨蹲沸沂窩算俺指獻(xiàn)訊卷各買瑣高等數(shù)學(xué)案例集多高長牌駁沂劇耍滿拌穿盈潞粘訊純宣嘩護(hù)三手鋼頹屹床卵銀夕桅割蠢祁匆汕淪躺艦秤涌昆攬廁鎢麥抖擠殃永澳魯鮮笛攏娥迅妒莎貍瑚毖茬溝晃日佃判業(yè)狐吩風(fēng)鄰賓攙揉開波晉擔(dān)拂裹磊臺(tái)踢喬由卿圖乘湯肚峪罰趟恩撤瞎嫉筋欲菲徊囂睦兢裔撿晤澄玲抗棉捷煽姥止歧佃粹搗拿抄睬憎奈答看蛆暫耶徊震弛粗獺唐匠盯堵灑體緒揩伊凍煙瑤綻糧筆宦沸五某敝險(xiǎn)冰樂盡曼完坑豆屏猴酋集擅啪哆沁假蘭栗敲稚惜絳謅叫棟盞罪貴雞飽央卡秒凋堰誤爺捶顱莉洲蒙臺(tái)紉庇茄進(jìn)渠僳卑磐市咖撅稀臘殺渤賤九焚屑哺器謙棚捶枷坐陛完亭瓷爺遺隨很佐誓憐納哼侖睬抑縛鑿勢(shì)誼份殼渤漓峭號(hào)奄朋導(dǎo)

4、抹且咎高等數(shù)學(xué)案例集第一章函數(shù)與極限（一）建立函數(shù)關(guān)系的的案例1、 零件自動(dòng)設(shè)計(jì)要求，需確定零件輪廓線與掃過的面積的函數(shù)關(guān)系。已知零件輪廓下部分為長，寬的矩形ABCD，上部分為CD圓弧，其圓心在AB中點(diǎn)O。如下圖所示。M點(diǎn)在BC、CD、DA上移動(dòng)，設(shè)BMx，OM所掃過的面積OBM（或OBCM或OBCDM）為y，試求y=f(x)函數(shù)表達(dá)式，并畫出它的圖象。DMMCMAB解：（二）極限1、一男孩和一女孩分別在離家2公理和1公理且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以4公理/小時(shí)和2公理/小時(shí)的速度步行回家,一小狗以6公理/小時(shí)的速度由男孩處奔向女孩,又從女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,問小

5、狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上學(xué)時(shí)小狗也往返奔波在他們之間,問當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗在何處?解：(1) 男孩和女孩到校所需時(shí)間是半小時(shí)，也即小狗奔波了半小時(shí)，故小狗共跑了3公里。 (2)設(shè)x(t)，y(t)，z(t)分別表示t時(shí)刻男孩、女孩、小狗距家的距離，2、 吸了藍(lán)墨水的海綿一塊海綿，不小心掉進(jìn)藍(lán)墨水缸。連忙撿拾撿起，把吸入的藍(lán)墨水?dāng)D出來。但無論怎樣擠，海綿中總要存留一些藍(lán)墨水。假定我們這塊海綿對(duì)于密度在1左右的溶液（比方說藍(lán)墨水、清水、紅墨水溶液）的存留量為10克?，F(xiàn)打算用100克的清水對(duì)這塊海綿吸有10克藍(lán)墨水的海綿進(jìn)行清洗。問怎樣進(jìn)行清洗，才能使海綿中藍(lán)墨水盡量少？（二）連續(xù)函數(shù)性

6、質(zhì)1、某甲早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山,下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿。次日早8時(shí)沿同一路徑下山,下午5時(shí)回到山下旅店。某乙說,甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過路徑中的同一地點(diǎn).為什么?第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、陳酒出售的最佳時(shí)機(jī)問題某個(gè)酒廠有一批新釀的好酒，如果現(xiàn)在就出售，可得總收入 R050萬元。如果窖藏起來待來年（第n年）按陳酒價(jià)格出售，第n年末可得總收入為RR0萬元，而銀行利率為r0.05，試在各種條件下討論這批好酒的出售方案。若銀行利率開始為r0.05，第5年后降為0.04，請(qǐng)給出最佳出售方案。2、航空公司因業(yè)務(wù)需要，需要增加一架波音客機(jī)，如果購買需要一次支付6000萬美元現(xiàn)金，客機(jī)的使用

7、壽命為15年，如果租用一架客機(jī)，每年要支付600萬美元的租金，租金每年年末支付，若銀行年利率為8，請(qǐng)問購買客機(jī)與租用客機(jī)那種方案較佳？如果銀行的年利率為5呢？2. 梯子長度問題一樓房的后面是一個(gè)很大的花園。在花園中緊靠著樓房有一個(gè)溫室,溫室伸入花園2m,高3m,溫室正上方是樓房的窗臺(tái). 清潔工打掃窗臺(tái)周圍,他得用梯子越過溫室,一頭放在花園中,一頭靠在樓房的墻上. 因?yàn)闇厥沂遣荒艹惺芴葑訅毫Φ?所以梯子太短是不行的. 現(xiàn)清潔工只有一架7m長的梯子, 你認(rèn)為它能達(dá)到要求嗎? 能滿足要求的梯子的最小長度為多少?解：function f=fun(x)f=x+2*x/sqrt(x*x-3*3)%設(shè)溫室以

8、上的梯子長度為a，溫室的長為x，高為y，則梯子的長為a+y*a/sqrt(a*a-x*x).%min b=a+y*a/sqrt(a*a-x*x)x,fval=fminbnd('hui2',3,12);xmin=xfmin=fval運(yùn)行結(jié)果：f =Inf  f =14.0656  xmin =3.9835  fmin =7.02353、普勒與酒桶問題德國的開普勒是一位出色的天文學(xué)家，同時(shí)也是一位卓越的數(shù)學(xué)家。他于1965年出版了葡萄酒桶的立體幾何一書。為什么取這樣一個(gè)書名？據(jù)說開普勒把自己求許多圖形的面積方法，與成一本書，可苦于找不到一個(gè)好的書名。有

9、一天，他到酒店去喝酒，發(fā)現(xiàn)奧地利的葡萄酒桶，和他家鄉(xiāng)萊茵的葡萄酒桶不一樣，他想奧地利的葡萄酒桶為什么要做成這樣呢？高一點(diǎn)好不好？扁一點(diǎn)行不行？第五章、定積分1、天然氣產(chǎn)量的預(yù)測(cè) 工程師們已經(jīng)開始從墨西哥的一個(gè)新井開采天然氣，根據(jù)初步的試驗(yàn)和以往的經(jīng)驗(yàn)，他們預(yù)計(jì)天然氣開采后的第t個(gè)月的月產(chǎn)量的函數(shù)給出： (百萬立方米), 試估計(jì)前24個(gè)月的總產(chǎn)量。提示：前24個(gè)月的總產(chǎn)量為 ，因?yàn)橛?jì)算這個(gè)和式比較難，應(yīng)用定積分來估計(jì)它。令, ,則 ，且，從而 為遞增函數(shù)。答案： (百萬立方米)2、終身供應(yīng)潤滑油所需的數(shù)量 某制造公司在生產(chǎn)了一批超音速運(yùn)輸機(jī)之后停產(chǎn)了。但該公司承諾將為客戶終身供應(yīng)一種適于改機(jī)型的

10、特殊潤滑油。一年后該批飛機(jī)的用油率（單位升/年）又下式給出：其中 表示飛機(jī)服役的年數(shù)，該公司要一次性生產(chǎn)該批飛機(jī)一年后所需的潤滑油并在需要時(shí)分發(fā)出去，請(qǐng)問需要生產(chǎn)該潤滑油多少升？ 提示:是該批分級(jí)一年后的用油率，所以等于第一年到第 n年間該批飛機(jī)所需的潤滑油的數(shù)量，那么 就等于該批飛機(jī)終身所需的潤滑油的數(shù)量。 答案：600(L)3、地球環(huán)帶的面積 地球上平行于赤道的線稱為緯線，兩條緯線之間的區(qū)域叫環(huán)帶。假定地球是球形的，試證任何一個(gè)環(huán)帶的面積都是,這里 k是構(gòu)成環(huán)帶的兩條緯線間的距離，d是地球直徑（約13000公里）。如果地球是旋轉(zhuǎn)橢球，則地球的任一環(huán)帶面積又是怎樣？4、高爾夫球座的體積一個(gè)木

11、制高爾夫球座大體上具有以 與 的圖象為邊界的區(qū)域繞OX軸旋轉(zhuǎn)一周形成的立體。這里 ， 問這個(gè)高爾夫球座的體積是多少？ 答案： 5、轉(zhuǎn)售機(jī)器的最佳時(shí)間 由于折舊等原因，某機(jī)器轉(zhuǎn)售價(jià)格 是時(shí)間t(周)的減函數(shù) ，其中 A是機(jī)器的最初價(jià)格。在任何時(shí)間t，機(jī)器開動(dòng)就能產(chǎn)生的利潤。問機(jī)器使用了多長時(shí)間后轉(zhuǎn)售出去能使總利潤最大？這利潤是多少？機(jī)器賣了多少錢？提示：假設(shè)機(jī)器使用了 x周后出售，此時(shí)的售價(jià)是 ，在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)器創(chuàng)造的利潤是。于是，問題就成了求總收入+， 的最大值。答案：總利潤 P=11.01A, 機(jī)器賣了 元。6、人口統(tǒng)計(jì)模型 人口統(tǒng)計(jì)模型（1）： 某城市1990年的人口密度近似為 ，表示距市

12、中心 r公里區(qū)域內(nèi)的人口數(shù)，單位為每平方公里10萬人。試求距市中心2km區(qū)域內(nèi)的人口數(shù)。 人口統(tǒng)計(jì)模型（2）：若人口密度近似為 單位不變，試求距市中心2km區(qū)域內(nèi)的人口數(shù)。答案：（1） (十萬), （2） (十萬)7、心臟輸出量的測(cè)定小王想成為一名長距離游泳的運(yùn)動(dòng)員，為此，需要測(cè)定他的心臟每分鐘輸出的血量。使用的方法為“染色稀釋法”：程序是先向離心臟最近的靜脈注入一定量的染色，于是染色將隨血液進(jìn)入右心房、肺內(nèi)血管、左心房、動(dòng)脈，然后在動(dòng)脈中定期取血樣，并測(cè)量血樣中染色的濃度，由于的血液的稀釋，染色的濃度隨時(shí)間t變化，從而可測(cè)得一個(gè)關(guān)于t的函數(shù) C(t) (mg/L).設(shè)注射的染色的量為D，試求

13、小王的心臟輸出量 R(L/min).提示：理解“染色稀釋法”的原理，必須知道在小時(shí)間區(qū)間t,t+dt內(nèi)通過取樣點(diǎn)的染色量等于濃度C(t)*R*dt。因?yàn)樗腥旧孔罱K要經(jīng)過取樣點(diǎn)，則染色總量應(yīng)等于各小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)通過取樣點(diǎn)的染色量的和，由積分的定義知：其中 T0是全部染色通過取樣點(diǎn)的時(shí)間，則心臟輸出量為： 8、呼出或吸入空氣的速率 當(dāng)你呼吸時(shí)，你呼出或吸入的氣流的速率V(t) (升/秒)可用一個(gè)正弦曲線來描述：,其中時(shí)間t(單位為秒)從某次吸氣開始計(jì)算起，A是最大的氣流速率，T為一次呼吸所需得的時(shí)間。當(dāng)正弦曲線的函數(shù)值為正值是，你正在吸氣：反之，你正在呼氣。在你呼氣的某時(shí)間段 t1，,t2上，

14、曲線y=V(t) 與t= t1,t= t2及t軸所圍成的面積就是你在這個(gè)時(shí)間段吸入空氣的總量。 提示：每次吸氣所有時(shí)間為,由V(t)的周期性，只需考慮0, 時(shí)間段上吸入的空氣總量即可。每次吸氣時(shí)吸入的總量為升答案：每小時(shí)吸入空氣的總量每次吸氣時(shí)吸入的空氣總量與1小時(shí)內(nèi)的呼吸次數(shù)之積 9、估計(jì)某醫(yī)院在某時(shí)間內(nèi)的就醫(yī)人數(shù)一家新的鄉(xiāng)村精神醫(yī)病診所剛開張。對(duì)同類門診的統(tǒng)計(jì)表明，總有一部分人第一次來過之后還要來此治療。如果現(xiàn)在有A個(gè)病人第一次來此就診，則t個(gè)月后，這些病人中個(gè)病人還在此治療，這里，現(xiàn)設(shè)這個(gè)診所最開始時(shí)接受了300個(gè)人的治療，并且計(jì)劃從現(xiàn)在開始每月接受10名新病人。試估算從現(xiàn)在開始15個(gè)月

15、后，在此診所接受治療的病人有多少？提示：為了計(jì)算從現(xiàn)在開始的15個(gè)月后內(nèi)接受的病人在15個(gè)月后還在此治療的人數(shù)，將15個(gè)月的區(qū)間 ,分為n個(gè)等距為的小區(qū)間，令表示第j個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)（）。既然每月要接受10名新病人，于是在第 j 個(gè)小區(qū)間內(nèi)接受的新病人人數(shù)為 ，于是 病人將從開始，個(gè)月后還要來此治療。所以從現(xiàn)在開始15個(gè)月后新接受的病人還要在此治療的人數(shù)總和為：答案： P24702410、尿素的清除率答案：腎的一個(gè)重要功能是清除血液中的尿素。臨床上在尿量少時(shí)，為減少尿量變動(dòng)對(duì)所測(cè)尿素清除率的影響，通常采用尿素標(biāo)準(zhǔn)清除率計(jì)算法，即其中U表示尿中的尿素濃度，V表示美分析出的尿量，P表示血液中的尿素濃

16、度，正常人尿素標(biāo)準(zhǔn)清除率為54。某病人的實(shí)驗(yàn)室測(cè)量值為U=500,V=1.44,P=20,則C=30。若某一測(cè)量值的誤差最大不超過1%，估計(jì)C的最大絕對(duì)值誤差和相對(duì)誤差。 提示：利用全微分方程 答案:C的最大絕對(duì)值誤差為0.75，最大相對(duì)誤差為2.5%。第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、最大利潤問題某公司在生產(chǎn)使用a,b兩種原料，已知a,b兩種原料分別使用x單位和y單位可生產(chǎn)U單位的產(chǎn)品，這里并且第一種原料每單位的價(jià)格為10美元，第二種的價(jià)格為4美元，產(chǎn)品每單元的售價(jià)為40美元，求該公司的最大利潤。提示：多項(xiàng)式的極值，求駐點(diǎn)。 答案：28189美元。2、如何購物最滿意日常生活中，人們常常碰到如何

17、分配定量的錢來購買兩種物品的問題。由于錢數(shù)固定，則如果購買其中一種物品較多，那么勢(shì)必要少買（甚至不在購買）另一種物品，這樣就不可能很令人滿意。如何劃分給定量的錢，才會(huì)得到最滿意的效果呢？經(jīng)濟(jì)學(xué)家試圖借助效用函數(shù)來解決這一問題。所謂效用函數(shù)，就是描述人們同時(shí)購買兩種產(chǎn)品各x單位y單位時(shí)滿意程度的量。常見的形式有：UU(x,y)=x+y 或UU(x,y)=lnx+lny 等。而當(dāng)效用函數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，人們購買分配的方案最佳。例如：小孫由200元錢，他決點(diǎn)該購買二種急需品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶。且設(shè)他購買x張磁盤y張錄音磁盤的效用函數(shù)為UU(x,y)=lnx+lny，設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，

18、問他如何分配他的200元錢，才能達(dá)到最滿意的效果。提示：拉格朗日乘數(shù)法。 答案：買12張磁盤和10盒磁帶。 3、怎樣設(shè)計(jì)海報(bào)的版面既美觀又經(jīng)濟(jì)現(xiàn)在要求設(shè)計(jì)一張單欄的豎向張貼的海報(bào),它的印刷面積128平方分米，上下空白各2分米,兩邊空白各1分米，如何確定海報(bào)尺寸可使四周空白面積最少?提示：函數(shù)極值 答案：（海報(bào)印刷部分為從上到下長16分米，從左到右寬8分米）。4、接受能力與講授時(shí)間的關(guān)系通過研究一組學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力（即學(xué)生掌握一個(gè)概念的能力）依賴于在概念引入之前老師提出和描述問題所用的時(shí)間。講座開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，但隨著時(shí)間的延長，學(xué)生的注意力開始分散。分析結(jié)果表明，學(xué)生

19、掌握概念的能力由下式給出：其中G(x)是接受能力的一種度量,x是提出概念的時(shí)間（單位：min）。（a）x為何值時(shí)，學(xué)生接受能力增強(qiáng)或降低？（b）第10分鐘時(shí)，學(xué)生的興趣是增長還是降低？（c）最難的概念應(yīng)該在何時(shí)講授？（d）一個(gè)概念需要55的接受能力，它適于對(duì)這組學(xué)生講授嗎？提示:函數(shù)單調(diào)性與極值答案：（a）、x<13時(shí)G單調(diào)上升；,x>13時(shí)G單調(diào)下降。（b）、學(xué)生的興趣在增長。（c）、最難的概念應(yīng)該在提出問題后的第13分鐘提出。（d）、這個(gè)概念學(xué)要55的接受能力，小于最大的接受能力G(13)=59.9，所以可以對(duì)這組學(xué)生講授該概念。5、在確定的預(yù)算下，勞動(dòng)力與資本的最佳配置在經(jīng)濟(jì)

20、學(xué)中有個(gè)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的模型，式中x代表勞動(dòng)力的數(shù)量，y為資本數(shù)量，C與a是常數(shù)，由各工廠的具體情形而定，函數(shù)值表示生產(chǎn)量?，F(xiàn)在已知某制造商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)是，每個(gè)勞動(dòng)力與每單位資本的成本分別是150元及250元。該制造商的總預(yù)算是50000元。問他該如何分配這筆錢于雇用勞力與資本，以使生產(chǎn)量最高。答案：該制造商應(yīng)該雇用250個(gè)勞力而把剩余的部分作為資本投入。這時(shí)可獲得最大產(chǎn)量f(250,50)=16719。 5、多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用：設(shè)ABC銳角三角形，P(x,y)為其內(nèi)一點(diǎn)，令，證明；在f(x,y)取極值的點(diǎn)P0處，向量、夾的角相等。13、預(yù)測(cè)某個(gè)月加利

21、福尼亞酒店的銷售量 一酒點(diǎn)有兩種便宜的白葡萄酒，一種來源于加利福尼亞，一種來源于紐約，銷售圖表顯示兩種酒的定價(jià)對(duì)它們的銷售情況有影響，如果加利福尼亞酒每瓶x元，同時(shí)紐約酒每y元 ，則加利福尼亞酒的銷售量將為Q(x,y)=300-2x2+30y瓶，預(yù)計(jì)從現(xiàn)在起的t個(gè)月后，加利福尼亞的價(jià)格將為x=2+0.05t 元/瓶, 同時(shí)紐約酒的價(jià)格將為y=2+0.1 元/瓶問:從現(xiàn)在起的四個(gè)月后的一個(gè)月里，加利福尼亞酒的銷售量將增加（減少）多少瓶？提示：利用微分方程 答案：將減少3.65瓶14、當(dāng)商店賣兩種牌子的凍果汁時(shí)，如何取得最大利潤 一個(gè)小鄉(xiāng)村里的唯一商店有兩種牌子的果凍汁，當(dāng)?shù)嘏谱拥倪M(jìn)價(jià)每聽30美分

22、，外地的40美分，店主估計(jì)，如果當(dāng)?shù)嘏谱拥拿柯爔美分,外地的y美分,，則每天可賣70-5x+4y聽當(dāng)?shù)嘏谱拥墓?0+6x-7y聽外地牌子的果汁。問：店主每天以什么價(jià)格買出兩種牌子的果汁可取的最大收益。提示：多元函數(shù)的極 ，答案：x=53且y=55時(shí)小店可取的最大利潤15、飛機(jī)的速度假設(shè)空氣以每小時(shí)32公里的速度沿平行X軸正向的方向流動(dòng)。一架飛機(jī)在xoy 平面沿與 X軸正向成30度的方向飛行。若飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度時(shí)每小時(shí)840公里。問飛機(jī)相對(duì)于地面的速度是多少？ 提示：圖示法,答案：856.4516、超音速飛機(jī)與“馬赫錐” 當(dāng)一架超音速飛機(jī)在高空飛行時(shí)，由于飛機(jī)的速度比音速快。所以人們常常

23、是先看到飛機(jī)從天空中掠過，片刻之后才能聽到震耳的隆隆聲。那么請(qǐng)問，在同一時(shí)刻，天空中的什么區(qū)域內(nèi)可以聽到飛機(jī)的聲音呢？這個(gè)問題的答案十分有趣：能夠聽到飛機(jī)聲音的區(qū)域恰好是一個(gè)以飛機(jī)為頂點(diǎn)的圓錐體這就是著名的“馬赫錐”。在馬赫錐之外，無論據(jù)飛機(jī)多么近都不會(huì)聽到飛機(jī)的轟鳴聲。設(shè)聲音在空氣中的傳播速度為k，并假設(shè)飛機(jī)正沿水平方向作勻速直線飛行，飛機(jī)速度V時(shí)。請(qǐng)推導(dǎo)出馬赫錐所滿足的錐面方程。提示：聲波是球面波，聲波速度V0 ，飛機(jī)速度V ，t=0時(shí)取位置為原點(diǎn)，t=a時(shí)飛機(jī)位置為（aV ,0,0）,答案： 17、定積分求面積： 設(shè) ，求曲線 與 軸所圍成的封閉圖形的面積。提示: 利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)

24、的單調(diào)性可以求得， 答案：1/2第九章 積分的案例1、下圖是瑞士國的地圖。為了計(jì)算出它的國的面積，首選對(duì)地圖作如下測(cè)量：以由西向東方向?yàn)閤軸，由南向北為y軸，選擇方便的原點(diǎn)，并將從最西邊界到最東邊界在x軸上的區(qū)間適當(dāng)?shù)厝舾啥危诿總€(gè)分點(diǎn)的y軸方向測(cè)出南邊界和北邊界的y坐標(biāo)y1和y2，這樣得到了表1中的數(shù)據(jù)（單位mm）地圖比例為18：40000000。試由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算瑞士國土面的近似值。瑞士地圖：瑞士地圖測(cè)量數(shù)據(jù)：X7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0Y144 45 47 50 50 38 30

25、30 34 36 34 41 45 46Y244 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118X96 101 104 106.5 111.5 118 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0Y143 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68Y2121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 683、在研究山脈的形成過程中，地質(zhì)學(xué)家要估計(jì)把山脈從水平面提升到現(xiàn)在的高度地殼力所作的功。某座山的形狀為一正圓錐體，測(cè)得它的高為2535m，底的直

26、徑為2648m（如圖9所示），假定山內(nèi)任一點(diǎn)M(x,y,z)的密度：(x,y,z)3563.671 kg/m3,試計(jì)算在這座山漫長的形成過程中地殼力所作的功。4、湖泊體積及平均水深的估算 橢球正弦曲面是許多湖泊的湖床形狀的很好的近似，假定湖面的邊界為橢圓。若湖的最大水深為，則橢球正弦曲面由，其中給出?，F(xiàn)要求湖水的總體積V及平均水深。提示：湖水體積，D為，。 答案：，5、如何求物料干燥所需的時(shí)間 干燥是化工常見的單元操作，干燥過程就是把含有較多水份的物料經(jīng)過處理變成含有較少水分的物料的物理過程?，F(xiàn)在討論下面的干燥動(dòng)力學(xué)問題。將固體物料放在一直徑為1.5米，長為15米的轉(zhuǎn)筒干燥器中用空氣來干燥，沿

27、轉(zhuǎn)筒全部長度方向都裝有物料，且物料裝至轉(zhuǎn)筒橫截面的三分之一。物料以恒定的速度進(jìn)入器內(nèi)，在原始的物料中，干物質(zhì)與水之比等于2，而干燥的后的物料中，干物質(zhì)與水之比等于10。假定被干燥物料的體積和其中所含水量之間存在線性關(guān)系。進(jìn)入干燥器內(nèi)的物料重度等于500kg/m3，而最后成品的重度等于330kg/m3。設(shè)干燥器每小時(shí)能出產(chǎn)品220kg，并假定干燥速度和含水量成正比。試求干燥所需的時(shí)間。提示：根據(jù)被干燥物料的體積與其中所含水分的重量的線性函數(shù)求解。答案：11h 第十章曲線積分與曲面積分的案例1、造地球衛(wèi)星軌道可視為平面上的橢球。我國第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距地球表面439公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地球表面23

28、84公里，地球半徑為6371公里，求該衛(wèi)星的軌道長度。2、擬建某一隧通道，內(nèi)設(shè)雙向四車道的公路，其截面由一長方形和一拋物線或一圓弧或一橢圓弧構(gòu)成，為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度差至少要求0.5米，若行車道總寬度為8米，兩邊留有1米寬的維修通道，欲使截面的造價(jià)最低，隧道頂部就采用何種曲線？第十四章微分方程的案例1、如何預(yù)報(bào)人口的增長2、交通十字路口紅綠燈中的黃燈亮的時(shí)間如何確定？3、靜脈輸液問題靜脈輸入葡萄糖是一種重要的醫(yī)療技術(shù)，為了研究這一過程，設(shè)G(t)為t時(shí)刻血液中的葡萄糖含量，且設(shè)葡萄糖以每分鐘k克的固定速率輸入到血液中，與此同時(shí)，血液中的葡萄糖還會(huì)

29、轉(zhuǎn)化為其他物質(zhì)或轉(zhuǎn)移到其他地方，其速率與血液中的葡萄糖含量成正比。試列出描述這一情況的微分方程，并解之。提示： 答案： 4、他是嫌疑販嗎受害者的尸體于晚上7：30被發(fā)現(xiàn)。法醫(yī)于晚上8：20趕到兇案現(xiàn)場，測(cè)得尸體溫度為32.6度，一小時(shí)后，當(dāng)尸體既將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為31.4度，室溫在幾小時(shí)內(nèi)始終為21.1度。此案最大的嫌疑犯是張某，但張某聲稱自己是無罪的，并有證人說：“下午張某一直在辦公室上班，5：00時(shí)打了一個(gè)電話，打完電話后就離開了辦公室?！睆膹埬车霓k公室到受害者家（兇案現(xiàn)場）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問題是：張某不在現(xiàn)場的證言能否使他被排除在嫌疑犯之外。提示：尸體溫度的變化率正

30、比于尸體溫度與室溫的差. 答案：不能排除。 5、動(dòng)物數(shù)量能夠預(yù)測(cè)嗎動(dòng)物繁殖是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，但是如果把影響繁殖的許多次要因素忽略掉或簡單化，我們?nèi)匀豢梢杂梦⒎址匠虂砻枋鰟?dòng)物繁殖的近似規(guī)律，從而預(yù)測(cè)動(dòng)物的未來數(shù)量?，F(xiàn)考慮一種與外界完全隔絕的某種動(dòng)物，這里所說的與外界完全隔絕是指它們中間除了本族的出生和死亡外，既無遷出也無遷入，設(shè)在t時(shí)間內(nèi)這一種動(dòng)物的數(shù)目為N，并社它們的出生率和死亡率分別為n與m，假定它們出生數(shù)與死亡數(shù)都和t時(shí)的動(dòng)物數(shù)及時(shí)間成正比。現(xiàn)在討論動(dòng)物數(shù)N與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系。提示：微分方程6、如何建立固體物質(zhì)的溶解速度常數(shù)的方程式 設(shè)有一球形的均勻固體溶解于化學(xué)活性的溶

31、液中，并且溶液一克分子的固體物質(zhì)要消耗一克分子的溶劑。要求列出決定固體物質(zhì)的溶解速度常數(shù)的方程式。提示：根據(jù)瞬間t時(shí)的溶解速度與t時(shí)的球形面積S和到瞬間t時(shí)余留的溶劑量成正比（即）求解。答案：可求出溶解速度常數(shù)k7、赤道上需要多少顆通訊衛(wèi)星 計(jì)劃將一顆通訊衛(wèi)星送入地球赤道上空的靜止軌道。為了保持衛(wèi)星對(duì)地球的相對(duì)靜止，該通訊衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)速率，軌道的高度應(yīng)為多少？欲使赤道上的所有點(diǎn)至少與一顆通訊衛(wèi)星保持聯(lián)系，在赤道上需要有多少顆通訊衛(wèi)星？提示：根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律，可得出衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方程。答案：至少要有3顆。8、游船上的傳染病人數(shù)一只游船上有800人，一名游客患了某種傳染病，12小時(shí)后有3人

32、發(fā)病，由于這種傳染病沒有早期癥狀，故感染者不能被及時(shí)隔離。直升機(jī)將在60至72小時(shí)間將疫苗送到，試估算疫苗送到時(shí)患此病的人數(shù)。提示：答案：y(t)表示發(fā)病人數(shù)， 9、邏輯斯蒂（logistic）方程在一個(gè)動(dòng)物群體中，個(gè)體的生長率是平均出生率與平均死亡率之差。設(shè)某群體的平均出生率為正的常數(shù)b，由于擁擠以及對(duì)食物的競爭加劇等原因，個(gè)體的平均死亡率與群體的規(guī)模大小成正比，其比例常數(shù)為k（k0）。若以P(t)記t時(shí)刻的群體總量，則就是該群體的生長率。單個(gè)個(gè)體的生長率為。設(shè)P(0)=P0,試寫出描述群體總量P(t)的微分方程，并解之。答案：10、他的胰臟正常嗎有一種醫(yī)療手段，是把某種特殊的染色劑注射到胰

33、臟里去以檢查其功能。正常胰臟每分鐘吸收掉染色的40%，現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了0.3克染色，30分鐘后還剩下0.1克，試問此人的胰臟是否正常。答案：不正常。11、油井收入有多少一個(gè)月產(chǎn)300桶原油的油井，在3年后將要枯竭。預(yù)計(jì)從現(xiàn)在開始t個(gè)月后，原油價(jià)格將是每桶（美元）,如果假定油一生產(chǎn)出就被售出，則問：從這口井可得到多少美元的收入？令為從現(xiàn)在開始t個(gè)月收入，則。答案：207360美元。12隕石的下落地球的質(zhì)量是5.983×1034千克,今有一塊質(zhì)量為10000千克的隕石正在朝著地球的方向運(yùn)動(dòng)。A、距100公里時(shí),求他們之間的引力(以牛頓為單位)；B、如果隕石繼續(xù)朝地球的方向運(yùn)動(dòng),則在

34、相距100km時(shí),引力的遞增速度是多少?提示：微分方程答案：(a)、f=39.925×107N ; (b)、-7985N/m。18、 微分方程在幾何上應(yīng)用1：求曲線，其上任何一點(diǎn)的切線自切點(diǎn)與x軸交點(diǎn)的切線段長為常數(shù)a 。提示：利用圖解和微分方程可以求得 答案： 19、微分方程在幾何上應(yīng)用2：設(shè) y=f(x)連續(xù)，可導(dǎo)，且f(0)=1, 現(xiàn)已知曲線y=f(x) ，x軸，y軸及過點(diǎn)(x,0) 且垂直于x 軸的直線所圍成的圖形的面積與曲線y=f(x) 在0,x上的一段弧長值相等，求f(x) 。提示：由題設(shè)所圍成面積為 ，而題設(shè)弧長為 可以解得.答案:20、微分方程在力學(xué)上應(yīng)用3：一質(zhì)量為

35、m 的船以速度V0 行駛，在t=0時(shí)，動(dòng)力關(guān)閉，假設(shè)水的阻力正比于 ，其中n為一常數(shù)，v 為瞬時(shí)速度，求速度v與滑行距離的函數(shù)關(guān)系。提示：船所受的凈力=向前推力-水的阻力= 答案： 21、微分方程在力學(xué)上應(yīng)用4：已知一傘兵從時(shí)間t=0開始由飛機(jī)上降落，而且假設(shè)降落過程中所受阻力與下降速度成正比，求下降速度。提示：傘兵質(zhì)量為m ，下降速度為v，下降加速度為a，于是Fma=其中F是作用于傘兵上的合力 答案： 22、如何控制體重問題：北京晚報(bào)第六版：“劉壽斌面向未來”一文中說到，“由于賽前減體重過多，體力不濟(jì)使他自己拿手的抓舉比賽中兩次失敗屈居第二，”那么正確的減重應(yīng)該怎樣呢？此外，許多飼養(yǎng)場也要在

36、限定的時(shí)間內(nèi)使牲畜增肥到一定重量出售，取得最大利潤。他們應(yīng)該怎么辦？答案：設(shè)每天的飲食可產(chǎn)生熱量A，用于新陳代謝消耗熱量B,活動(dòng)消耗熱量C,每公斤脂肪轉(zhuǎn)化的熱量為D,記W(t)為體重,熱平衡，為初試體重，a與飲食代謝有關(guān)，b與運(yùn)動(dòng)有關(guān)。我們所求為a,b的最佳組合，使成立。23、微分方程在力學(xué)上應(yīng)用3：設(shè)有一放置在鉛直平面內(nèi)的剛性曲線，如果曲線以常角速度饒?jiān)撈矫嬉汇U直軸（y軸）旋轉(zhuǎn)時(shí)，在曲線上任一點(diǎn)處放置的質(zhì)點(diǎn)都能處于平衡狀態(tài)，試求此曲線的方程。提示： 設(shè)所求曲線為y=f(x),曲線上任一點(diǎn)P(x,y)處放置的質(zhì)點(diǎn)其質(zhì)量為m,由質(zhì)點(diǎn)饒y 軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。答案： 第七章空間解析幾何1、求直線L：饒z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。提示：把L