高中數(shù)學(xué)教案

1、正弦定理 一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一課時，是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應(yīng)用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。根據(jù)實際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個層次：第一層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引

2、例，最后進行簡單的應(yīng)用。學(xué)生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察實驗猜想證明應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。二、學(xué)情分析對普高高二的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。三、設(shè)計思想：本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向

3、設(shè)計教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。四、教學(xué)目標(biāo)：1讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā), 通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。2通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題

4、、分析問題、解決問題的能力，增強學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。3通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。4培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。五、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應(yīng)用。教學(xué)難點：正弦定理的猜想提出過程。教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計算器，直尺，量角器。六、教學(xué)過程：（一）結(jié)合實例，激發(fā)動機師生活動：教師：

5、展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？學(xué)生：思考提出測量角A，C 教師：若已知測得， ，要計算A、B兩地距離，你 （圖1）有辦法解決嗎？學(xué)生：思考交流，畫一個三角形，使得為6cm， ，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為490m。老師：對，很好，在初中，我們學(xué)過相似三角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎？師生：共同回憶解直角三角形，直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。教師：引導(dǎo)，是

6、斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？學(xué)生：思考，交流，得出過作于如圖2，把分為兩個直角三角形，解題過程，學(xué)生闡述，教師板書。解：過作于在中，在中，教師：表示對學(xué)生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若，能否用、表示呢？教師：引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過程。學(xué)生：發(fā)現(xiàn)，教師：引導(dǎo)，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生：發(fā)現(xiàn)即然有，那么也有，。教師：引導(dǎo)，我們習(xí)慣寫成對稱形式，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？設(shè)計意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學(xué)生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引

7、導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結(jié)論猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。（二）數(shù)學(xué)實驗，驗證猜想教師：給學(xué)生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗是否成立，舉出特例。（1）在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1，對應(yīng)角的正弦值分別為，引導(dǎo)學(xué)生考察，的關(guān)系。（學(xué)生回答它們相等） （2）、在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：，對應(yīng)角的正弦值分別為，1；（學(xué)生回答它們相等） （3）、在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：2，對應(yīng)角的正弦值分別為，1。（學(xué)生回答它們相

8、等）（圖3） （圖3）教師：對于呢？學(xué)生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則有，又,則從而在直角三角形ABC中，教師：那么任意三角形是否有呢？學(xué)生按事先安排分組，出示實驗報告單，讓學(xué)生閱讀實驗報告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學(xué)生沒有問題，教師讓學(xué)生動手計算，附實驗報告單。）學(xué)生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數(shù)值，通過實驗數(shù)據(jù)計算，比較、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、值仍然保持相等。我們猜想：=設(shè)計意圖：讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)實驗，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進行實驗，體會到數(shù)學(xué)實驗的歸

9、納和演繹推理的兩個側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理師生活動：教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實驗，多媒體技術(shù)支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個代表總結(jié)。（以下證明過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進行敘述）學(xué)生：思考得出在中，成立，如前面檢驗。在銳角三角形中，如圖5設(shè)，作：，垂足為在中，（圖5）在中，同理，在中， 在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，作交的延長線于在中，在中，同銳角三角形證明可知 教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，=等式中均除以后可得， 即。教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時板書證明過程。 在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學(xué)生：得到三角形面積公式教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、都等于同一個比值，那么它們也相等，這個到底有沒有什么特殊幾何意義呢？學(xué)生：在前面的檢驗中，中，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。證明：連續(xù)并延長交圓于， 在中，即同理可證：，教師：從剛才的證明過程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過“作高