高中數(shù)學(xué)——期望方差學(xué)習(xí)

1、一、基本知識(shí)概要：1、 期望的定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為x1x2x3xnPP1P2P3Pn則稱(chēng)E=x1P1+x2P2+x3P3+xnPn+為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，簡(jiǎn)稱(chēng)期望。它反映了:離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。若=a+b(a、b為常數(shù))，則也是隨機(jī)變量，且E=aE+b。 E(c)= c特別地，若B(n，P)，則E=nP2、 方差、標(biāo)準(zhǔn)差定義：D=(x1-E)2·P1+(x2-E)2·P2+(xn-E)2·Pn+稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差。D的算術(shù)平方根=叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了:隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。且

2、有D(a+b)=a2D,可以證明D=E2- (E)2。若B(n，p)，則D=npq，其中q=1-p.3、特別注意：在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望和方差時(shí)，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要準(zhǔn)確應(yīng)用公式，特別是充分利用性質(zhì)解題，能避免繁瑣的運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度?？键c(diǎn)一 期望與方差例1：設(shè)隨機(jī)變量具有分布P(k)，k1,2,3,4,5，求(2)2，例2：有甲、乙兩個(gè)建材廠，都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè)，為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指數(shù)如下：110120125130135 P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.

3、10.20.40.10.2其中和分別表示甲、乙兩建材廠材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不低于120的條件下，比較甲、乙兩建材廠材料哪一種穩(wěn)定性較好考點(diǎn)二 離散型隨機(jī)變量的分布、期望與方差例3：如圖，一個(gè)小球從M處投入，通過(guò)管道自上而下落到A或B或C。已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為1，2，3等獎(jiǎng)。（）已知獲得1，2，3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50%，70%，90%。記隨機(jī)變量為獲得k（k=1，2，3）等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量的分布列及期望E ；（）若有3人次（投入1球?yàn)?人次）參加促銷(xiāo)活動(dòng)，記隨

4、機(jī)變量為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的人次，求P(=2). 2、某同學(xué)參加3門(mén)課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為，第二、第三門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為，()，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立。記為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù)，其分布列為0123()求該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率；()求，的值；()求數(shù)學(xué)期望。開(kāi)鎖次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差例 有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能把大門(mén)上的鎖打開(kāi)用它們?nèi)ピ囬_(kāi)門(mén)上的鎖設(shè)抽取鑰匙是相互獨(dú)立且等可能的每把鑰匙試開(kāi)后不能放回求試開(kāi)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差次品個(gè)數(shù)的期望例 某批數(shù)量較大的商品的次品率是5，從中任意地連續(xù)取出10件，為

5、所含次品的個(gè)數(shù)，求根據(jù)分布列求期望和方差例 設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，求值，并求101P產(chǎn)品中次品數(shù)分布列與期望值例 一批產(chǎn)品共100件，其中有10件是次品，為了檢驗(yàn)其質(zhì)量，從中以隨機(jī)的方式選取5件，求在抽取的這5件產(chǎn)品中次品數(shù)分布列與期望值，并說(shuō)明5件中有3件以上（包括3件）為次品的概率（精確到0001）評(píng)定兩保護(hù)區(qū)的管理水平例 甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類(lèi)和數(shù)量也大致相等而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：01230.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)：0120.10.50.4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平射擊練習(xí)中

6、耗用子彈數(shù)的分布列、期望及方差例 某射手進(jìn)行射擊練習(xí)，每射擊5發(fā)子彈算一組，一旦命中就停止射擊，并進(jìn)入下一組的練習(xí)，否則一直打完5發(fā)子彈后才能進(jìn)入下一組練習(xí)，若該射手在某組練習(xí)中射擊命中一次，并且已知他射擊一次的命中率為0.8，求在這一組練習(xí)中耗用子彈數(shù)的分布列，并求出的期望與方差（保留兩位小數(shù)）準(zhǔn)備禮品的個(gè)數(shù)例 某尋呼臺(tái)共有客戶3000人，若尋呼臺(tái)準(zhǔn)備了100份小禮品，邀請(qǐng)客戶在指定時(shí)間來(lái)領(lǐng)取假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎(jiǎng)的概率為4問(wèn)：尋呼臺(tái)能否向每一位顧客都發(fā)出獎(jiǎng)邀請(qǐng)？若能使每一位領(lǐng)獎(jiǎng)人都得到禮品，尋呼臺(tái)至少應(yīng)準(zhǔn)備多少禮品？分析：求時(shí)，由題知前次沒(méi)打開(kāi)，恰第k次打開(kāi)不過(guò)，一般我們應(yīng)從簡(jiǎn)單的地方入手，如

7、，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，推廣到一般解：的可能取值為1，2，3，n；所以的分布列為：12kn； 分析：數(shù)量較大，意味著每次抽取時(shí)出現(xiàn)次品的概率都是0.05，可能取值是：0，1，2，1010次抽取看成10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以抽到次品數(shù)服從二項(xiàng)分布，由公式可得解解：由題，所以說(shuō)明：隨機(jī)變量的概率分布，是求其數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵因此，入手時(shí)，決定取哪些值及其相應(yīng)的概率，是重要的突破點(diǎn)此題，應(yīng)覺(jué)察到這是分析：根據(jù)分布列的兩個(gè)性質(zhì)，先確定q的值，當(dāng)分布列確定時(shí)，只須按定義代公式即可解： 離散型隨機(jī)變量的分布滿足（1）（2）所以有解得 故的分布列為101P小結(jié)：解題時(shí)不能忽視條件時(shí)，否則取了的值后，辛辛苦苦計(jì)算得到的是兩個(gè)

8、毫無(wú)用處的計(jì)算分析：根據(jù)題意確定隨機(jī)變量及其取值，對(duì)于次品在3件以上的概率是3，4，5三種情況的和解：抽取的次品數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為，顯然可以取從0到5的6個(gè)整數(shù)抽樣中，如果恰巧有個(gè)（）次品，則其概率為按照這個(gè)公式計(jì)算，并要求精確到0001，則有故的分布列為012345P0.5830.3400.0700.00700由分布列可知，這就是說(shuō)，所抽取的5件品中3件以上為次品的可能性很小，只有7分析：一是要比較一下甲、乙兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件的次數(shù)的均值，即數(shù)學(xué)期望；二是要看發(fā)生違規(guī)事件次數(shù)的波動(dòng)情況，即方差值的大?。ó?dāng)然，亦可計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差，同樣說(shuō)明道理）解：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和

9、方差為：乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差為：；因?yàn)?，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)平均次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng)（標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)值在科學(xué)計(jì)算器上容易獲得，顯然，）說(shuō)明：數(shù)學(xué)期望僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，但有時(shí)僅知道均值大小還是不夠的，比如：兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等了（即數(shù)學(xué)期望值相等），這就還需要知道隨機(jī)變量的取值如何在均值周期變化，即計(jì)算其方差（或是標(biāo)準(zhǔn)差）方差大說(shuō)明隨機(jī)變量取值分散性大；方差小說(shuō)明取值分散性小或者說(shuō)取值比較集中、穩(wěn)定分析：根據(jù)隨機(jī)變量不同的取值確定對(duì)應(yīng)的概率，在利用期望和方差的定義求解解： 該組練習(xí)耗用的子彈數(shù)為隨機(jī)變量，可以取值為1，2，3，4，51，表示一發(fā)即中，故概率為2，表示第一發(fā)未中，第二發(fā)命中，故3，表示第一、二發(fā)未中，第三發(fā)命中，故4，表示第一、二、三發(fā)未中，第四發(fā)命中，故5，表示第五發(fā)命中，故因此，的分布列為12345P0.80.160.0320.00640.0016說(shuō)明：解決這類(lèi)問(wèn)題首先要確定隨機(jī)變量的所有可能取值，然后再根據(jù)概率的知識(shí)求解對(duì)應(yīng)的概率分析：可能來(lái)多少人，是一個(gè)隨機(jī)變量而顯然是服從二項(xiàng)分布的，用數(shù)學(xué)期望來(lái)反映平均來(lái)領(lǐng)獎(jiǎng)人