量空間的定義與極限

1、第一章 度量空間若在實(shí)數(shù)集中點(diǎn)列的極限是時(shí)，我們使用來(lái)表示和的接近程度，事實(shí)上，可表示為數(shù)軸上和這兩點(diǎn)間的距離，那么實(shí)數(shù)集中點(diǎn)列收斂于也就是指和之間的距離隨著而趨于0，即 于是人們就想，在一般的點(diǎn)集中如果也有“距離”，那么在點(diǎn)集中也可借這一“距離”來(lái)定義極限，而究竟什么是“距離”呢？或者說(shuō)“距離”的本質(zhì)是什么？詩(shī)人顧城的一首詩(shī)遠(yuǎn)和近對(duì)距離的感受又如何呢？遠(yuǎn)和近你一會(huì)看我一會(huì)看云我覺(jué)得你看我時(shí)很遠(yuǎn)你看云時(shí)很近這首詩(shī)詩(shī)似乎是純理性的，十分冷靜，但細(xì)細(xì)品味，其中暗暗催動(dòng)著一股熱流：呼喚一種相互理解、相互信任、和諧融洽的人際關(guān)系現(xiàn)實(shí)距離和心理距離并不總是一致的現(xiàn)實(shí)距離很遠(yuǎn)，但心理距離卻可能很近，“海內(nèi)

2、存知己，天涯若比鄰”，即是此意也可能現(xiàn)實(shí)距離很近，而心理距離卻很遠(yuǎn)，所謂“咫尺天涯”大概就是指此而言了那么如何給出距離這一概念？1.1 度量空間的定義與極限1.1.1 度量空間的定義與舉例定義 設(shè)為一非空集合若存在二元映射，使得，均滿足以下三個(gè)條件：（1）且當(dāng)且僅當(dāng) (非負(fù)性 Positivity)；（2） (對(duì)稱性 Symmetry)；（3） (三角不等式 Triangle inequality)，則稱為上的一個(gè)距離函數(shù)，稱為距離空間或度量空間(Metric Spaces)，稱為和兩點(diǎn)間的距離注1：在不產(chǎn)生誤解時(shí)，可簡(jiǎn)記為下面我們來(lái)看一些具體的例子例 歐氏空間 設(shè)，定義 其中 ，可以驗(yàn)證是一

3、個(gè)度量空間 在證明之前，引入兩個(gè)重要的不等式引理 (許瓦茲(Schwarz)不等式) 任給個(gè)實(shí)數(shù)，有 (1.1)證明 任取實(shí)數(shù)，則由知右端二次三項(xiàng)式的判別式不大于零，即于是可得(1.1)式成立進(jìn)一步有Hölder不等式其中且，稱這樣的兩個(gè)實(shí)數(shù)為一對(duì)共軛數(shù)引理 閔可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任給個(gè)實(shí)數(shù)及，有 (1.2)證明 由(1.1)式得這就證明了(1.2)式進(jìn)一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中例 歐氏空間 設(shè)，定義 (1.3)其中 ，可以驗(yàn)證是一個(gè)距離函數(shù)證明 非負(fù)性(1)和對(duì)稱性(2)顯然成立，下面僅驗(yàn)證(3)也成立對(duì)于任意的，由閔可夫斯基不等式(

4、1.2)有，即從而得證是一個(gè)距離函數(shù)注2：稱為維歐氏空間，稱為歐氏距離或標(biāo)準(zhǔn)歐氏距離今后若不作特殊申明，凡提到度量空間，均指由(1.3)式的歐氏距離所定義的注3：在中我們還可以定義其他的距離：；可以驗(yàn)證距離、均滿足條件(1)、(2)和(3) 注4：在中比較上述三種距離、和，可看看他們各表示什么？由此知道，在一個(gè)集合上，定義距離的方法可以不止一種但務(wù)必注意的是，由于定義的距離不同，所以即使基本集相同，也應(yīng)視他們?yōu)椴煌亩攘靠臻g下面的例子說(shuō)明任何一個(gè)集合上均可定義距離，使其成為度量(距離)空間例1.1.2 離散度量空間設(shè)為非空集合，定義距離 (1.4)容易驗(yàn)證滿足距離的三個(gè)條件，并稱之為離散距離，

5、為離散度量空間例 連續(xù)函數(shù)空間，定義， 證明 顯然滿足非負(fù)性(1)和對(duì)稱性(2)，下面驗(yàn)證(3)也成立及均有 ，故稱為連續(xù)函數(shù)空間，簡(jiǎn)記為注5：在中我們還可以定義如下的距離：可以驗(yàn)證均滿足條件(1)、(2)和(3)，所以也為一度量空間例 有界數(shù)列空間，對(duì)于，定義，可以驗(yàn)證是一個(gè)距離函數(shù)，并稱為有界數(shù)列空間，簡(jiǎn)記為例 次冪可和的數(shù)列空間，定義 (1.5)(1.5)式是有意義的，因?yàn)橛砷h可夫斯基不等式及的定義知其右端有界可以證明是一個(gè)距離函數(shù)稱為次冪可和的數(shù)列空間，簡(jiǎn)記為例 次冪可積函數(shù)空間即： 在中，我們把幾乎處處相等的函數(shù)視為同一函數(shù) 對(duì)于，定義距離 那么為度量空間 并稱為次冪可積函數(shù)空間，簡(jiǎn)

6、記為分析 集合具有下列重要性質(zhì)： (1)對(duì)線性運(yùn)算是封閉的即若，是一常數(shù)，則(2)設(shè)，令，則 故引理 閔可夫斯基(Minkowski)不等式(積分形式): 設(shè)、是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)且 (1.6)證明 因?yàn)?，所以(1.6)式有意義 顯然非負(fù)性(1)和對(duì)稱性(2)成立，下面驗(yàn)證三角不等式(3)也成立 對(duì)于任意的有 上述例子涉及到常用的六個(gè)度量空間： 維歐氏空間；離散度量空間；連續(xù)函數(shù)空間；有界數(shù)列空間；次冪可和的數(shù)列空間；次冪可積函數(shù)空間1.1.2 度量空間中的極限極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ), 數(shù)學(xué)分析主要研究微分和積分, 而極限又是微積分學(xué)大廈的基石，在數(shù)學(xué)分析中, 利用極限的思想方法給出連續(xù)函

7、數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分等概念，可見極限思想貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)分析課程，它也是高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要思想同樣地，在度量空間中也可定義極限，而且分析中的數(shù)列極限可看成下列度量空間中點(diǎn)列極限的特例定義1.1.2 設(shè)是度量空間，是中點(diǎn)列，若， 則稱點(diǎn)列收斂于，稱為點(diǎn)列的極限 記作，或或收斂于用“”語(yǔ)言描述是: ，當(dāng)時(shí)，恒有成立 若點(diǎn)列不收斂，則稱其發(fā)散例 設(shè)是實(shí)數(shù)集，數(shù)列若在上定義歐氏距離顯然，數(shù)列在度量空間中收斂于0若在上定義離散距離則數(shù)列在度量空間中是發(fā)散的因?yàn)閷?duì)任意給定的， 只要，就有，所以無(wú)論多么大，有可見數(shù)列不收斂于雖

8、然與有共同的基本集，但由于定義的距離的不同，它們是兩個(gè)不同的度量空間，可見同一點(diǎn)列在一個(gè)度量空間中收斂，在另一度量空間中卻發(fā)散定義1.1.3 設(shè)為度量空間，若將距離限制在上，顯然也是一個(gè)度量空間，稱作的子空間若，則點(diǎn)到的距離定義為： (1.7)集合的直徑定義為： (1.8)若有限，則稱為有界集；若，則稱為無(wú)界集在離散度量空間中點(diǎn)，那么和分別是多少？顯然(1)當(dāng)是單點(diǎn)集時(shí)，有及；(2)當(dāng)不是單點(diǎn)集時(shí)，有及定理1.1.1 極限的性質(zhì) 設(shè)是度量空間， 是中的一個(gè)點(diǎn)列（1）若點(diǎn)列收斂，則其極限唯一；（2）若點(diǎn)列，則的任何子列；（3）若收斂點(diǎn)列看作是的子集，則它是有界的證明 （1）設(shè)且，由定義知：，當(dāng)時(shí)，有，故當(dāng)時(shí)，我們有由的任意性知，從而（2）設(shè)，是的子列 ： ：， ， ， 由定義，當(dāng)時(shí)，有，由于時(shí)，故，即（3）設(shè)，由定義知：對(duì)，當(dāng)時(shí)，取，則，于是，即作為點(diǎn)集有界例 1.1.8 設(shè)是連續(xù)函數(shù)空間()中的點(diǎn)列，那么(函數(shù)列一致收斂)當(dāng)且僅當(dāng)(度量空