高中數(shù)列經(jīng)典習(xí)題(含答案)

1、1、在等差數(shù)列an中,a1=250,公差d=2,求同時(shí)滿足下列條件的所有an的和,(1)70n200;(2)n能被7整除.翰林匯2、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a3=12, S120,S130.()求公差d的取值范圍；()指出S1,S2,S12,中哪一個(gè)值最大,并說(shuō)明理由.翰林匯3、數(shù)列是首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)開始變?yōu)樨?fù)的，回答下列各問：(1)求此等差數(shù)列的公差d;(2)設(shè)前n項(xiàng)和為,求的最大值;(3)當(dāng)是正數(shù)時(shí),求n的最大值.翰林匯4、設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和.已知首項(xiàng)a1=3,且+=2,試求此數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.5、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和n(n1)(n2

2、),試求數(shù)列的前n項(xiàng)和.6、已知數(shù)列是等差數(shù)列,其中每一項(xiàng)及公差d均不為零,設(shè)=0(i=1,2,3,)是關(guān)于x的一組方程.回答：(1)求所有這些方程的公共根;(2)設(shè)這些方程的另一個(gè)根為,求證, ,也成等差數(shù)列.7、如果數(shù)列中,相鄰兩項(xiàng)和是二次方程=0(n=1,2,3)的兩個(gè)根,當(dāng)a1=2時(shí),試求c100的值.翰林匯8、有兩個(gè)無(wú)窮的等比數(shù)列和,它們的公比的絕對(duì)值都小于1,它們的各項(xiàng)和分別是1和2,并且對(duì)于一切自然數(shù)n,都有,試求這兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公比.翰林匯9、有兩個(gè)各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列,.如果a1=1,b1=2,a2=3.且,成等差數(shù)列, ,成等比數(shù)列,試求這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.10、若等差數(shù)

3、列l(wèi)og2xn的第m項(xiàng)等于n，第n項(xiàng)等于m(其中m¹n)，求數(shù)列xn的前mn項(xiàng)的和。11、設(shè)an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分別求出an及bn的前10項(xiàng)的和S10及T1012、已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn，且S13S6S14,a2=24(1)求公差d的取值范圍；（2）問數(shù)列Sn是否成存在最大項(xiàng)，若存在求,出最大時(shí)的n，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由13、設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)的為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比14、 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且存在正數(shù)t，使得對(duì)所有正整數(shù)n，t

4、與an的等差中項(xiàng)和t與Sn的等比中項(xiàng)相等，求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求an通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和15、已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且求的值；求數(shù)列前項(xiàng)和.16、 若a、b、c成等差數(shù)列，且a1、b、c與a、b、c2都成等比數(shù)列，求b的值 答案：1、 解： a1=250, d=2, an=250+2(n1)=2n252同時(shí)滿足70n200, n能被7整除的an構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列bn.b1=a70=112, b2=a77=98, bn=a196=140其公差d=98(112)=14. 由140=112+(n1)14, 解得n=19bn的前19項(xiàng)之和.2、解： ()依題意,有

5、，即由a3=12,得 a1=122d (3)將(3)式分別代入(1),(2)式,得 ，.()由d0可知 a1a2a3a12a13.因此,若在1n12中存在自然數(shù)n,使得an0,an+10,則Sn就是S1,S2,S12中的最大值.由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a70.由此得 a6a70.因?yàn)閍60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大.3、 (1)由a6=235d0和a7=236d0,得公差d=4.(2)由a60,a70,S6最大, S6=8.(3)由a1=23,d=4,則=n(504n),設(shè)0，得n12.5,整數(shù)n的最大值為12.4、a1

6、=3, S1=a1=3.在Sn+1Sn=2an+1中,設(shè)n=1,有S2S1=2a2.而S2=a1a2.即a1a2a1=2a2.a2=6. 由Sn+1Sn=2an+1,(1) Sn+2Sn+1=2an+2,(2)(2)(1),得Sn+2Sn+1=2an+22an+1，an+1an+2=2an+22an+1即 an+2=3an+1此數(shù)列從第2項(xiàng)開始成等比數(shù)列,公比q=3.an的通項(xiàng)公式an=此數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=32×32×322×3n 1=3=3n.5、=n(n1)(n2)(n1)n(n1)=n(n1).當(dāng)n=1時(shí)，a1=2,S1=×1×(11

7、)×(21)=2,a1= S1.則n(n1)是此數(shù)列的通項(xiàng)公式。1.6、 (1)設(shè)公共根為p,則則- ,得dp2+2dp+d=0,d0為公差,(p1)2=0.p=1是公共根.(直接觀察也可以看出公共根為1).(2)另一個(gè)根為,則(1)=.+1= 即,易于證明是以為公差的等差數(shù)列.7、解由根與系數(shù)關(guān)系, =3n,則()()=3,即=3.a1,a3,a5和a2,a4,a6都是公差為3的等差數(shù)列,由a1=2,a1+a2=3,a2=5.則=3k2,a100=152, =3k5,a101=148,c100= a100 a101=224968、設(shè)首項(xiàng)分別為a和b,公比q和r. 則有.依據(jù)題設(shè)條件

8、,有=1, =2, , 由上面的, 可得(1q)2=2(1r).令n=1,有(1q)2=2(1r),設(shè)n=2.則有(1q)2q2=2(1r)r, 由和,可得q2=r,代入 得(1q)2=2(1q2).由于q1,有q=,r =.因此可得a=1q=,b=2(1r)=.和經(jīng)檢驗(yàn),滿足的要求.9、依據(jù)題設(shè)條件,有由此可得=.0,則2。是等差數(shù)列.=.又 =,=10、2m+n-1翰林匯11、解：設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則：解得：12、解：(1)由題意： （2）由（1）知，a100,a10+a110,a100a11，又公差小于零，數(shù)列an遞減，所以an的前10項(xiàng)為正，從第11項(xiàng)起為負(fù)，加完正項(xiàng)達(dá)最大值。n=10時(shí)，Sn最大。13、解：設(shè)該等比數(shù)列為an，且公比為q若q=1，則Sn=na1,S2n=2na1,與題意不符，故q1。兩式相除，得1+qn=82，qn=81，q=a1+11，數(shù)列an為遞增數(shù)列，前n項(xiàng)中最大的項(xiàng)為an=a1qn-1=解得：a1=2,q=314、證明：由題意：即 當(dāng)n=1時(shí)， 當(dāng)n2時(shí)，。因?yàn)閍n為正項(xiàng)數(shù)列，故Sn遞增，不能對(duì)正整數(shù)n恒成立，即數(shù)列為等差數(shù)列。公差為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，an通項(xiàng)公式為an=(2n-1)