重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院114冪級(jí)數(shù)

1、重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院授課教案 課名：高等數(shù)學(xué)（下） 教研窒： 高等數(shù)學(xué)教研室 班級(jí)： 編寫時(shí)間： 2008-8 課題： 冪級(jí)數(shù)教學(xué)目的及要求：了解冪級(jí)數(shù)的收斂域的構(gòu)造及求法，理解冪級(jí)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)： 冪級(jí)數(shù)收斂域的求法，冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)： 冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間的求法，利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求和函數(shù)。教學(xué)步驟及內(nèi)容 ： 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念（1）如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)都是定義在某區(qū)間中的函數(shù)，就叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)自變量取特定值，如時(shí)，級(jí)數(shù)變成一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如果這個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，如發(fā)散，稱為發(fā)散點(diǎn)，一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)的全體構(gòu)成它的收斂域（2）和函數(shù)函

2、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)收斂域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，故有一個(gè)和.于是，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是的函數(shù)，通常稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).其定義域是級(jí)數(shù)的收斂域.寫為.在收斂域內(nèi)有.是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)（收斂時(shí)才有意義）.例1判斷的收斂性，并求其收斂域與和函數(shù).解此級(jí)數(shù)為幾何級(jí)數(shù)(即等比級(jí)數(shù)),由第一節(jié)例1知|x|<1時(shí),級(jí)數(shù)收斂，|x|1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.故其收斂域?yàn)?和函數(shù)為：旁批欄：二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義：形如的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)，其中常數(shù)叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù).例如，2.冪級(jí)數(shù)的收斂定理考察冪級(jí)數(shù).公比為的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散出發(fā)，因?yàn)樗氖諗坑蚴且?為中心，半徑為1的對(duì)稱區(qū)間，此例推廣到

3、一般情形，則有關(guān)于收斂域的阿貝爾定理：定理1（阿貝爾定理）如果級(jí)數(shù)當(dāng)（）時(shí)（使）收斂，則當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；反之，如果當(dāng)發(fā)散，則當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散證先設(shè)是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，有，于是存在一個(gè)常數(shù)，使得（=0,1,2,）這樣級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)的絕對(duì)值.因?yàn)楫?dāng)|x|<|x0|時(shí)，等比級(jí)數(shù)收斂（公比），所以級(jí)數(shù)收斂，也就是級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.定理第二部分可用反正法證明，若冪級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)適合使級(jí)數(shù)收斂，則根據(jù)本定理第一部分，級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)應(yīng)收斂，這與所設(shè)矛盾.定理得證.推論：如果冪級(jí)數(shù)不是僅在一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)確定的數(shù)R存在，使得當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，

4、冪級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)與時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散旁批欄：正數(shù)通常叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，開區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間3.收斂區(qū)間和收斂半徑的求法定理2如果冪級(jí)數(shù)當(dāng)充分大以后都有，且，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.證考察冪級(jí)數(shù)的各項(xiàng)取絕對(duì)值所成的級(jí)數(shù) 這級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)之比為（1）如果存在，根據(jù)比值審斂法，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散并且從某一個(gè)開始，因此一般項(xiàng)不能趨于零，所以也不能趨于零，從而級(jí)數(shù)發(fā)散，于是收斂半徑R=.(2)如果r =0，則任何，有，所以級(jí)數(shù)收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂于是.(3)如果，則對(duì)于除外的其他一切值，級(jí)數(shù)必發(fā)散，否則由定理1知道將有點(diǎn)使得級(jí)數(shù)收斂，于是.課內(nèi)練習(xí)例2求下

5、列各冪級(jí)數(shù)的收斂域解 旁批欄：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為（發(fā)散）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為（收斂）收斂域?yàn)榻饧?jí)數(shù)中只出現(xiàn)的偶次冪，不能直接用定理來求可設(shè)，由比值法可知當(dāng)，即，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)，即，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為，它是發(fā)散的，因此該冪級(jí)數(shù)的收斂域是冪級(jí)數(shù)一般形式的討論，可用變換，使之成為進(jìn)行三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算設(shè)冪級(jí)數(shù)及分別在區(qū)間（-R,R）及（-R,R）內(nèi)收斂,對(duì)于這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)，有下列四則運(yùn)算：加減法：()±()乘法：()×()可以證明上2式在（）與（）中較小的區(qū)間內(nèi)成立.除法：待定系數(shù)法.2.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)：旁批欄：性質(zhì)1冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域I上連續(xù).性質(zhì)2冪

6、級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域I上可積，并有逐項(xiàng)積分公式逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)3冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間（）內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.例3求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解先求收斂域.由得收斂半徑.在端點(diǎn)處，冪級(jí)數(shù)成為，是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)；在端點(diǎn)處，冪級(jí)數(shù)成為，是發(fā)散的.因此收斂域?yàn)?設(shè)和函數(shù)為，即于是利用性質(zhì)3，逐項(xiàng)求導(dǎo)，并由得對(duì)上式從0到x積分，得于是，當(dāng)時(shí)，有而可由得出，故小結(jié)與思考：小結(jié)：冪級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最基本的一類它的特點(diǎn)是在其收斂區(qū)間絕對(duì)收斂，且冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)微分和積分由此第一次得到了一種函數(shù)的無限形式的表達(dá)式（即冪級(jí)數(shù)展開式），將函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)無論在理論研究方面還是在應(yīng)用方面都有著重大的意義本次課主要學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法以及如何求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的方法在求缺奇數(shù)次項(xiàng)（或缺偶數(shù)次項(xiàng)）等冪級(jí)數(shù)的收斂半徑時(shí)不能使用定理中的方法；在求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)要注意確定其定義域，旁批欄：是求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)最常用的重要結(jié)論作業(yè)時(shí)還應(yīng)注意阿貝爾定理的使用思考：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一定有收斂域嗎？如果有，一定是一個(gè)區(qū)間嗎？考察和的收斂域.在求冪級(jí)