非線性微分方程51329

1、高階微分方程的降價(jià)技巧作者：陳思 指導(dǎo)老師：張海摘要：一般的高階微分方程沒(méi)有普遍的解法，處理問(wèn)題的基本原則是降價(jià)，利用變換把高階微分方程的求解問(wèn)題化為較低階的方程來(lái)求解。因?yàn)橐话阏f(shuō)來(lái)，低價(jià)微分方程的求解比高階微分方程方便些，特別地，對(duì)于二階（變系數(shù)）齊次線性微分方程，如能知道它的一個(gè)非零特解，則可利用降價(jià)求得與它線性無(wú)關(guān)的另一特解，從而得到方程的通解，對(duì)于非齊次線性微分方程，只需運(yùn)用常系數(shù)變異法求出它的一個(gè)特解，就能求通解。本文總結(jié)了一些基本的降價(jià)技巧并舉例說(shuō)明。關(guān)鍵詞：方程，降階，技巧，解，特解，通解，微分方程1引言：價(jià)微分方程的求解比高階微分方程方便，通常，高階微分方程的求解方法是先進(jìn)行降

2、階，將其降為低階微分方程再求其解。本文先介紹了三類基本的二階微分方程的降價(jià)技巧，然后又總結(jié)了一些更高階的微分方程的降階及求解。2形如型2.1降階技巧;設(shè)兩端積分，即有：再積分一次，得函數(shù)為方程的通解2.2例：求解二階微分方程解：兩端積分，得：再積分,得總結(jié)小語(yǔ)：同樣的方法可以求出形如的通解3形如型3.1設(shè)二階微分方程為，方程中不顯含未知函數(shù)，令：，則故原方程變?yōu)?，設(shè)其通解為：若的原函數(shù)為則原方程的通解為：3.2求解解：令則原方程變形為：此方程為一階線性微分方程：所以原方程的通解為：4形如型4.1對(duì)于這種類型的方程，不顯含，做變換：則：則原方程變?yōu)椋簭亩癁橐浑A微分方程4.2例：求二階微分方程解

3、：令，則原方程變?yōu)椋合ィ杭矗?即故原方程的通解為：5形如型（3）5.1對(duì)于的n階方程，將表示為參數(shù)的函數(shù)，得到與（3）等價(jià)的參數(shù)方程（4）積分（4）的第二個(gè)方程：繼續(xù)下去，求得：于是，方程的解為：（5）5.2例;解解：令，則則，若將視為參數(shù)，則上式與一起給出原方程的解。6形如型5.1對(duì)于（6），若可以解出（7），令，得，積分可得：若解得：即：積分可得：若從（6）中解不出，用參數(shù)表示，經(jīng)過(guò)積分可得（6）的參數(shù)形式的解為：5.2例2解方程： 解：令，得到：，即 ，積分可得：所以：所以：又因：故:上式與表達(dá)式:一起為原方程參數(shù)形式的解，其中p為參數(shù)。若從它們中消去參數(shù)p，得到顯示解：（其中，）6形

4、如型對(duì)于（8）的n階方程，在令以后，將（8）化成（n-k）階的方程（9）若方程（9）可以積分，求得：即：連續(xù)積分k次，可求得（8）的解：例3：求方程的解解：令，則方程化為：這是一階方程，積分可得：，即于是：（其中，為任意常數(shù)），這就是原方程的通解。7形如型若令，并以它為新未知函數(shù)，而視為新自變量，則方程可以降低一階。對(duì)于：（10）的n階方程令（11）（12）將（11）（12）代入（10），得到一個(gè)關(guān)于函數(shù)z和自變量y的n-1階方程，若此方程可以積分，最后可得到關(guān)于y的一階方程例：解方程解：令：，化原方程為，再令：得解得：即：，積分可得：用除兩邊，假定；另一方面，驗(yàn)算知為一特解8形如型，對(duì)于 （

5、13）的階方程，若左端關(guān)于是次的齊次函數(shù)即：令： （13）則： （14）將（4），（5）代入（13），得到關(guān)于未知函數(shù)的階方程若求得（16）的通解即積分（17），得到例5：解方程：解：令，化原方程為解得：則：當(dāng)約去因子時(shí)，假定，經(jīng)核驗(yàn)，仍為一特解，但此解可以包含在通解之中。9形如型的方程對(duì)于（18）的階方程，若左端關(guān)于是次的齊次函數(shù)，即;令；（19）則：（20）將（19）（20）代入（18），由齊次性得知：方程（21）不顯含自變數(shù)的階方程，可用6的方法求解。例6解方程：解：這是左端關(guān)于的三次齊次函數(shù)令則：代入原方程，消去公因子得到： 再令：，得：由，得出 再積分得：；即：由得：，但此解不包含在

6、通解中。10形如型的方程對(duì)于（22）的階方程，若將算作一次，算作次，即為次，為次，為次時(shí)，（22）的左端是齊次函數(shù)。令（23）則（24）將（23）和（24）代入（22），得到一個(gè)不顯含自變量的方程，可用4的方法求解。例7解方程解：將算作一次，算作兩次時(shí)，所給方程的左端為四次齊次函數(shù)令，則代入原方程，消去因子后，得出令上式化為：由。得，即當(dāng)時(shí)，由，得出即：當(dāng)時(shí)，同理由，可得：11恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程定義：假如方程（1.8）的左端恰為某一函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，即（1.8）可化為：則（1.8）稱為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程。降階技巧：這類方程的解法與全微分方程的解法相類似，顯然可降低一階，成為:之后再設(shè)法求解這個(gè)方程。例5求解

7、解：易知可將方程寫為故有：即：積分后即得通解：例6求解解：先將兩端同乘不為0的因子，則有：故，從而通解為評(píng)析：這一段解法的技巧性較高，關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方法。12形如型對(duì)于（25）的n階方程，若，則（26）為方程（25）的首次積分。這樣就把方程降低一階。有時(shí)方程（25）的左端雖不是恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)，但乘以因子后求得首次積分例8解方程解：因?yàn)樗苑e分可得13齊次線性微分方程：（4.2）方程（4.2）的求解問(wèn)題可歸結(jié)為尋求方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解思路：若知道方程的k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則可通過(guò)一系列同類型的變換，使方程降低k階，并且新得到的階方程，也是齊次線性的。降階技巧：設(shè)是方程（4.2）的k個(gè)線性無(wú)關(guān)解，令

8、直接解得：（*）（*）式代入（4.2），得到令，用除方程各項(xiàng)，得到：（4.67）為n-1階齊次線性微分方程由知方程（4.67）有n-1階齊次線性微分方程由，即方程（4.67）有k-1個(gè)線性無(wú)關(guān)解令，即，其中是常數(shù)。那么，就有：即：又因：線性無(wú)關(guān)，所以：從而線性無(wú)關(guān)對(duì)方程（4.67）仿以上做法，令，可將方程化為關(guān)于的階齊次線性微分方程（4.68）評(píng)析：由此討論知：利用k個(gè)線性無(wú)關(guān)特解當(dāng)中的一個(gè)解，可以把方程（4.2）降低一階，成為階齊次線性微分方程（4.67），并且知道它的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，而利用兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則可把方程（4.2）降低兩階，成為階齊次線性微分方程（4.68），同時(shí)知道它的k-2個(gè)線

9、性無(wú)關(guān)解.依此類推，繼續(xù)上面的做法，若利用了方程的個(gè)線性無(wú)關(guān)解。則最后我們就得到一個(gè)階的齊次線性微分方程，這就是說(shuō)把方程（4.2）降低了階14二階齊次線性微分方程（4.69）降階技巧：只要知道方程的一個(gè)非零特解，則利用變換，可將方程降一階， ，作此變換：方程化為：（一階線性微分方程）解得：因而（4.70）這里為任意常數(shù)檢驗(yàn)：取，得方程（4.69）的一個(gè)特解：，顯然它與線性無(wú)關(guān)所以（4.70）為（4.69）的通解，包含了方程（4.69）的所有解例4已知是方程的解，試求方程的通解解：這里由（4.70）得到：其中是任意常數(shù)，這就是方程的通解非齊次線性微分方程：設(shè)有線性n階方程：（39）其中都是在某一區(qū)間中的連續(xù)函數(shù)方程： （40）稱為與（39）對(duì)應(yīng)的線性齊次方程，而（39）稱為齊次的。定理2設(shè)是方程（40）的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，稱為基本解組，則（40）的通解是其中為任意常數(shù)定理3。如果已知方程（40）的k個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則（40）可以降低為n-k階方程，如果已知方程（40）的n-1個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則（40）的通解也可以得到。例6求方程：的通解，設(shè)已知它有特解。解：令，則其中為任意常數(shù)一起代入（49），得到新