靜電場中的高斯定理

1、目錄 1前言22靜電場中的高斯定理的定義23高斯定理的推導(dǎo)過程33.1電場線33.2電場強(qiáng)度通量43.3高斯定理的推導(dǎo)54高斯定理的應(yīng)用7參考文獻(xiàn)：9靜電場的高斯定理劉慧君（學(xué)號：20111104295）（物理與電子信息學(xué)院 11級電子信息工程1班，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）指導(dǎo)教師：劉淑琴 摘要：本文意在論述靜電場中的高斯定理的定義、推導(dǎo)過程以及其在靜電場中的應(yīng)用方法。方法是通過討論電通量與場源電荷之間的關(guān)系得出高斯定理，應(yīng)用高斯定理求解幾種情況下的場強(qiáng)大小及其分布情況，然后根據(jù)例題總結(jié)出高斯定理在靜電場中應(yīng)用的方法。 關(guān)鍵詞：靜電場；高斯定理；定義；推導(dǎo)過程；應(yīng)用方法 中圖分類號：O

2、44 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A1前言電磁學(xué)是研究電磁相互作用和電磁運(yùn)動基本規(guī)律的一門學(xué)科，是經(jīng)典物理學(xué)的一個重要分支，也是近代物理學(xué)不可缺少的基礎(chǔ)。而靜電場中的高斯定理就是電磁學(xué)的一部分，同時靜電場中的高斯定理是電磁學(xué)中的重要定理之一。以前我們學(xué)習(xí)了勻場電場中有關(guān)場強(qiáng)的解答方法，但如果是在場強(qiáng)分布不均勻的電場中，我們又該怎樣解出場強(qiáng)來呢？或許你想到了運(yùn)用高等數(shù)學(xué)里所學(xué)習(xí)的積分來解答，積分對于大多數(shù)人來講它過于復(fù)雜了。還有沒有更加簡單快速的方法呢？學(xué)習(xí)了靜電場中的高斯定理之后，你會發(fā)現(xiàn)：原來一切都是那么簡單。是的，運(yùn)用靜電場中的高斯定理你無需在使用復(fù)雜的積分，你只需要做一個簡單的高斯面就可以快速解答一切有

3、關(guān)求場強(qiáng)的問題了。無論它有多么復(fù)雜，只要你熟練掌握了靜電場中高斯定理的應(yīng)用方法。2靜電場中的高斯定理的定義靜電場中的高斯定理是電磁學(xué)中的重要定理之一，表述為：在靜電場中，通過任意閉合曲面S的電通量等于該面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和除以，而與閉合曲面外的電荷無關(guān)；數(shù)學(xué)公式表示為式中表示沿一個閉合曲面S的積分，該閉合曲面S通常稱為高斯面。由上式可以看出閉合曲面的電通量只與閉合面內(nèi)的電荷有關(guān)，閉合面外的電荷對閉合曲面的電通量沒有貢獻(xiàn)。3高斯定理的推導(dǎo)過程3.1電場線引入電場線可形象地描繪電場在空間的分布。電場線是按下述規(guī)定的一系列假想曲線：曲線上任意一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)的場強(qiáng)方向，曲線在某處的疏

4、密程度表示該處的場強(qiáng)的大小。電場線可以用實(shí)驗(yàn)演示出來，圖1中實(shí)線所示的是幾種電荷的電場線分布。 (a)正點(diǎn)電荷 (b)負(fù)點(diǎn)電荷 (c)等量異號點(diǎn)電荷 (d)等量同號點(diǎn)電荷 (e)等量異號帶電平行板圖1 幾種特殊情況下電場線的分布從圖1可以看出，靜電場中的電場線具有如下一些普遍性質(zhì)：（1） 電場線起始于正點(diǎn)電荷（或來自無窮遠(yuǎn)），終止于負(fù)點(diǎn)電荷（或伸向無窮遠(yuǎn)），不會在沒有電荷的地方中斷；（2） 電場線不會形成閉合線；（3） 任何兩條電場線電場線都不會相交。注意：引入電場線是為了形象地表示電場的分布，并不是電場中真的有電場線存在，特別是，電場線一般都不是電荷在電場中的運(yùn)動軌跡。3.2電場強(qiáng)度通量規(guī)定

5、通過垂直于電場中某點(diǎn)場強(qiáng)方向的單位面積上的電場線數(shù)目，等于該點(diǎn)場強(qiáng)的大小。穿過電場中某一面積的電場線總數(shù)稱為穿過這個面的電場強(qiáng)度通量，簡稱電通量，用符號表示。則穿過電場中垂直于某點(diǎn)場強(qiáng)方向的某一面積的電通量為。對于電場中的任意面元,定義面元矢量，為法向單位矢量。設(shè)該處場強(qiáng)與的夾角為，如圖2所示，穿過的電場線數(shù)目也就是穿過垂直于的投影面元(即)的電場線數(shù)目。由于，故通過面元的電通量可表示為 （1） 圖2面元的電通量即通過任一面元的電通量等于該點(diǎn)處場強(qiáng)與其面元矢量的標(biāo)量積。（1）式定義的電通量有正有負(fù)：當(dāng)時，；當(dāng)時，。對于有限大曲面S，場強(qiáng)大小和方向一般都是逐點(diǎn)變化的。要計(jì)算通過它的電通量，就必須

6、先把它分成許多個無限小面元，按上式表示出各面元的電通量，然后積分即可求出通過該曲面的總電通量為 （2）對于閉合曲面S，其電通量為 （3）對于不閉合的曲面，面上各處的法線方向可以任意規(guī)定。對于閉合曲面，由于它將整個空間分割為內(nèi)外兩個區(qū)域，要區(qū)分電場線是穿入還是穿出該面，一般規(guī)定自內(nèi)向外的方向?yàn)檎ㄏ颉Ｒ虼?，電場線穿出的地方（如圖3中的A處）電通量為正；電場線穿入的地方（如圖3中的B處）電通量為負(fù)。圖3 穿過閉合曲面的電通量3.3高斯定理的推導(dǎo)設(shè)電場是由單個點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的，根據(jù)其場強(qiáng)分布具有球?qū)ΨQ性和電通量的定義，以此點(diǎn)電荷為球心作一個半徑r的球面,如圖(a)所示，球面上各處的法向均為徑向，因而與

7、場強(qiáng)同向，則通過球面的電通量為 （4）這一結(jié)果與球面的半徑r無關(guān)，只與它所包圍的電荷有關(guān)，即對以q為球心的任意球面都有上述結(jié)果。再設(shè)想另一個閉合曲面S，它與球面包圍的是同一電荷q。由于電場線的連續(xù)性，通過S的電通量和通過的電通量是一樣的。因此，通過包圍點(diǎn)電荷q的任意形狀的閉合曲面的電通量都等于。 (a)包含點(diǎn)電荷q (b)不包含點(diǎn)電荷q圖4 高斯定理的推導(dǎo)如果閉合曲面S不含該點(diǎn)電荷q，如圖(b)所示，則根據(jù)電場線的連續(xù)性，由一側(cè)穿進(jìn)去的電場線條數(shù)一定等于從另一側(cè)穿出來的電場線條數(shù)，即電通量為0。因此，單個點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場對任一閉合曲面的電通量為 （5）對于點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系，根據(jù)場強(qiáng)疊加

8、原理，在它們的電場中的任一閉合曲面S的電通量為為單個點(diǎn)電荷的電場通過S的電通量，當(dāng)S包圍時等于；當(dāng)S不包圍時等于零。因此在點(diǎn)電荷系的電場中，有 （6）式中的為n個點(diǎn)電荷在處激發(fā)的總場強(qiáng)，是包圍在閉合曲面S內(nèi)的總電量。上式表明靜電場的高斯定理成立。由于任意帶電體的電場可以看成無限多個電荷元電場的疊加，故（4）式對任意帶電體的電場都成立。4高斯定理的應(yīng)用例 1 求均勻帶正電球體內(nèi)外的電場分布，設(shè)球體帶電量為q，半徑為R。解 由于電荷分布的球?qū)ΨQ性，它所激發(fā)的電場也具有球?qū)ΨQ性。故可選取半徑為r的球形高斯面，此球面上的場強(qiáng)大小處處相等，方向均與所在處法向一致。（1）當(dāng)r<R時，穿過高斯面的電通

9、量為 由于球體均勻帶電荷，高斯面內(nèi)的電荷為由高斯定理，應(yīng)有 圖5 勻強(qiáng)帶電球體的場強(qiáng)分布故球體內(nèi)的場強(qiáng)大小為（2）當(dāng)r>R時，穿過高斯面的電通量為高斯面內(nèi)的電荷為q，由高斯定理，可得球體外的場強(qiáng)大小為 即均勻帶電球體內(nèi)一點(diǎn)的場強(qiáng)大小與場點(diǎn)離成正比，而體外的場強(qiáng)分布則完全類似于點(diǎn)電荷。例 2 求半徑R的無限均勻帶正電圓柱面的場強(qiáng)分布，電荷面密度為。 解 由于電荷分布的軸對稱性，它所產(chǎn)生的電場也具有軸對稱性，即離開圓柱面軸線等距離的各點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等方向都垂直于圓柱面（帶正電荷時向外）。根據(jù)這種對稱性，求圓柱體外一點(diǎn)P的電場時，過P作一同軸閉合圓柱面S，其高為h、半徑為r。由上可知，該圓柱側(cè)

10、面上各點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等，方向都與圓柱側(cè)面正法向一致，而上下底面的正法向卻與其上的場強(qiáng)處處垂直。因此，通過S面的電通量為 S面包圍的電荷為，根據(jù)高斯定理應(yīng)有 故 圖6 帶正電圓柱面的場強(qiáng)分 例 3 求均勻帶正電的無限大平面薄板的場強(qiáng)分布，電荷面密度為。解 由于電荷分布的平面對稱性，它所激發(fā)的電場也具有平面對稱性。在離平面等距離的地方場強(qiáng)大小相等，兩側(cè)場強(qiáng)方向相反且均背離平面。故選取側(cè)面與帶電平面垂直、面積均為的兩底面與帶電平面平行的對稱柱形高斯面。此柱面的電通量為 柱面包圍的電荷為，根據(jù)高斯定理應(yīng)有 圖3 無限大帶電平面的場強(qiáng)分布 故 上式表明，無限大均勻帶電平面兩側(cè)附近是勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)的大小與場點(diǎn)到帶電平面的距離無關(guān)。 從以上例子的討論可以看出，只有電荷分布具有某種對稱性，才可相應(yīng)地選取簡單的幾何面作為