2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)數(shù)列高考專題突破三高考中的數(shù)列問(wèn)題學(xué)案理北師大版

1、高考專題突破三高考中的數(shù)列問(wèn)題【考點(diǎn)自測(cè)】1.(2017 洛陽(yáng)模擬)已知等差數(shù)列an的公差和首項(xiàng)都不等于 0,且改,34,a8成等比數(shù)列,ai+35+39則 a,a 等于()32+33A2B.3C.5D.7答案 B23n中，32,34,38成等比數(shù)列，34=3238,+7d),-d2=31d,前 100 項(xiàng)和為(0,q0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且3,b,一 2 這二個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9答案D解析由題意知3+b=p,3b=q,p0,q0,，30,b0.在3,b,一2這三個(gè)數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有：3,b,2;b,

2、3,2;2,3,b;2,b,3;成等,I2,(31+3d)=(31+d)(31解析二.在等差數(shù)列d*0,1-d=3i,3i+35+39153i32+33531=3.故選 B.2.(2018衡水調(diào)研)已知等差數(shù)列d的前n項(xiàng)和為35=5,S=15,則數(shù)列，13n3n+1100人而 199B.而，99101100D.100答案解析設(shè)等差數(shù)列3n的首項(xiàng)為31,公差為d.35=5,4=15,比數(shù)列的情況有：3,2,b;b,2,3.214_5.（2018 保定模擬）已知數(shù)列a的前 n 項(xiàng)和為對(duì)任意 nCN+者 B 有&=鼻 3%若 1&2時(shí)，S1=an13,22兩式相減，得an=-an-an-1,33an

3、=12an-1,an是以一1為首項(xiàng)，以一2為公比的等比數(shù)列,.an=-（2）n1,kab=4,ab=4,a=4,或解得或2b=a-22a=b-2,b=1a=1,b=4.1-p=5,q=4,p+q=9,故選 D.4.（2017江西高安中學(xué)等九校聯(lián)考）已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，若ail.一b3+b9,-,a6,aii=3I3,bi+be+bii=7%,貝Utan 的值是()1a4.asA.1B.C.D一 3答案 D解析an是等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且a1,a6-an=3y3,b1+b6+bn=7u,.a3=(3)3,3b6=7%,a6=小，bo=,3b3+b91-tan1a4,

4、as7 兀2XT=tan6=tan7Tq=tan771由 1&9,得 4(-2)k0,nCN+.(1)若a2,as,&+a3成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；2(2)設(shè)雙曲線*2工=1 的離心率為en,且2=2,求e2+e2+e2.an解(1)由已知，Sn+1=qS+1,得Si+2=qSn+1+1,兩式相減得an+2=qa+1,n1.又由S2=qS+1得a2=qd,故an+1=qan對(duì)所有nl都成立.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為 1,公比為q的等比數(shù)列，從而an=qn1.由a2,as,a2+a3成等差數(shù)列，可得 2a3=a?+a?+as,所以as=2a2,故 q=2.所以an=2(nCNI+).(2)

5、由(1)可知，an=qnT,2所以雙曲線x2-y2=1 的離心率en=31+a2+q2)an由2=、1+q2=2,解得q=yJ3,所以e2+e2+e2=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n1)=n+1+q2+q2(n1)q2n11n=n+2(3-1).思維升華等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問(wèn)題設(shè)置中間問(wèn)題，例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的順序.(2)注意細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于 1 的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等，

6、這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的.3跟蹤訓(xùn)練 1(2018滄州模擬)已知首項(xiàng)為萬(wàn)的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S(nCN+),且 S+a3,S+a5,S+a4成等差數(shù)列.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;1(2)設(shè)Tn=Si-S(nCN+),求數(shù)列Tn的取大項(xiàng)的值與取小項(xiàng)的值.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,因?yàn)?+a3,4+a5,S4+a4成等差數(shù)歹U,所以S5+a5S3a3=S4+a4-4a5,即 4a5=a3,又an不是遞減數(shù)列且ai=2,所以 q=-2.故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=24 一 3，、nT3=(-1),2n.1+77,n 為奇數(shù),1n2(2)由(1)得 S=1I-2J=

7、I14，n 為偶數(shù).2當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，S 隨 n 的增大而減小,所以 1&ws=2，1c1325故0s&WSLS；=23=6.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，3隨n的增大而增大,3所以 4=卷 ws$一耳$S2=43=一行.715綜上，對(duì)于nCN+,總有SI-.12Si65 一一一，7所以數(shù)列Tn的最大項(xiàng)的值為 g,最小項(xiàng)的值為-.題型二數(shù)列的通項(xiàng)與求和例 2(2018邢臺(tái)模擬)已知等差數(shù)列an的公差為 2,前 n 項(xiàng)和為 S,且數(shù)列.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n14n.一一一(2)令bn=(1),求數(shù)列bn的刖n項(xiàng)和T.anan+1S,Sa,&成等比解(1)因?yàn)镾=ai,S2=2ai+-2X2=2ai+2,一.

8、4X3_.一&=4ai+2-x2=4ai+12,由題意得(2ai+2)2=ai(4a+i2),解得ai=i,所以an=2ni.(2)bn=(-i)思維升華(1)一般求數(shù)列的通項(xiàng)往往要構(gòu)造數(shù)列，此時(shí)從要證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息.(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的求和方法有錯(cuò)位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法等.1n+1跟蹤訓(xùn)練 2(2018大連模擬)已知數(shù)歹 Uan的刖n項(xiàng)和為Sn,且ai=-,an+i=-2n-an(nN+).(1)證明：數(shù)列個(gè)卜等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和Sn.1n1(1)證明.ai=2，an+i=2nan,i2n=i一=2n+i2n+i

9、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=+；i-1+5j+-熹+己+/+人i2n+2i+=2n+i2n+T2n+22n+i所以Tn=2n2n+Tn為奇數(shù)，n為偶數(shù).(或Tn=n-i2n+i+(i)2n+1)ni4nanHn+1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an_當(dāng) nCN+時(shí)，一 W0,npa11an+1an1、，又彳=2，nT7:=2(n2),(2n1)當(dāng) n=1 時(shí)，a1=4 也符合，4an=2(nNL).(2n14(2)-bn=/anan+1=J2n-12n+1112n1=2Tn=bl+b2+bn4n2n+1課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)保分練35.1.(2018泰安模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,nN+.已知ai=1,32=-,a3=-

10、,且當(dāng)n2時(shí)，4S+2+5Sn=8S+i+S-1.求34的值；(2)證明：an+1；an廣為等比數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(1)解當(dāng) n=2 時(shí)，4s4+5S=8&+S,即4H+1+|+a445”+|J=8”+|+；+1,242.24-7斛得a4=-.8(2)證明因?yàn)?4S+2+5Sn=8S+1+S1(n2),所以 4Sn+24Sn+1+SS-1=4Sn+14s(n2),即 4an+2+an=4an+1(n2),5當(dāng) n=1 時(shí)，4a3+a1=4X4+1=6=4a2,所以 n=1 也滿足此式，所以 4an+2+an=4an+1(nCN+),1an+21an+1,24an+22an+1因?yàn)閕=

11、瓦丁4an+12chan+1-an4an+1an2an+12an+1an1_一一=二.4an+12an2(2an+1an)2:1(1，、-1,一，一，I所以數(shù)列an+1ani是以a2a1=1 為首項(xiàng)，萬(wàn)為公比的等比數(shù)列.“,一、“，.11，、一 1解由(2)知：數(shù)列，an+1an暹以a2-2a1=1 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，是以導(dǎo)=2 為首項(xiàng)，4 為公差的等差數(shù)列，所以祭=2+（n1）X4=4n2,2S即 an=(4n2)xi)=(2n1)x%,22所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=（2n1）X2.（2017福建漳州八校聯(lián)考）已知遞增的等比數(shù)列an滿足：az+a3+a4=28,且次+2 是a

12、2和a4的等差中項(xiàng).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn=anlog1an,Sn=b+b2+bn,求使S+n2n162 成立的正整數(shù)n的最小值.2Aq+a1q2+aq3=28,解(1)由題意，得 jaq+ad2(aq2+2a1=2,解得，lq=2;an是遞增數(shù)列，a1=2,q=2,，數(shù)列an的通公式為an=2,2n1=2n.nnn(2).bn=anlog1an=210gl2=-n2,22.Sn=b1+b2+bn=(1X2+2X22+n2n),則 2Sn=(1X22+2X23+n-2n+1),一，得Sn=(2+22+-+2n)-n-2n+1=2n+1-2-n-2n+1,則 S+n,2n+1=2n+

13、12,解 2n+1-262,得n5,1-n 的最小值為 6.3.(2018梅州質(zhì)檢)已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a=1,點(diǎn)(迎，an+1)(nN+)在函數(shù) y=x2+1的圖像上，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn=2-bn.(1)求數(shù)歹Uan和bn的通項(xiàng)公式；一、r1,、_,，、，-一一(2)設(shè)Cn=,求Cn的刖n項(xiàng)和Tn.an+1log2bn+1解(1);點(diǎn)(返，an+1)(nCN+)在函數(shù)y=x2+1 的圖像上，.an+1=an+1,數(shù)列an是公差為 1 的等差數(shù)列.a1=1,an=1+(n1)X1=n,.$=2bn,.$+1=2bn+1,所以數(shù)列由 s=2bi,即 bi=2b,得 bi=1.一.一、，一，,

14、，1.數(shù)歹 Ubn是首項(xiàng)為 1,公比為 2 的等比數(shù)列,bh=1n(2).log2bn+1=log2=-n,2n+1 廠n+n+1.(2018佛山模擬)在等比數(shù)列 an 中，an0(hCN+),公比 qC(0,1),且aias+2a3a5+aza?=25,又a3與a5的等比中項(xiàng)為 2.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log2對(duì)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 S;S1S23是否存在kCN+,使得彳+2+n0,a3+a5=5,又a3與a5的等比中項(xiàng)為2,a3a5=4,而 qC(0,1),a3a5,a3=4,a5=1,1 一 q=2，a1=16,兩式相減，得bn+1=bn+1+bn,即bh+1bn2.Tn

15、=C1+C2+Cn=1-12n,9_nSi9_n(3)由(2)知).二=三一一 S_$一當(dāng) nw8 時(shí)，0;當(dāng) n=9 時(shí)，=0;、“-&當(dāng)n9 時(shí)，一i 時(shí)，Si=2an12,an則an=2an2an-1,=2.a-1當(dāng) n=1 時(shí)，S=2ai2,得 ai=2,綜上，an是公比為 2,首項(xiàng)為 2 的等比數(shù)列，an=2n.(2)證明/a2=4b1,b1=1.nbn+1(n+1)bn=n2+n,綜上，是公差為1,首項(xiàng)為 1 的等差數(shù)列,包=1+n1,可得bn=n2.n解令Pn=C2n1+C2n若數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式為Cn=anbn/C2n2/zn-1=(4n1),2=(4n1)42n=3,4+7,

16、41+11,42+(4n1),414T2n=3,J+74?+11.43+(4n54一，得一 3T2n=3。4+4,41+4。42+4。41(4n1)4,n116-16n3T2n=3+14(4n1),4712n-7n.T2n=-+4.99葉拓展沖刺練16.已知數(shù)列an,bn,其中，a1=2,數(shù)歹Uan滿足(n+1)an=(n1)an1(n2,nCN+),數(shù)列bn滿足b1=2,bn+1=2bn.求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)是否存在自然數(shù) m,使得對(duì)于任意 nCN+,n2,有 1+52).an1n+11n(n+1J因?yàn)閎l=2,bn+1=2bn,22n-1=_(2n_1j.222nn-1求數(shù)列

17、Cn的前n項(xiàng)和Tn.an所以an=an1an-1an-2an-2an-3a3一a2n-1n-2n+1nn3n-1當(dāng) n=1 時(shí)，上式成立，故an=ann+1.所以bn是首項(xiàng)為 2,公比為 2 的等比數(shù)歹U,故 bn=2n.(2)由(1)知，bn=2n,則111iiii1+b；+E+bni2+22+*2-尹假設(shè)存在自然數(shù) m 使得對(duì)于任意 nCNU,n2,有 1+!恒成立，即b1b2bn41m-8m-8一藝2,解得 m16.所以存在自然數(shù) m 使得對(duì)于任意 nCN+,n2,有 1+=+二+!與”1 亙成立，此時(shí),b1b2bn4m的最小值為 16.(3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),_1,1.1.工=F-F+|+

18、(b2+b4+bn1)a13a3nan=2+4+(n+1)+(22+24+2n1)2+n+12n+1T+n14(1-4,1-42n+4n+34=4+3(2n-11);當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；1111.T=+:+,+(b2+b4+bn)03a3-1pn1_=(2+4+n)+(22+24+2n)n.2+n4(1-42)1-42n+2n4n2+4n+34n14+32-1n 為奇數(shù),所以 Tn=2I 七生+親 2n1)門為偶數(shù).2cn+1一 c 所以Tn=一三二,命題點(diǎn) 2 數(shù)列與不等式的交匯例 4(2016天津)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為an和an+1的等比中項(xiàng).(1)設(shè)Cn=b*2+1bn,nCN+,求證：數(shù)列Cn是等差數(shù)列；(2