2020屆高考數(shù)學(xué)專題十六圓錐曲線的幾何性質(zhì)精準(zhǔn)培優(yōu)專練文

1、培優(yōu)點(diǎn)十六圓錐曲線的幾何性質(zhì)一、定義的應(yīng)用22xV例1：橢圓1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)Fi的距離為2,N是MFi的中點(diǎn)，則|ON|()259一-八3A.2B.4C.6D.-2【解析】設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為F2,22XV因為橢圓匚1上點(diǎn)M到焦點(diǎn)Fi的距離為2,259即|MF112,且|MF1|MF212a10,所以|MF2|8,因為N是MF1的中點(diǎn)，O是F1F2的中點(diǎn)，所以八1|ON|-|MF2|4.，二、求雙曲線的漸近線2X例2：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是雙曲線a*1(a0,b0)的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P,b2滿足F1PF2|OP|a,則該雙曲線的漸近線方程為()3【答案】D【解析】如下圖可知：Fi

2、PPF22a,令PF2x,則F1P2ax,uuirujrnuum因為O為F1F2的中點(diǎn)，PF1PF22PO,iur22uurUULU222冗即4PO28a(PF!PF2)(2ax)x2x(2ax)cos,可得x2a,3即PF22a,F1P4a,冗在二角形FIPF2中，F(xiàn)IF22c，F(xiàn)FF2由余弦定理可得4a216a24c216a2cos8a2,即c23a2,cJ3a,3所以b拒a,即該雙曲線的漸近線方程為J2xy0.，三、求離心率的值22例3：已知橢圓C:今冬1(ab0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn)，連接AF,abA. x.3y0B.、3xy0C. x、.2y0D.、2xy0

3、4BF,若|AB|i0,|AF|6,cosABF,則C的離心率5【解析】 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為Fi,在4ABF中， 由余弦定理可解得所以4ABF為直角三角形,又斜邊AB的中點(diǎn)為O,所以|OF|c5,連接AF1,因為A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以|BF|AF1|8,所以2a14,5所以離心率e-7四、求離心率的取值范圍|BF|8,2X例4:橢圓M：二ab21(ab0）的左、 右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,P為橢圓M上任一點(diǎn)，且|PFi|PF?|的最大值的取值范圍是2c2,3c2,其中c.a2b2,則橢圓M的離心率e的取值范圍是（）riiD，32又|PFi|由基本不等式得（|PFi|2|PF2|)4|PFi|PF

4、2|,2|PF212a,所以4a4|PFi|PF21,即|PFi|PF2|a2,所以(|PFi|PF2|)maxa2,此時|PFi|PF21a,所以2c2a23c2,得2e213e2,所以1e2-,32又0e1,得費(fèi)e立.32，五、拋物線的幾何性質(zhì)例5：過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)，自M,N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1,N1，則MFW等于()A.45B.60C.90D.120【答案】C【解析】由拋物線的定義，得|MF11MMi|,|NF|NN1|,MFM1MM1F,NFN1NN1F,設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為F1,-MMJ/FFJ/NN1,MM1FM1FF1,

5、NN1FN1FF1,而MFM1M1FF1NFN1N1FF1180,2M1FF12N1FF1180,即M1FN190【答案】A【解析】在橢圓中|PFi|PF2|2布，在雙曲線中|PFi|PF2|2G聯(lián)立解得|PFi|Vm7a,|PF21VmTa(不妨令PFPF2),所以|PF111PF2|ma.，對點(diǎn)增分集訓(xùn)、選擇題，六、圓錐曲線的綜合222XVx例6：若橢圓一匚1(mn0)和雙曲線一mna1(ab0)有相同的左右焦點(diǎn)Fi,F2,P是兩條曲線的一個交點(diǎn)，則|PFi|PF?|的值是()A.ma-1,B. -(ma)222C. ma22xV_1.已知FI,F2是雙曲線一22r1的左，右焦點(diǎn)，過Fl作

6、直線交雙曲線左支于點(diǎn)A,B,若ABm,ab則AABFr的周長為（）x軸，|PF2|a1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PFq中點(diǎn)在y軸上，則LPFJ的值IPFil為（）A.4aB.4amC.4a2mD.4am【解析】AF2AF2AF12a,BF2BF2AB4a,AF2BF12a,BF2AB4a2m,故選C.A.B.C.D.【解析】二線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,PF217IPF1I2aIPF2I41IPF2I1IPF1I7223.已知橢圓C:941,點(diǎn)M與橢圓C的焦點(diǎn)不重合，且點(diǎn)M不在橢圓C上，若點(diǎn)M關(guān)于橢圓C的兩個焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)N是使得線段MN的中點(diǎn)在橢圓C上的點(diǎn)，則IANIIBN

7、I（）A.9B.12C.14D.1622.設(shè)F1,F2為橢圓y24【答案】B【解析】設(shè)橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別為F1,F2,MN的中點(diǎn)為G,連接GF1,GF2,則點(diǎn)G在橢圓C上,11、因為M關(guān)于F1，F(xiàn)2的對稱點(diǎn)分別為A,B,所以|GFJ|AN|,IGF2I-|BN|,22所以|AN|BN|2(|GFi|GF2|)4a12.XV22.24.已知橢圓Ci：=11(ab0)與圓C2：x2y2b2,若在橢圓Ci上存在點(diǎn)P,過P作圓C2的ab_，_，、._一八，r九切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,使得APB,則橢圓C1的離心率的取值范圍是()3ABW。4,3)。01)【解析】當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的一個長軸端點(diǎn)時，兩

8、切線形成的夾角最小，不妨設(shè)為_九b所以要使橢圓。上存在滿足條件的點(diǎn)P,只需a一,易得sin-,32a所以一sina62222.123223_23_又bac,解得c-a,e一，即e，即e4443所以橢圓g的離心率的取值范圍是/).25.若點(diǎn)P在拋物線yx2上，點(diǎn)Q在圓x2(y4)21上，則|PQ|的最小值是()/27.15d15dJ(x-)11,A.41B.-51C.2D.5122【答案】B【解析】設(shè)圓x*45(y4)21的圓心為A(0,4),因為點(diǎn)P在拋物線yx2上，設(shè)P(x,x2),所以|PQ|AP|AQ|x2(x24)21.x67x2161442即|PQ|的最小值是巫1.26.已知以原點(diǎn)O

9、為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線G,其一條漸近線的傾斜角為60,F為該雙曲線的右M在雙曲線G上，且點(diǎn)N是線段MF的中點(diǎn)，若|ON|NF|1,則雙曲線G的方程為（）2c222八2c2/x3y/xy/A.x3y1B.一11C.一16441222【解析】設(shè)雙曲線G的方程為與、1（aa2b2點(diǎn)F是該雙曲線的左焦點(diǎn)，連接MF,因為點(diǎn)N是線段MF的中點(diǎn)，所以線段ON是4MFF的中位線,則|MF|MF|2(|ON|NF|)2,即2a2,所以a1,焦點(diǎn)，位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)0,b0),_2D.x又雙曲線的一條漸近線的傾斜角為60,則tan602所以雙曲線G的方程為x2L1.3、填空題22xV.7.已知動點(diǎn)P(x,V

10、)在橢圓C:1上，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足MF1,2516uuiruuuruuuu且MPMF0,則|PM|的最小值為.【答案】322222【解析】由題意，得F(3,0),PMPFMF(ac)21(53)213,uuuu一所以|PM|minV3.28 .若橢圓-y21(a1)的離心率ea【答案】2,5X22【斛析】Q橢圓y1的離心率eaJ3,所以bB顯,則雙曲線x2紜1的焦距為.2a2立且a1,2所以e點(diǎn)得a22雙曲線X2與1的焦點(diǎn)為(Ja21,0),即(75,0),a所以該雙曲線的焦距為2J5.229.F是橢圓士上1的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)的一定點(diǎn)，P為橢圓上的一動點(diǎn)，則43最小值

11、為.【答案】4.5【解析】設(shè)橢圓的另一焦點(diǎn)為F,則F(1,0),連接AF,PF,PA|PF|PA2aPF|2a(PF|PA)2aAF|475,當(dāng)P是AF的延長線與橢圓的交點(diǎn)時，|PAPF取得最小值為4后.10.拋物線C:y24x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.1【答案】(-,1)4【解析】過點(diǎn)Q作QRl于點(diǎn)R,當(dāng)B,Q,R三點(diǎn)共線時，|BQ|QF|BQQR最小,1此時 Q 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1,代入到拋物線的方程可得到 x-,4于是點(diǎn)Q(-,1).4PF的22XV11.已知雙曲線-22_i（ao,b0）的左，右焦點(diǎn)分別為FI,F2,等邊三角形PF1F2與雙曲線交于M

12、,abN兩點(diǎn)，若M,N分別為線段PFi,PF2的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為.【答案】.,31【解析】由題意可知|PFi|PF2|F1F2|2c,則|MFi|c,|MF21底,因為|MF2|MF1|（,31）c2a,則該雙曲線的離心率為e22,XV-1與橢圓1相交于A,B兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P,使得PAB面積等于3,這樣169的點(diǎn)P共有個._6【解析】由題意AB5,則ZXPAB的圖為-.5、一，、XV,6,與直線一一1平行且距離為一的直線方程為3x4V60（與橢圓相父）和3x4y180（與橢圓435相離），所以這樣的點(diǎn)有2個.13.一個等邊三角形的兩個頂點(diǎn)在拋物線y220 x上，第三個頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則

13、這個三角形的面積為.【答案】1200.312.直線-V43【解析】設(shè)此三角形為AOAB,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由|OAOB得：xi2yi2X22y22,22即Xi20 xiX220X2,(x1x2)(x1x220)0,2一2QX0,x20,xix2,則yiy2,yiy2,、3A,B關(guān)于x軸對稱，A,B在直線yx,3聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得到A(60,20j3),B(60,2073),OAB是邊長為40省的等邊三角形，所以它的面積為Si200j3.三、解答題22xyi4.設(shè)點(diǎn)P是橢圓y-i上的動點(diǎn)，F(xiàn)i,F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，求sin259【答案】i【解析】由方程可知設(shè)Fi(

14、4,0),F2(4,0),PFiri,PF22,EPF2RPF2的最大值.ri則有二2ir2i0L(i)2r22M2cos64L(2)2(i)2(2),得2ri2(icos)36,ii8cos,rmQrir22折；,rm的最大值為a,1cos叫即cos25Q,句，當(dāng)一時，sin取得最大值為1,2所以sinF1PF2的最大值為1.線交l于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C.(1)求曲線C的方程;(2)以曲線C上的點(diǎn)Q(Xo,yo)(yo0)為切點(diǎn)作曲線C的切線L,設(shè)l1分別為x,y軸交于A,B兩點(diǎn),且11恰與以定點(diǎn)M(a,0)(a2)為圓心的圓相切，當(dāng)圓M的面積最小時，求4ABF與4QAM面積的比.【答案】(1)y784x；(2)1:4.【解析】(1)由題意得|PH|PF|,點(diǎn)P到直線l.點(diǎn)P的軌跡是以l的準(zhǔn)線，F(xiàn)為焦點(diǎn)的拋物線,.點(diǎn)P的軌跡C的方程為y24x.7/、(xx0),x015.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F(1,0),直線l:x1,動直線l垂直l于點(diǎn)H,線段HF的垂直平分:x1的距離等于它到定點(diǎn)F(1,0)的距離,，以Q為切點(diǎn)的切線l1的斜率為k(2)由y24x,當(dāng)y0時，y2/x,.y以Q(x0