11分類加法計(jì)數(shù)事理與分步乘法計(jì)數(shù)事理

1、人教A版 選修2 3精講細(xì)練1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理知識精講i計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1 類方案中有m種不同的方法，在第 2類方案中有n種不同的方法.那么 完成這件事共有m+n種不同的方法.完成一件事需要兩個步驟，做第1 步有m種不同的方法，做第2步有 n種不同的方法，那么完成這件事共 有m*n種不同的方法.區(qū)別一完成一件事有兩類不同方 案，關(guān)鍵詞“分類”完成一件事需要兩個步驟，關(guān)鍵詞“分步”區(qū)別二每類方案都能獨(dú)立地完成 這件事，它是獨(dú)立的、一次 的且每次得到的是最后結(jié) 果，只需一種方法就可完成 這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何

2、一 步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何 一步也不能完成這件事，只有各個步 驟都完成了，才能完成這件事區(qū)別三各類方案之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的2計(jì)數(shù)原理選取對于兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用問題，一般是先分類再分步，分類時(shí)要設(shè)計(jì)好標(biāo)準(zhǔn)， 設(shè)計(jì)好分類方案，防止重復(fù)和遺漏；分步時(shí)要注意步與步之間的連續(xù)性，同時(shí)應(yīng)合 理設(shè)計(jì)步驟順序，使各步互不干擾.二、典例細(xì)練【題型一】：分類加法計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用例題1:書架上層放有13本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有14本不同的語文書，下層放有15本不同的化學(xué)書，某人從中取出一本書，有多少種不同的取法?【解析】要完成“取一本書”這件事有三類不同的取法：第1類

3、，從上層取一本數(shù)學(xué)書有13種不同的方法；第2類，從中層取一本語文書有14種不同的方法；第3類，從下層取一本化學(xué)書有15種不同的方法.其中任何一種取法都能獨(dú)立完成取一本書這件事，故從中取一本書的方法種數(shù)為 13+ 14+ 15= 42.【點(diǎn)評】分類的原則：標(biāo)準(zhǔn)一致，不重復(fù)，不遺漏. 變式訓(xùn)練：某校高三共有三個班，其各班人數(shù)如下表：班級男生數(shù)女生數(shù)總數(shù)高三(1)302050高三(2)303060高三(3)352055(1) 從三個班中選一名學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？(2) 從1班、2班男生中或從3班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？【解析】：(1)從三個班中任選一名學(xué)生

4、，可分三類:第1類，從1班任選一名學(xué)生，有50種不同選法;第2類，從2班任選一名學(xué)生，有60種不同選法;第3類，從3班任選一名學(xué)生，有55種不同選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法共有N = 50 + 60+ 55= 165（種）(2)由題設(shè)知共有三類：第1類，從1班男生中任選一名學(xué)生，有 30種不同選法; 第2類，從2班男生中任選一名學(xué)生，有 30種不同選法;第3類，從3班女生中任選一名學(xué)生，有 20種不同選法; 由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法共有N = 30 + 30+ 20 = 80(種).【題型二】：分步乘法計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用例題2:已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a

5、,b)(a,b M)表示平面上的點(diǎn)，問:(1) 點(diǎn)P可表示平面上多少個不同的點(diǎn)？(2) 點(diǎn)P可表示平面上多少個第二象限內(nèi)的點(diǎn) ？【解析】：(1)確定平面上的點(diǎn)P(a,b),可分兩步完成：第一步確定a的值，有6種不 同方法；第二步確定b的值，也有6種不同方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面 上點(diǎn)P的個數(shù)為6冷=36.(2)確定平面上第二象限內(nèi)的點(diǎn)P,可分兩步完成:第一步確定a的值，由于a0,所以有2種不同方法由分步乘法計(jì) 數(shù)原理，得到平面上第二象限內(nèi)的點(diǎn) P的個數(shù)為32=6.【點(diǎn)評】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題應(yīng)注意 :(1)要按事件發(fā)生的過程合理分 步，即分步是有先后順序的；(2)各步中的方法

6、互相依存，缺一不可，只有各個步驟都 完成才算完成這件事.變式訓(xùn)練1: (2011年高考課標(biāo)全國卷)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參 加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為()A；BiC.2D.；【解析】：選A.甲、乙兩位同學(xué)參加3個小組的所有可能性有3X3= 9(種)，其中甲、乙兩人參加同一個小組的情況有3(種)故甲、乙兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率P=1變式訓(xùn)練2:現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個課外知識講座，每名同學(xué)可自由)65選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是(B.6X5X4X3X2A. 56C. 2【解析】：每位同學(xué)都有5種選擇，

7、則6名同學(xué)共有56種不同的選法，故選A.【題型三】：兩個計(jì)數(shù)原理的綜合使用例題3:現(xiàn)有高一學(xué)生50人，高二學(xué)生42人，高三學(xué)生30人，組成冬令營.(1)若從中選一人作總負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(2) 若每年級各選一名負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(3) 若從中推選兩人作為中心發(fā)言人，要求這兩人要來自不同的年級，則有多少 種選法？【解析】從高一選一人作總負(fù)責(zé)人有 50種選法；從高二選一人作總負(fù)責(zé)人 有42種選法；從高三選一人作總負(fù)責(zé)人有 30種選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，可 知共有50 + 42+ 30= 122種選法.(2) 從高一選一名負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選一名負(fù)責(zé)人有 42種選法

8、；從高 三選一人作負(fù)責(zé)人有30種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知共有 50 X 42 X 30= 63 000種選法.(3) 高一和高二各選一人作中心發(fā)言人，有50X 42= 2 100種選法； 高二和高三各選一人作中心發(fā)言人，有42X 30= 1 260種選法； 高一和高三各選一人作中心發(fā)言人，有50X 30= 1 500種選法.故共有 2 100+ 1 260+ 1 500= 4 860 種選法.【點(diǎn)評】用兩個計(jì)數(shù)原理解決具體問題時(shí)， 首先要分清是 分類”還是 分步”其 次要清楚 分類”或 分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在 分類”時(shí)要做到 不重不漏”在 分步” 時(shí)要正確設(shè)計(jì) 分步”的程序，注意步與步之間

9、的連續(xù)性.變式訓(xùn)練：7名同學(xué)中，有5名會下象棋，有4名會下圍棋.現(xiàn)從這7人中選2 人分別參加象棋和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？【解析】:依題意，既會象棋又會圍棋的 多面手”有5+ 4-7 = 2人.方法一：第一類，先從會下象棋但不會下圍棋的 3人中選1人，再從會下圍棋的 4人中選1人，共有34= 12(種)選法.第二類，先從既會下象棋又會下圍棋的 2人中選1人，再從會下圍棋的剩余 3 人中選1人下圍棋，有2X3 = 6(種)選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得 N= 12+ 6 = 18(種).方法二：第一類，多面手”不參加，從只會下象棋的3人中選1人，從只會下圍棋的2人中選1人，共有32 = 6（

10、種）選法.第二類，多面手”中有一人參加象棋有2種選法，再從只會下圍棋的2人中選1 人，共有2&二4（種）選法.第三類，多面手”中有一人參加圍棋有2種選法，再從只會下象棋的3人中選1 人，共有2X3 = 6（種）選法.第四類， 多面手”都參加，有2種選法，故N= 6+ 4+ 6+ 2= 18（種）.【題型四】：經(jīng)典問題（1）涂色問題操 場舍區(qū)餐 廳教學(xué)區(qū)例題4 （1）圖例題4 （2）圖例題4（ 1）:如圖是某校的校園設(shè)施平面圖，現(xiàn)用不同的顏色作為各區(qū)域的底色， 為了便于區(qū)分，要求相鄰區(qū)域不能使用同一種顏色若有 5種不同的顏色可選， 則有中不同的著色方案.【解析】：操場可從5種顏色中任選1種著色；

11、餐廳可從剩下的4種顏色中任選 1種著色；宿舍區(qū)和操場、餐廳顏色都不能相同，故可從其余的 3種顏色中任選 1種著色；教學(xué)區(qū)和宿舍區(qū)、餐廳的顏色都不能相同，故可從其余的 3種顏色中 任選1種著色根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 5X4X3X3= 180種著色方案.例題4（ 2）用5種不同的顏色給圖中的四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，若要 求相鄰（有公共邊）的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？【解析】：第一類：1號區(qū)域與4號區(qū)域同色，此時(shí)可分三步來完成，第一步,先涂1 號區(qū)域和4號區(qū)域,有5種涂法，第二步,再涂2號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域和4號區(qū) 域同色即可，因此有4種涂法；第三步，涂3號區(qū)域，只

12、要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域 同色即可，因此也有4種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5X4X4=80種涂法;第二 類:1號區(qū)域與4號區(qū)域不同色，此時(shí)可分四步來完成，第一步，先涂1號區(qū)域，有5 種涂法，第二步，再涂4號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域同色即可，因此有4種涂法；第三 步，涂2號區(qū)域,只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可，因此有3種涂法涕四步， 涂3號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可，因此也有3種涂法由分步乘 法計(jì)數(shù)原理知，有5X4X3X3=180種涂法.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的涂色方 法種數(shù)為80+180=260.【點(diǎn)評】反思：涂色問題一般是綜合利用兩個計(jì)數(shù)原理求解，但也有幾種常用方

13、法：(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；(2)以顏色為 主分類討論，適用于 區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析；(3)將空間 問題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域的涂色問題.變式訓(xùn)練1:用5種不同顏色給圖中的 A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定一個區(qū) 域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，問有多少種不同的涂色方案？【解析】解法一：A可從5種顏色中任選1種著色；B可從剩下的4種顏色中任選1種著 色；C和A、B顏色都不能相同，故可從其余的3種顏色中任選1種著色；D和B、C的顏色都不能相同，故可從其余的 3種顏色中任選1種著色根據(jù)分步乘 法計(jì)數(shù)原理，共有5X4X3X3= 4

14、80種著色方案解法二：先分為兩類：第一類，當(dāng)D與A不同色，則可分為四步完成第一步涂 A有5種方法，第二 步涂B有4種方法，第三步涂C有3種方法，第四步涂D有2種涂法，由分步 乘法計(jì)數(shù)原理，共有5X 4X 3X 2= 120種方法.第二類，當(dāng)D與A同色，分三步完成，第一步涂 A和D有5種方法，第二步涂 B有4種方法，第三步涂C有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有 5X 4X 3 = 60(種)，所以共有120+ 60= 180種不同的方案.變式訓(xùn)練2:用紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同的涂色方法？【解析】：給各區(qū)域標(biāo)記號A、B、C、

15、D、E，則A區(qū)域有4種不同的涂色方法， B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種，但E區(qū)域的涂色依賴于B與D 涂色的顏色，如果 B與D顏色相同有2種，如果不相同，則只有一種.因此應(yīng) 先分類后分步.第一類，B、D涂同色時(shí)，有4X 3X 2X 1X 2= 48種， 第二類，當(dāng)B、D不同色時(shí)，有4X 3X 2X 1X 1 = 24種, 故共有48 + 24= 72種不同的涂色方法.變式訓(xùn)練3:如圖，一環(huán)形花壇被分成A,B,C,D四個區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的花可供數(shù)為().選種,要求在每個區(qū)域里種1種花，且相鄰的2個區(qū)域種不同的花，則不同種法的種A.96B.84C.60D.48【解析】方法一：先種 A地有

16、4種，再種B地有3種，若C地與A地種相同的 花，則C地有1種，D地有3種；若C地與A地種不同花，則C地有2種，D 地有2種，即不同種法總數(shù)為 N = 4X 3X (1X 3 + 2X 2) = 84種.方法二：若種4種花有4X 3X 2X 1 = 24種；若種3種花，則A和C或B和D 相同，有2X 4X 3X 2 = 48種；若種2種花，則A和C相同且B和D相同，有4X 3= 12 種.共有 N = 24+ 48 + 12= 84 種.變式訓(xùn)練4:將1,2,3填入3X3的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，如圖是一種填法，則不同的填寫方法共有A. 6種C. 24 種()aB. 12 種丄D.

17、 48 種S【解析】：假設(shè)第一行為1,2,3，則第二行第一列可為2或3,此時(shí)，其他剩余的 空格都只有一種填法，又第一行有 32X1 = 6種填法.故不同填寫方法共有 6X2 =12 種.變式訓(xùn)練5:如圖，用6種不同的作物把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相 鄰區(qū)域不能種植同一種作物，則不同的種法共有（）A. 400種B. 460種C. 480種D. 496種【解析】：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A種相同作物1 種，D、A不同作物3種，.不同種法有6X 5X 4X （1 + 3） = 480種.故選C.變式訓(xùn)練6:有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的 4塊試驗(yàn)田中，每塊

18、種植一種作物，相鄰的試驗(yàn)田（有公共邊）不能種植同一種作物，共有多少種不同 的種植方法？ABCD【解析】方法一：第一步，種植 A試驗(yàn)田有4種方法；第二步，種植B試驗(yàn)田有3種方法；第三步，若C試驗(yàn)田種植的作物與B試驗(yàn)田相同，則D試驗(yàn)田有3種方法，此 時(shí)有1X 3= 3種種植方法.若C試驗(yàn)田種植的作物與B試驗(yàn)田不同，則C試驗(yàn)田有2種種植方法，D也有 2種種植方法，共有2X 2= 4種種植方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，有 3+ 4= 7 種方法.第四步，由分步乘法計(jì)數(shù)原理有 N = 4X 3X 7 = 84種不同的種植方法.方法二： (1)若 A、D 種植同種作物，則 A、D 有 4種不同的種法， B

19、有 3 種種植 方法，C也有3種種植方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4X 3X 3= 36種種植方 法(2)若 A、D 種植不同作物，則 A 有 4 種種植方法， D 有 3 種種植方法， B 有 2 種種植方法， C 有 2 種種植方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 4X 3X 2X 2= 48 種種植方法綜上所述，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有 N= 3648=84種種植方法 .【題型五】：經(jīng)典問題( 2)組數(shù)問題例題 5：用 0,1,2,3,4 這五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的 (1)四位密碼？ (2) 四位數(shù)？ (3)四位奇數(shù)？【解析】 (1)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四

20、步：第一 步，選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有 5 種選取方法；第二步，選取左邊第二個 位置上的數(shù)字，有 4種選取方法；第三步，選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步，選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有 2 種選取方法由分步 乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有 N= 5X 4X 3X 2= 120 個(2) 完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從1,2,3,4這 4 個數(shù)字中選一個數(shù)字作千位數(shù)字， 共 4 種不同的選取方法， 第二步從 1,2,3,4 中剩余的三個數(shù)字和 0共 4個數(shù)字選一個數(shù)字作百位數(shù)字， 有 4種不同的選取方 法；第三步， 從剩余的三個數(shù)字

21、中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有 3 種不同的選取方法； 第四步， 從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字， 有 2 種不同的選 取方法 由分步乘法計(jì)數(shù)原理， 可以組成不同的四位數(shù)共有 N= 4X 4X 3X 2= 96 個(3) 完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步： 第一步定個位，只能從 1、3 中任取一個有兩種方法，第二步定首位，把 1、 2、 3、 4 中除去用過的一個還有 3 個可任取一個有 3 種方法，第三步，第四步把剩 下的包括 0在內(nèi)的還有 3個數(shù)字先排百位 3 種方法，再排十位有 2種方法由分 步乘法計(jì)數(shù)原理共有 2X 3X 3X 2= 36 個變式訓(xùn)練 1：從集合 0,1,2,3,4,5,6中任取兩個互不相等的數(shù) a， b 組成復(fù)數(shù) abi，其中虛數(shù)有 ( )A. 30 個B. 42 個 C . 36 個D. 35 個【解析