專升本高數(shù)復(fù)習(xí)全

1、第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1. 了解極限的概念（對(duì)極限定義 I等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2. 了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3. 理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。 會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求 極限。4. 熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1. 理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2. 會(huì)

2、求函數(shù)的間斷點(diǎn)。3. 掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。4. 理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。第二章一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)考試要求1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)。2. 會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。3. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4. 掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6. 理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)考

3、試要求1. 熟練掌握用洛必達(dá)法則求“0K”、“g”型未定式的極限的方法。2. 掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會(huì)利用函數(shù)的單 調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。3. 理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法， 會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。4. 會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。 5會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分復(fù)習(xí)考試要求1. 理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2. 熟練掌握不定積分的基本公式。3. 熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。4. 熟練掌握不定積分

4、的分部積分法。5. 掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。第二節(jié)定積分及其應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1. 理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件2. 掌握定積分的基本性質(zhì)3. 理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4. 熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式。5. 掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6. 理解無(wú)窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。7. 掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成 的旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)考試要求1. 了解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。3.

5、 理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。 掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4. 掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5. 會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值和條件極值。6. 會(huì)用二元函數(shù)的無(wú)條件極值及條件極值解簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。第五章概率論初步復(fù)習(xí)考試要求1. 了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)的基本特點(diǎn)；理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。2. 掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對(duì)立關(guān)系。3. 理解事件之間并（和）、交（積）、差運(yùn)算的意義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。4. 理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。5.

6、會(huì)求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。6. 了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。7. 理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計(jì)算方法。8. 會(huì)求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1. 了解極限的概念（對(duì)極限定義-等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn) 處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2. 了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3. 理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。 會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求 極限。4.

7、 熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。主要知識(shí)內(nèi)容（一）數(shù)列的極限1. 數(shù)列定義按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列，記作Xn，數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第 n項(xiàng)Xn為數(shù) 列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如（1）1 , 3 , 5，（2n-1 ）,（等差數(shù)列）（2）占卜4 （等比數(shù)列）（3）拆卜角（遞增數(shù)列）I *嚴(yán)（4）1 , 0, 1 , 0,丄，（震蕩數(shù)列） 都是數(shù)列。它們的一般項(xiàng)分別為n ”&曠（2n-1 ）,。對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,都有一個(gè)Xn與之對(duì)應(yīng)，所以說(shuō)數(shù)列Xn可看作自變量n的函數(shù)xn=f （n）,它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排

8、列成數(shù)列在幾何上，數(shù)列Xn可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)X1,X2,X3，Xn,。2. 數(shù)列的極限定義對(duì)于數(shù)列Xn，如果當(dāng)n-K時(shí)，Xn無(wú)限地趨于一個(gè)確定的常數(shù) A，則稱當(dāng)n趨于 無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列Xn以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于 A，記作 m呵 比如：用“4無(wú)限的趨向0；詩(shī)詒：無(wú)限的趨向1 否則，對(duì)于數(shù)列Xn,如果當(dāng)n-K時(shí)，Xn不是無(wú)限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)， 稱數(shù)列Xn 沒(méi)有極限，如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如：1 , 3, 5，(2n-1 ),i*( I?*數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù) A及數(shù)列的項(xiàng)時(shí)喬依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若數(shù)列Xn 以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)

9、，點(diǎn)Xn可以無(wú)限靠近點(diǎn)A，即點(diǎn)Xn與點(diǎn)A之 間的距離|Xn-A|趨于0。比如：冷卜尹無(wú)限的趨向0 嚴(yán)遼無(wú)限的趨向1（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則1. 數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1 （惟一性）若數(shù)列Xn收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2 （有界性）若數(shù)列Xn收斂，則它必定有界。注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收斂。比如:ir* , 一1 , 0, 1 , 0， 有界：0 , 12. 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理1.3 （兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列Xn,yn,Zn滿足以下條件：(1 )定理1.4若數(shù)列Xn單調(diào)有界，則它必有極限3. 數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。定理1.5(3 )當(dāng)時(shí),(三) 函數(shù)極

10、限的概念1. 當(dāng)Xixo時(shí)函數(shù)f (x)的極限(1 )當(dāng)xtxo時(shí)f (x)的極限 定義對(duì)于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x無(wú)限地趨于xo時(shí)，函數(shù)f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)xtxo時(shí)，函數(shù)f (x)的極限是A，記作或 f (x)T A (當(dāng) XTxo 時(shí))例 y=f (x) =2x+1XT 1,f ( x ) Tx1x T 1(2) 左極限當(dāng)xtxo時(shí)f (x)的左極限定義對(duì)于函數(shù)y=f (x)，如果當(dāng)x從xo的左邊無(wú)限地趨于xo時(shí)，函數(shù)f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)xtxo時(shí)，函數(shù)f (x)的左極限是A，記作或 f (xo-o ) =A(3) 右極限當(dāng)XTxo時(shí)，f (x)的

11、右極限定義對(duì)于函數(shù)y=f (x)，如果當(dāng)x從xo的右邊無(wú)限地趨于xo時(shí)，函數(shù)f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)xtxo時(shí)，函數(shù)f (x)的右極限是A，記作或 f (xo+o ) =A例子：分段函數(shù)求 ，解:當(dāng)x從o的左邊無(wú)限地趨于o時(shí)f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱當(dāng)xto時(shí),f (x)的左極限是1，即有 當(dāng)x從o的右邊無(wú)限地趨于o時(shí)，f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)-1。我們稱當(dāng)xTo時(shí), f (x)的右極限是-1，即有顯然，函數(shù)的左極限右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系：定理1.6當(dāng)xTxo時(shí)，函數(shù)f (x)的極限等于A的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于 A，則必有 。X 1

12、時(shí) f(x)x 1f(x) 2對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x 1時(shí)，f (x)的左極限是2,右極限也是2。2. 當(dāng)xx時(shí)，函數(shù)f (x)的極限(1 )當(dāng)xX時(shí)，函數(shù)f (x)的極限y=f(x)x xf(x)y=f(x)=1+xx f(x)=1 + 1定義對(duì)于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)xx時(shí)，f(x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱當(dāng)x x時(shí)，函數(shù)f (x)的極限是A，記作區(qū)fg或 f (x) A (當(dāng) xx時(shí))(2) 當(dāng)x + x時(shí)，函數(shù)f (x)的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x + x時(shí)，f(x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱當(dāng)x + x時(shí)，函數(shù)f( x)的極限是A，記作陽(yáng)：心這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基

13、本上一樣，數(shù)列極限的定義中n +x的n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫出x + x,且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。 y=f(x)x + xf(x)x ?x + x, f(x)=2+ 2例：函數(shù) f (x) =2+e -x，當(dāng) x + x時(shí)，f(x)?解：f (x) =2+e -x=2+ :,x + x, f (x) =2+ 2所以(3) 當(dāng)x-x時(shí)，函數(shù)f (x)的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f (x)，如果當(dāng)x-x時(shí)，f(x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱當(dāng)x -x時(shí)，f (X)的極限是A，記作x oo f(x) ?則 f(x)=2+ (x v 0)x x,x + xf(x)=2+ 2例

14、：函數(shù)，當(dāng)x - x時(shí)，f (x) ?解：當(dāng)x f - X時(shí)，-x T + oo 心曲比宀2，即有 由上述x fo, x f + o, x f - o時(shí)，函數(shù)f （ x ）極限的定義，不難看出：Xfo時(shí)f （ x ） 的極限是A充分必要條件是當(dāng)xf + o以及xf -o時(shí)，函數(shù)f（x）有相同的極限A。例如函數(shù)扌，當(dāng)xf - o時(shí)，f （ x）無(wú)限地趨于常數(shù)1，當(dāng)xf + o時(shí)，f （ X）也無(wú)限 地趨于同一個(gè)常數(shù)1，因此稱當(dāng)xfo時(shí)的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。f（x）=1+ ?y=arcta nx曲沁：不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx 來(lái)講，因?yàn)橛屑措m然當(dāng)xf-o時(shí)，f（x）的極

15、限存在，當(dāng)xf + o時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩 個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng) xfo時(shí)，y=arctanx的極限不存在。x）=1+ *y=arcta nx|gs不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx 來(lái)講，因?yàn)橛屑措m然當(dāng)xf-o時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)xf + o時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩 個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng) xfo時(shí)，y=arctanx的極限不存在。（四）函數(shù)極限的定理定理1.7 （惟一性定理）如果 存在，則極限值必定惟一。定理1.8 （兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：（1）|曲）4飛陰,（2） |!愛(ài)眇“!吹切“則有歹*。注意：上述定理1.7

16、及定理1.8對(duì)也成立F面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理定理1.9如果險(xiǎn)心供和T則(1)lifflU11)既巧 lim/(r)w 1B-“+弓r%Lin A) A 5如=一=昱 r Lie 曲)B=卄時(shí),(2)(3)上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論:(2)tisn r?川jO廠 Ksn /(3)Li lAi疔=f 訕用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存 在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于 的情形也都成立。（五）無(wú)窮小量和無(wú)窮大量1. 無(wú)窮小量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮?。┒x對(duì)于函數(shù)，如果自變量x在某個(gè)

17、變化過(guò)程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮小量，一般記作常用希臘字母，來(lái)表示無(wú)窮小量。定理1.10函數(shù) 以A為極限的必要充分條件是：可表示為A與一個(gè)無(wú)窮小量之和。注意：（1 ）無(wú)窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無(wú)限趨 于為零。（2 ）要把無(wú)窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)，一個(gè)很小的數(shù)，無(wú)論它多么小也不是無(wú)窮 小量。（3） 一個(gè)變量是否為無(wú)窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過(guò)程 中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡相同。例如：.、 I .：-：m:振蕩型發(fā)散 帥阿（4 ）越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o(wú)窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，叫就越變?cè)?/p>

18、小，但它不是無(wú)窮小量。（5 ）無(wú)窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“ 0 ”是無(wú)窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)?吧2. 無(wú)窮大量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮大）定義；如果當(dāng)自變量（或乂）時(shí)， 的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無(wú)限地增大），則稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮大量。記作。注意：無(wú)窮大（乂）不是一個(gè)數(shù)值，“乂”是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫成或 。3. 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見(jiàn)以下的定理。定理1.11在同一變化過(guò)程中，如果朋為無(wú)窮大量，則則為無(wú)窮小量；反之，如果 妙為 無(wú)窮小量，且畑二則氏為無(wú)窮大量。當(dāng)無(wú)窮大叫刊無(wú)窮小當(dāng)飼/為無(wú)窮小:匸廠無(wú)窮大4. 無(wú)窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小量的

19、代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；特別地，常量與無(wú)窮小量的 乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)3有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)4無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。5. 無(wú)窮小量的比較定義設(shè)，是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，即=11-（1）如果 則稱是比較高階的無(wú)窮小量，記作 ；（2）如果 則稱與 為同階的無(wú)窮小量；（3） 如果少則稱“與莊為等價(jià)無(wú)窮小量，記為;（4）如果 則稱 是比較低價(jià)的無(wú)窮小量。當(dāng)?shù)葍r(jià)無(wú)窮小量代換定理：空盧a*1czn bin = bm 如果當(dāng)時(shí)|2和2切，2均為無(wú)窮小量，又有列且:卅存在，則1。-均為無(wú)窮小又有:T這個(gè)性質(zhì)常常使用在極

20、限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無(wú) 窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無(wú)窮小量代換有：當(dāng) 時(shí)，sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;（六）兩個(gè)重要極限1重要極限I重要極限I是指下面的求極限公式令= : =這個(gè)公式很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的型的極限問(wèn)題。其結(jié)構(gòu)式為：曲斜2. 重要極限H重要極限H是指下面的公式：其中e是個(gè)常數(shù)(銀行家常數(shù))，叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為 其結(jié)構(gòu)式為：重要極限I是屬于 型的未定型式，重要極限H是屬于“型的未定式時(shí)，這兩個(gè)重 要極限在極限計(jì)算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。(七) 求極限的方法

21、：1. 利用極限的四則運(yùn)算法則求極限；2. 利用兩個(gè)重要極限求極限；3. 利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限；4. 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5. 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；6. 利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限。基本極限公式(2)撬(3 )(4 )I:. CigF t叫疔1寸電*心例1.無(wú)窮小量的有關(guān)概念(1) 9601下列變量在給定變化過(guò)程中為無(wú)窮小量的是J 7+3 答CD.(2) 0202當(dāng) 時(shí)，-與x比較是A.高階的無(wú)窮小量B.等價(jià)的無(wú)窮小量C.非等價(jià)的同階無(wú)窮小量D.低階的無(wú)窮小量答B(yǎng)解:當(dāng)-，與x是極限的運(yùn)算：0611瀉害二驚/警4勺:;疇21 z解：答案-1例2.型因式分解約分求極限L氣半1

22、1:c-2 i2-4答”0208(2)0621計(jì)算U-)Ije + 1I jj - A A 2-Jim hni解:淤R例3.型有理化約分求極限（1）0316計(jì)算皚:沖答枯解：. 圧石-3. 朋（2）9516山 6旋答4（辰Th輩辰石杓HTii嫡角軍:小_ Z皿J _ dJh匕+軌五”扛*適例4.當(dāng)時(shí)求型的極限答（1）0308一般地，有例5.用重要極限I求極限（1）9603下列極限中，成立的是A.k乜民寧門C.輒于 D.吋:J 答B(yǎng)| iwxr|T1（2） 0006答角軍 :- 6 -獸 肚+圳r-Jj2Z-2t- J ar 二卻(石 占Jhm曲知+i43 ADr+$例6.用重要極限H求極限答（

23、1）0416計(jì)算解析解一：令卜“：解二：廨式i他a + -p|2 -曲m十占了 Fi-SD f1-5 it0306lin=門0601（2） 0118 角軍:匸t |： 例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限答0計(jì)算I濱瀘:|答K- f0407j-D/加.1,丄門=：-工.址例8.用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限答0ZK1-(1) 0307則在的左極限答1解析yw幣如弋訃.t3+l ir0Tjf(T、JT + lta *月 _ I . r ， 忸廠則常數(shù)“，即 |+一 =*，得 .解析解法一：Ta0317解:當(dāng)例9.求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，解得-.角軍法_二：令 丹m.-：；：宀: 得 解法三：(洛必達(dá)法則)

24、+6 . 2j +i .一，一鳴 T；一*-即et 胡，得“一?.p + Jl + b(2 )若求a,b的值.解析型未定式. 當(dāng)詁i|日寸dliEtofl1，得所以04020017，則k=.(答:In2 )解析叫前面我們講的內(nèi)容: 極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運(yùn)算法則；兩個(gè)重要極限；無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的 概念；無(wú)窮小量的性質(zhì)以及無(wú)窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1. 理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系，掌握判斷函數(shù)(含分段函數(shù))在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。3. 掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。4. 理

25、解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。主要知識(shí)內(nèi)容(一)函數(shù)連續(xù)的概念1函數(shù)在點(diǎn)xo處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)xo的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量厶x (初值 為xo)趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的改變量厶y也趨近于0,即則稱函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)xo處連續(xù)。函數(shù)y=f ( x)在點(diǎn)xo連續(xù)也可作如下定義：定義2設(shè)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)xo的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)Xixo時(shí)，函數(shù)y=f (x) 的極限值存在，且等于xo處的函數(shù)值f (xo) ,即卩定義3設(shè)函數(shù)y=f (x)，如果 -，則稱函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo處左連續(xù)；如果1 -, 則稱函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo

26、處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)xo處連 續(xù)，則f (x)在點(diǎn)xo處左連續(xù)也右連續(xù)。2. 函數(shù)在區(qū)間a , b上連續(xù)定義如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上的每一點(diǎn)x處都連續(xù)，則稱f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，并稱f (x)為a , b上的連續(xù)函數(shù)。這里，f (x)在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，-,即f (x)在左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)?？梢宰C明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3函數(shù)的間斷點(diǎn)定義如果函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo處不連續(xù)則稱點(diǎn)xo為f (x) 一個(gè)間斷點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，若 f (x)在點(diǎn)xo處有

27、下列三種情況之一：(1) 在點(diǎn)xo處，f (x)沒(méi)有定義；(2) 在點(diǎn)xo處，f (x)的極限不存在；(3) 雖然在點(diǎn)xo處f (x)有定義，且F門存在，但、， 則點(diǎn)xo是f (x) 一個(gè)間斷點(diǎn)。?-i,呷卜嗎至心，則f (X)在A.x=0,x=1 處都間斷B.x=0,x=1處都連續(xù)C. x=0處間斷，x=1處連續(xù)D. x=0處連續(xù)，x=1處間斷 解：x=0 處，f (0) =0vf (0-0 )占(0+0 ) x=0為f (x)的間斷點(diǎn) x=1 處，f (1) =1 f (1-0 ) =f (1+0 ) =f (1)f (x)在x=1處連續(xù)答案C/(r -9703設(shè)A.0 B.C,D.2,在

28、x=0處連續(xù)，則k等于分析：f (0) =krttcIlTflT答案B例30209設(shè). 在x=0處連續(xù)，則a=解：f (0) =e 0=1Tf (0) =f (0-0 ) =f (0+0 ).a=1答案1(二 )函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù) 函數(shù)的性質(zhì)。定理1.12 (四則運(yùn)算)設(shè)函數(shù)f (x) , g (x)在X。處均連續(xù)，則(1) f (x) g (x)在 xo 處連續(xù)(2) f (x) (x)在 xo 處連續(xù)(3) 若g (X。) M0,貝在X。處連續(xù)。定理1.13 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù) u=g (x)在x=xo處

29、連續(xù)，y=f (u)在uo=g(xo)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=fg (x)在x=xo處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果u=g (x),在xo處極限存在，又y=f (u)在對(duì)應(yīng)的 處連續(xù)，則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即定理1.14 (反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或 嚴(yán)格單調(diào)減少)，則它的反函數(shù)x=f-1 (y)也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或 嚴(yán)格單調(diào)減少)。(三) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f (x)，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。 定理1.15 (有界性定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則f (x)必在a， b上有界。定理1.16 (最大值和最小值定理)如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在這個(gè) 區(qū)間上一定存在最大值和最小值。定理1.17 (介值定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且其最大值和最小值 分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C,在a , b上至少存在一個(gè)E