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文檔簡介

1、第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1. 了解極限的概念(對極限定義 I等形式的描述不作要求)。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限,了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2. 了解極限的有關(guān)性質(zhì),掌握極限的四則運算法則。3. 理解無窮小量、無窮大量的概念,掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。 會進(jìn)行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價)。會運用等價無窮小量代換求 極限。4. 熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1. 理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念,理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系,掌握判斷函數(shù)(含分段函數(shù))在一點處連續(xù)性的方法。2. 會

2、求函數(shù)的間斷點。3. 掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。4. 理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性,會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。第二章一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)考試要求1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義,了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,會用定義求函數(shù)在一點 處的導(dǎo)數(shù)。2. 會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。3. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4. 掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6. 理解微分的概念,掌握微分法則,了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系,會求函數(shù)的一階微分。第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)考

3、試要求1. 熟練掌握用洛必達(dá)法則求“0K”、“g”型未定式的極限的方法。2. 掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會利用函數(shù)的單 調(diào)性證明簡單的不等式。3. 理解函數(shù)極值的概念,掌握求函數(shù)的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法, 會解簡單的應(yīng)用題。4. 會判斷曲線的凹凸性,會求曲線的拐點。 5會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分復(fù)習(xí)考試要求1. 理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系,掌握不定積分的性質(zhì)。2. 熟練掌握不定積分的基本公式。3. 熟練掌握不定積分第一換元法,掌握第二換元法(僅限三角代換與簡單的根式代換)。4. 熟練掌握不定積分

4、的分部積分法。5. 掌握簡單有理函數(shù)不定積分的計算。第二節(jié)定積分及其應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1. 理解定積分的概念及其幾何意義,了解函數(shù)可積的條件2. 掌握定積分的基本性質(zhì)3. 理解變上限積分是變上限的函數(shù),掌握對變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4. 熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式。5. 掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6. 理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念,掌握其計算方法。7. 掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成 的旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)考試要求1. 了解多元函數(shù)的概念,會求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。3.

5、 理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念,掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。 掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法,掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4. 掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5. 會求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。6. 會用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。第五章概率論初步復(fù)習(xí)考試要求1. 了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗的基本特點;理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。2. 掌握事件之間的關(guān)系:包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對立關(guān)系。3. 理解事件之間并(和)、交(積)、差運算的意義,掌握其運算規(guī)律。4. 理解概率的古典型意義,掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計算。5.

6、會求事件的條件概率;掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。6. 了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。7. 理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。8. 會求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1. 了解極限的概念(對極限定義-等形式的描述不作要求)。會求函數(shù)在一點 處的左極限與右極限,了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2. 了解極限的有關(guān)性質(zhì),掌握極限的四則運算法則。3. 理解無窮小量、無窮大量的概念,掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。 會進(jìn)行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價)。會運用等價無窮小量代換求 極限。4.

7、 熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。主要知識內(nèi)容(一)數(shù)列的極限1. 數(shù)列定義按一定順序排列的無窮多個數(shù)稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列,記作Xn,數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項,第 n項Xn為數(shù) 列的一般項或通項,例如(1)1 , 3 , 5,(2n-1 ),(等差數(shù)列)(2)占卜4 (等比數(shù)列)(3)拆卜角(遞增數(shù)列)I *嚴(yán)(4)1 , 0, 1 , 0,丄,(震蕩數(shù)列) 都是數(shù)列。它們的一般項分別為n ”&曠(2n-1 ),。對于每一個正整數(shù)n,都有一個Xn與之對應(yīng),所以說數(shù)列Xn可看作自變量n的函數(shù)xn=f (n),它的定義域是全體正整數(shù),當(dāng)自變量n依次取1,2,3一切正整數(shù)時,對應(yīng)的函數(shù)值就排

8、列成數(shù)列在幾何上,數(shù)列Xn可看作數(shù)軸上的一個動點,它依次取數(shù)軸上的點X1,X2,X3,Xn,。2. 數(shù)列的極限定義對于數(shù)列Xn,如果當(dāng)n-K時,Xn無限地趨于一個確定的常數(shù) A,則稱當(dāng)n趨于 無窮大時,數(shù)列Xn以常數(shù)A為極限,或稱數(shù)列收斂于 A,記作 m呵 比如:用“4無限的趨向0;詩詒:無限的趨向1 否則,對于數(shù)列Xn,如果當(dāng)n-K時,Xn不是無限地趨于一個確定的常數(shù), 稱數(shù)列Xn 沒有極限,如果數(shù)列沒有極限,就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如:1 , 3, 5,(2n-1 ),i*( I?*數(shù)列極限的幾何意義:將常數(shù) A及數(shù)列的項時喬依次用數(shù)軸上的點表示,若數(shù)列Xn 以A為極限,就表示當(dāng)n趨于無窮大時

9、,點Xn可以無限靠近點A,即點Xn與點A之 間的距離|Xn-A|趨于0。比如:冷卜尹無限的趨向0 嚴(yán)遼無限的趨向1(二)數(shù)列極限的性質(zhì)與運算法則1. 數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1 (惟一性)若數(shù)列Xn收斂,則其極限值必定惟一。定理1.2 (有界性)若數(shù)列Xn收斂,則它必定有界。注意:這個定理反過來不成立,也就是說,有界數(shù)列不一定收斂。比如:ir* , 一1 , 0, 1 , 0, 有界:0 , 12. 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理1.3 (兩面夾準(zhǔn)則)若數(shù)列Xn,yn,Zn滿足以下條件:(1 )定理1.4若數(shù)列Xn單調(diào)有界,則它必有極限3. 數(shù)列極限的四則運算定理。定理1.5(3 )當(dāng)時,(三) 函數(shù)極

10、限的概念1. 當(dāng)Xixo時函數(shù)f (x)的極限(1 )當(dāng)xtxo時f (x)的極限 定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x無限地趨于xo時,函數(shù)f (x)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)xtxo時,函數(shù)f (x)的極限是A,記作或 f (x)T A (當(dāng) XTxo 時)例 y=f (x) =2x+1XT 1,f ( x ) Tx1x T 1(2) 左極限當(dāng)xtxo時f (x)的左極限定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x從xo的左邊無限地趨于xo時,函數(shù)f (x)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)xtxo時,函數(shù)f (x)的左極限是A,記作或 f (xo-o ) =A(3) 右極限當(dāng)XTxo時,f (x)的

11、右極限定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x從xo的右邊無限地趨于xo時,函數(shù)f (x)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)xtxo時,函數(shù)f (x)的右極限是A,記作或 f (xo+o ) =A例子:分段函數(shù)求 ,解:當(dāng)x從o的左邊無限地趨于o時f (x)無限地趨于一個常數(shù)1。我們稱當(dāng)xto時,f (x)的左極限是1,即有 當(dāng)x從o的右邊無限地趨于o時,f (x)無限地趨于一個常數(shù)-1。我們稱當(dāng)xTo時, f (x)的右極限是-1,即有顯然,函數(shù)的左極限右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系:定理1.6當(dāng)xTxo時,函數(shù)f (x)的極限等于A的必要充分條件是反之,如果左、右極限都等于 A,則必有 。X 1

12、時 f(x)x 1f(x) 2對于函數(shù),當(dāng)x 1時,f (x)的左極限是2,右極限也是2。2. 當(dāng)xx時,函數(shù)f (x)的極限(1 )當(dāng)xX時,函數(shù)f (x)的極限y=f(x)x xf(x)y=f(x)=1+xx f(x)=1 + 1定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)xx時,f(x)無限地趨于一個常數(shù) A,則稱當(dāng)x x時,函數(shù)f (x)的極限是A,記作區(qū)fg或 f (x) A (當(dāng) xx時)(2) 當(dāng)x + x時,函數(shù)f (x)的極限定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x + x時,f(x)無限地趨于一個常數(shù) A,則稱當(dāng)x + x時,函數(shù)f( x)的極限是A,記作陽:心這個定義與數(shù)列極限的定義基

13、本上一樣,數(shù)列極限的定義中n +x的n是正整數(shù);而在這個定義中,則要明確寫出x + x,且其中的x不一定是正整數(shù),而為任意實數(shù)。 y=f(x)x + xf(x)x ?x + x, f(x)=2+ 2例:函數(shù) f (x) =2+e -x,當(dāng) x + x時,f(x)?解:f (x) =2+e -x=2+ :,x + x, f (x) =2+ 2所以(3) 當(dāng)x-x時,函數(shù)f (x)的極限定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x-x時,f(x)無限地趨于一個常數(shù) A,則稱當(dāng)x -x時,f (X)的極限是A,記作x oo f(x) ?則 f(x)=2+ (x v 0)x x,x + xf(x)=2+ 2例

14、:函數(shù),當(dāng)x - x時,f (x) ?解:當(dāng)x f - X時,-x T + oo 心曲比宀2,即有 由上述x fo, x f + o, x f - o時,函數(shù)f ( x )極限的定義,不難看出:Xfo時f ( x ) 的極限是A充分必要條件是當(dāng)xf + o以及xf -o時,函數(shù)f(x)有相同的極限A。例如函數(shù)扌,當(dāng)xf - o時,f ( x)無限地趨于常數(shù)1,當(dāng)xf + o時,f ( X)也無限 地趨于同一個常數(shù)1,因此稱當(dāng)xfo時的極限是1,記作其幾何意義如圖3所示。f(x)=1+ ?y=arcta nx曲沁:不存在。但是對函數(shù)y=arctanx 來講,因為有即雖然當(dāng)xf-o時,f(x)的極

15、限存在,當(dāng)xf + o時,f(x)的極限也存在,但這兩 個極限不相同,我們只能說,當(dāng) xfo時,y=arctanx的極限不存在。x)=1+ *y=arcta nx|gs不存在。但是對函數(shù)y=arctanx 來講,因為有即雖然當(dāng)xf-o時,f(x)的極限存在,當(dāng)xf + o時,f(x)的極限也存在,但這兩 個極限不相同,我們只能說,當(dāng) xfo時,y=arctanx的極限不存在。(四)函數(shù)極限的定理定理1.7 (惟一性定理)如果 存在,則極限值必定惟一。定理1.8 (兩面夾定理)設(shè)函數(shù)在點 的某個鄰域內(nèi)(可除外)滿足條件:(1)|曲)4飛陰,(2) |!愛眇“!吹切“則有歹*。注意:上述定理1.7

16、及定理1.8對也成立F面我們給出函數(shù)極限的四則運算定理定理1.9如果險心供和T則(1)lifflU11)既巧 lim/(r)w 1B-“+弓r%Lin A) A 5如=一=昱 r Lie 曲)B=卄時,(2)(3)上述運算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形,有以下推論:(2)tisn r?川jO廠 Ksn /(3)Li lAi疔=f 訕用極限的運算法則求極限時,必須注意:這些法則要求每個參與運算的函數(shù)的極限存 在,且求商的極限時,還要求分母的極限不能為零。另外,上述極限的運算法則對于 的情形也都成立。(五)無窮小量和無窮大量1. 無窮小量(簡稱無窮小)定義對于函數(shù),如果自變量x在某個

17、變化過程中,函數(shù)的極限為零,則稱在該變化過程中,為無窮小量,一般記作常用希臘字母,來表示無窮小量。定理1.10函數(shù) 以A為極限的必要充分條件是:可表示為A與一個無窮小量之和。注意:(1 )無窮小量是變量,它不是表示量的大小,而是表示變量的變化趨勢無限趨 于為零。(2 )要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開,一個很小的數(shù),無論它多么小也不是無窮 小量。(3) 一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變化過程 中,同一個變量可以有不同的變化趨勢,因此結(jié)論也不盡相同。例如:.、 I .:-:m:振蕩型發(fā)散 帥阿(4 )越變越小的變量也不一定是無窮小量,例如當(dāng)x越變越大時,叫就越變越

18、小,但它不是無窮小量。(5 )無窮小量不是一個常數(shù),但數(shù)“ 0 ”是無窮小量中惟一的一個數(shù),這是因為 吧2. 無窮大量(簡稱無窮大)定義;如果當(dāng)自變量(或乂)時, 的絕對值可以變得充分大(也即無限地增大),則稱在該變化過程中,為無窮大量。記作。注意:無窮大(乂)不是一個數(shù)值,“乂”是一個記號,絕不能寫成或 。3. 無窮小量與無窮大量的關(guān)系 無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關(guān)系,見以下的定理。定理1.11在同一變化過程中,如果朋為無窮大量,則則為無窮小量;反之,如果 妙為 無窮小量,且畑二則氏為無窮大量。當(dāng)無窮大叫刊無窮小當(dāng)飼/為無窮小:匸廠無窮大4. 無窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限個無窮小量的

19、代數(shù)和仍是無窮小量;性質(zhì)2有界函數(shù)(變量)與無窮小量的乘積是無窮小量;特別地,常量與無窮小量的 乘積是無窮小量。性質(zhì)3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5. 無窮小量的比較定義設(shè),是同一變化過程中的無窮小量,即=11-(1)如果 則稱是比較高階的無窮小量,記作 ;(2)如果 則稱與 為同階的無窮小量;(3) 如果少則稱“與莊為等價無窮小量,記為;(4)如果 則稱 是比較低價的無窮小量。當(dāng)?shù)葍r無窮小量代換定理:空盧a*1czn bin = bm 如果當(dāng)時|2和2切,2均為無窮小量,又有列且:卅存在,則1。-均為無窮小又有:T這個性質(zhì)常常使用在極

20、限運算中,它能起到簡化運算的作用。但是必須注意:等價無 窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有:當(dāng) 時,sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;(六)兩個重要極限1重要極限I重要極限I是指下面的求極限公式令= : =這個公式很重要,應(yīng)用它可以計算三角函數(shù)的型的極限問題。其結(jié)構(gòu)式為:曲斜2. 重要極限H重要極限H是指下面的公式:其中e是個常數(shù)(銀行家常數(shù)),叫自然對數(shù)的底,它的值為 其結(jié)構(gòu)式為:重要極限I是屬于 型的未定型式,重要極限H是屬于“型的未定式時,這兩個重 要極限在極限計算中起很重要的作用,熟練掌握它們是非常必要的。(七) 求極限的方法

21、:1. 利用極限的四則運算法則求極限;2. 利用兩個重要極限求極限;3. 利用無窮小量的性質(zhì)求極限;4. 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限;5. 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限;6. 利用等價無窮小代換定理求極限?;緲O限公式(2)撬(3 )(4 )I:. CigF t叫疔1寸電*心例1.無窮小量的有關(guān)概念(1) 9601下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是J 7+3 答CD.(2) 0202當(dāng) 時,-與x比較是A.高階的無窮小量B.等價的無窮小量C.非等價的同階無窮小量D.低階的無窮小量答B(yǎng)解:當(dāng)-,與x是極限的運算:0611瀉害二驚/警4勺:;疇21 z解:答案-1例2.型因式分解約分求極限L氣半1

22、1:c-2 i2-4答”0208(2)0621計算U-)Ije + 1I jj - A A 2-Jim hni解:淤R例3.型有理化約分求極限(1)0316計算皚:沖答枯解:. 圧石-3. 朋(2)9516山 6旋答4(辰Th輩辰石杓HTii嫡角軍:小_ Z皿J _ dJh匕+軌五”扛*適例4.當(dāng)時求型的極限答(1)0308一般地,有例5.用重要極限I求極限(1)9603下列極限中,成立的是A.k乜民寧門C.輒于 D.吋:J 答B(yǎng)| iwxr|T1(2) 0006答角軍 :- 6 -獸 肚+圳r-Jj2Z-2t- J ar 二卻(石 占Jhm曲知+i43 ADr+$例6.用重要極限H求極限答(

23、1)0416計算解析解一:令卜“:解二:廨式i他a + -p|2 -曲m十占了 Fi-SD f1-5 it0306lin=門0601(2) 0118 角軍:匸t |: 例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限答0計算I濱瀘:|答K- f0407j-D/加.1,丄門=:-工.址例8.用等價無窮小代換定理求極限答0ZK1-(1) 0307則在的左極限答1解析yw幣如弋訃.t3+l ir0Tjf(T、JT + lta *月 _ I . r , 忸廠則常數(shù)“,即 |+一 =*,得 .解析解法一:Ta0317解:當(dāng)例9.求分段函數(shù)在分段點處的極限,解得-.角軍法_二:令 丹m.-:;:宀: 得 解法三:(洛必達(dá)法則)

24、+6 . 2j +i .一,一鳴 T;一*-即et 胡,得“一?.p + Jl + b(2 )若求a,b的值.解析型未定式. 當(dāng)詁i|日寸dliEtofl1,得所以04020017,則k=.(答:In2 )解析叫前面我們講的內(nèi)容: 極限的概念;極限的性質(zhì);極限的運算法則;兩個重要極限;無窮小量、無窮大量的 概念;無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1. 理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念,理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系,掌握判斷函數(shù)(含分段函數(shù))在一點處連續(xù)性的方法。2會求函數(shù)的間斷點。3. 掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。4. 理

25、解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性,會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。主要知識內(nèi)容(一)函數(shù)連續(xù)的概念1函數(shù)在點xo處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f (x)在點xo的某個鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量的改變量厶x (初值 為xo)趨近于0時,相應(yīng)的函數(shù)的改變量厶y也趨近于0,即則稱函數(shù)y=f (x)在點xo處連續(xù)。函數(shù)y=f ( x)在點xo連續(xù)也可作如下定義:定義2設(shè)函數(shù)y=f (x)在點xo的某個鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)Xixo時,函數(shù)y=f (x) 的極限值存在,且等于xo處的函數(shù)值f (xo) ,即卩定義3設(shè)函數(shù)y=f (x),如果 -,則稱函數(shù)f (x)在點xo處左連續(xù);如果1 -, 則稱函數(shù)f (x)在點xo

26、處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f (x)在點xo處連 續(xù),則f (x)在點xo處左連續(xù)也右連續(xù)。2. 函數(shù)在區(qū)間a , b上連續(xù)定義如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上的每一點x處都連續(xù),則稱f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù),并稱f (x)為a , b上的連續(xù)函數(shù)。這里,f (x)在左端點a連續(xù),是指滿足關(guān)系:,在右端點b連續(xù),是指滿足關(guān)系:,-,即f (x)在左端點a處是右連續(xù),在右端點b處是左連續(xù)。可以證明:初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3函數(shù)的間斷點定義如果函數(shù)f (x)在點xo處不連續(xù)則稱點xo為f (x) 一個間斷點。由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知,若 f (x)在點xo處有

27、下列三種情況之一:(1) 在點xo處,f (x)沒有定義;(2) 在點xo處,f (x)的極限不存在;(3) 雖然在點xo處f (x)有定義,且F門存在,但、, 則點xo是f (x) 一個間斷點。?-i,呷卜嗎至心,則f (X)在A.x=0,x=1 處都間斷B.x=0,x=1處都連續(xù)C. x=0處間斷,x=1處連續(xù)D. x=0處連續(xù),x=1處間斷 解:x=0 處,f (0) =0vf (0-0 )占(0+0 ) x=0為f (x)的間斷點 x=1 處,f (1) =1 f (1-0 ) =f (1+0 ) =f (1)f (x)在x=1處連續(xù)答案C/(r -9703設(shè)A.0 B.C,D.2,在

28、x=0處連續(xù),則k等于分析:f (0) =krttcIlTflT答案B例30209設(shè). 在x=0處連續(xù),則a=解:f (0) =e 0=1Tf (0) =f (0-0 ) =f (0+0 ).a=1答案1(二 )函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的,因而由極限的運算法則,可以得到下列連續(xù) 函數(shù)的性質(zhì)。定理1.12 (四則運算)設(shè)函數(shù)f (x) , g (x)在X。處均連續(xù),則(1) f (x) g (x)在 xo 處連續(xù)(2) f (x) (x)在 xo 處連續(xù)(3) 若g (X。) M0,貝在X。處連續(xù)。定理1.13 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù) u=g (x)在x=xo處

29、連續(xù),y=f (u)在uo=g(xo)處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)y=fg (x)在x=xo處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時,如果u=g (x),在xo處極限存在,又y=f (u)在對應(yīng)的 處連續(xù),則極限符號可以與函數(shù)符號交換。即定理1.14 (反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上連續(xù),且嚴(yán)格單調(diào)增加(或 嚴(yán)格單調(diào)減少),則它的反函數(shù)x=f-1 (y)也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù),且嚴(yán)格單調(diào)增加(或 嚴(yán)格單調(diào)減少)。(三) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f (x),有以下幾個基本性質(zhì),這些性質(zhì)以后都要用到。 定理1.15 (有界性定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則f (x)必在a, b上有界。定理1.16 (最大值和最小值定理)如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則在這個 區(qū)間上一定存在最大值和最小值。定理1.17 (介值定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且其最大值和最小值 分別為M和m,則對于介于m和M之間的任何實數(shù)C,在a , b上至少存在一個E

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