專升本高數(shù)復(fù)習(xí)全

1、第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1. 了解極限的概念（對極限定義 I等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2. 了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。3. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。 會進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求 極限。4. 熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1. 理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的方法。2. 會

2、求函數(shù)的間斷點。3. 掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。4. 理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。第二章一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)考試要求1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一點 處的導(dǎo)數(shù)。2. 會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。3. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4. 掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6. 理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)考

3、試要求1. 熟練掌握用洛必達(dá)法則求“0K”、“g”型未定式的極限的方法。2. 掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會利用函數(shù)的單 調(diào)性證明簡單的不等式。3. 理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法， 會解簡單的應(yīng)用題。4. 會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。 5會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分復(fù)習(xí)考試要求1. 理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2. 熟練掌握不定積分的基本公式。3. 熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。4. 熟練掌握不定積分

4、的分部積分法。5. 掌握簡單有理函數(shù)不定積分的計算。第二節(jié)定積分及其應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1. 理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件2. 掌握定積分的基本性質(zhì)3. 理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4. 熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式。5. 掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6. 理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。7. 掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成 的旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)考試要求1. 了解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。3.

5、 理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。 掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4. 掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5. 會求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。6. 會用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。第五章概率論初步復(fù)習(xí)考試要求1. 了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。2. 掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對立關(guān)系。3. 理解事件之間并（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規(guī)律。4. 理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計算。5.

6、會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。6. 了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。7. 理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。8. 會求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1. 了解極限的概念（對極限定義-等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點 處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2. 了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。3. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。 會進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求 極限。4.

7、 熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。主要知識內(nèi)容（一）數(shù)列的極限1. 數(shù)列定義按一定順序排列的無窮多個數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作Xn，數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第 n項Xn為數(shù) 列的一般項或通項，例如（1）1 , 3 , 5，（2n-1 ）,（等差數(shù)列）（2）占卜4 （等比數(shù)列）（3）拆卜角（遞增數(shù)列）I *嚴(yán)（4）1 , 0, 1 , 0,丄，（震蕩數(shù)列） 都是數(shù)列。它們的一般項分別為n ”&曠（2n-1 ）,。對于每一個正整數(shù)n,都有一個Xn與之對應(yīng)，所以說數(shù)列Xn可看作自變量n的函數(shù)xn=f （n）,它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3一切正整數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值就排

8、列成數(shù)列在幾何上，數(shù)列Xn可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點X1,X2,X3，Xn,。2. 數(shù)列的極限定義對于數(shù)列Xn，如果當(dāng)n-K時，Xn無限地趨于一個確定的常數(shù) A，則稱當(dāng)n趨于 無窮大時，數(shù)列Xn以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于 A，記作 m呵 比如：用“4無限的趨向0；詩詒：無限的趨向1 否則，對于數(shù)列Xn,如果當(dāng)n-K時，Xn不是無限地趨于一個確定的常數(shù)， 稱數(shù)列Xn 沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如：1 , 3, 5，(2n-1 ),i*( I?*數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù) A及數(shù)列的項時喬依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)列Xn 以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無窮大時

9、，點Xn可以無限靠近點A，即點Xn與點A之 間的距離|Xn-A|趨于0。比如：冷卜尹無限的趨向0 嚴(yán)遼無限的趨向1（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運算法則1. 數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1 （惟一性）若數(shù)列Xn收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2 （有界性）若數(shù)列Xn收斂，則它必定有界。注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。比如:ir* , 一1 , 0, 1 , 0， 有界：0 , 12. 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理1.3 （兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列Xn,yn,Zn滿足以下條件：(1 )定理1.4若數(shù)列Xn單調(diào)有界，則它必有極限3. 數(shù)列極限的四則運算定理。定理1.5(3 )當(dāng)時,(三) 函數(shù)極

10、限的概念1. 當(dāng)Xixo時函數(shù)f (x)的極限(1 )當(dāng)xtxo時f (x)的極限 定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x無限地趨于xo時，函數(shù)f (x)無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)xtxo時，函數(shù)f (x)的極限是A，記作或 f (x)T A (當(dāng) XTxo 時)例 y=f (x) =2x+1XT 1,f ( x ) Tx1x T 1(2) 左極限當(dāng)xtxo時f (x)的左極限定義對于函數(shù)y=f (x)，如果當(dāng)x從xo的左邊無限地趨于xo時，函數(shù)f (x)無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)xtxo時，函數(shù)f (x)的左極限是A，記作或 f (xo-o ) =A(3) 右極限當(dāng)XTxo時，f (x)的

11、右極限定義對于函數(shù)y=f (x)，如果當(dāng)x從xo的右邊無限地趨于xo時，函數(shù)f (x)無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)xtxo時，函數(shù)f (x)的右極限是A，記作或 f (xo+o ) =A例子：分段函數(shù)求 ，解:當(dāng)x從o的左邊無限地趨于o時f (x)無限地趨于一個常數(shù)1。我們稱當(dāng)xto時,f (x)的左極限是1，即有 當(dāng)x從o的右邊無限地趨于o時，f (x)無限地趨于一個常數(shù)-1。我們稱當(dāng)xTo時, f (x)的右極限是-1，即有顯然，函數(shù)的左極限右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系：定理1.6當(dāng)xTxo時，函數(shù)f (x)的極限等于A的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于 A，則必有 。X 1

12、時 f(x)x 1f(x) 2對于函數(shù)，當(dāng)x 1時，f (x)的左極限是2,右極限也是2。2. 當(dāng)xx時，函數(shù)f (x)的極限(1 )當(dāng)xX時，函數(shù)f (x)的極限y=f(x)x xf(x)y=f(x)=1+xx f(x)=1 + 1定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)xx時，f(x)無限地趨于一個常數(shù) A，則稱當(dāng)x x時，函數(shù)f (x)的極限是A，記作區(qū)fg或 f (x) A (當(dāng) xx時)(2) 當(dāng)x + x時，函數(shù)f (x)的極限定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x + x時，f(x)無限地趨于一個常數(shù) A，則稱當(dāng)x + x時，函數(shù)f( x)的極限是A，記作陽：心這個定義與數(shù)列極限的定義基

13、本上一樣，數(shù)列極限的定義中n +x的n是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫出x + x,且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實數(shù)。 y=f(x)x + xf(x)x ?x + x, f(x)=2+ 2例：函數(shù) f (x) =2+e -x，當(dāng) x + x時，f(x)?解：f (x) =2+e -x=2+ :,x + x, f (x) =2+ 2所以(3) 當(dāng)x-x時，函數(shù)f (x)的極限定義對于函數(shù)y=f (x)，如果當(dāng)x-x時，f(x)無限地趨于一個常數(shù) A，則稱當(dāng)x -x時，f (X)的極限是A，記作x oo f(x) ?則 f(x)=2+ (x v 0)x x,x + xf(x)=2+ 2例

14、：函數(shù)，當(dāng)x - x時，f (x) ?解：當(dāng)x f - X時，-x T + oo 心曲比宀2，即有 由上述x fo, x f + o, x f - o時，函數(shù)f （ x ）極限的定義，不難看出：Xfo時f （ x ） 的極限是A充分必要條件是當(dāng)xf + o以及xf -o時，函數(shù)f（x）有相同的極限A。例如函數(shù)扌，當(dāng)xf - o時，f （ x）無限地趨于常數(shù)1，當(dāng)xf + o時，f （ X）也無限 地趨于同一個常數(shù)1，因此稱當(dāng)xfo時的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。f（x）=1+ ?y=arcta nx曲沁：不存在。但是對函數(shù)y=arctanx 來講，因為有即雖然當(dāng)xf-o時，f（x）的極

15、限存在，當(dāng)xf + o時，f（x）的極限也存在，但這兩 個極限不相同，我們只能說，當(dāng) xfo時，y=arctanx的極限不存在。x）=1+ *y=arcta nx|gs不存在。但是對函數(shù)y=arctanx 來講，因為有即雖然當(dāng)xf-o時，f（x）的極限存在，當(dāng)xf + o時，f（x）的極限也存在，但這兩 個極限不相同，我們只能說，當(dāng) xfo時，y=arctanx的極限不存在。（四）函數(shù)極限的定理定理1.7 （惟一性定理）如果 存在，則極限值必定惟一。定理1.8 （兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點 的某個鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：（1）|曲）4飛陰,（2） |!愛眇“!吹切“則有歹*。注意：上述定理1.7

16、及定理1.8對也成立F面我們給出函數(shù)極限的四則運算定理定理1.9如果險心供和T則(1)lifflU11)既巧 lim/(r)w 1B-“+弓r%Lin A) A 5如=一=昱 r Lie 曲)B=卄時,(2)(3)上述運算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論:(2)tisn r?川jO廠 Ksn /(3)Li lAi疔=f 訕用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數(shù)的極限存 在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于 的情形也都成立。（五）無窮小量和無窮大量1. 無窮小量（簡稱無窮小）定義對于函數(shù)，如果自變量x在某個

17、變化過程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作常用希臘字母，來表示無窮小量。定理1.10函數(shù) 以A為極限的必要充分條件是：可表示為A與一個無窮小量之和。注意：（1 ）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨 于為零。（2 ）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮 小量。（3） 一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變化過程 中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結(jié)論也不盡相同。例如：.、 I .：-：m:振蕩型發(fā)散 帥阿（4 ）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當(dāng)x越變越大時，叫就越變越

18、小，但它不是無窮小量。（5 ）無窮小量不是一個常數(shù)，但數(shù)“ 0 ”是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是因為 吧2. 無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當(dāng)自變量（或乂）時， 的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。注意：無窮大（乂）不是一個數(shù)值，“乂”是一個記號，絕不能寫成或 。3. 無窮小量與無窮大量的關(guān)系 無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關(guān)系，見以下的定理。定理1.11在同一變化過程中，如果朋為無窮大量，則則為無窮小量；反之，如果 妙為 無窮小量，且畑二則氏為無窮大量。當(dāng)無窮大叫刊無窮小當(dāng)飼/為無窮小:匸廠無窮大4. 無窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限個無窮小量的

19、代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的 乘積是無窮小量。性質(zhì)3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5. 無窮小量的比較定義設(shè)，是同一變化過程中的無窮小量，即=11-（1）如果 則稱是比較高階的無窮小量，記作 ；（2）如果 則稱與 為同階的無窮小量；（3） 如果少則稱“與莊為等價無窮小量，記為;（4）如果 則稱 是比較低價的無窮小量。當(dāng)?shù)葍r無窮小量代換定理：空盧a*1czn bin = bm 如果當(dāng)時|2和2切，2均為無窮小量，又有列且:卅存在，則1。-均為無窮小又有:T這個性質(zhì)常常使用在極

20、限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無 窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有：當(dāng) 時，sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;（六）兩個重要極限1重要極限I重要極限I是指下面的求極限公式令= : =這個公式很重要，應(yīng)用它可以計算三角函數(shù)的型的極限問題。其結(jié)構(gòu)式為：曲斜2. 重要極限H重要極限H是指下面的公式：其中e是個常數(shù)(銀行家常數(shù))，叫自然對數(shù)的底，它的值為 其結(jié)構(gòu)式為：重要極限I是屬于 型的未定型式，重要極限H是屬于“型的未定式時，這兩個重 要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。(七) 求極限的方法

21、：1. 利用極限的四則運算法則求極限；2. 利用兩個重要極限求極限；3. 利用無窮小量的性質(zhì)求極限；4. 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5. 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；6. 利用等價無窮小代換定理求極限?；緲O限公式(2)撬(3 )(4 )I:. CigF t叫疔1寸電*心例1.無窮小量的有關(guān)概念(1) 9601下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是J 7+3 答CD.(2) 0202當(dāng) 時，-與x比較是A.高階的無窮小量B.等價的無窮小量C.非等價的同階無窮小量D.低階的無窮小量答B(yǎng)解:當(dāng)-，與x是極限的運算：0611瀉害二驚/警4勺:;疇21 z解：答案-1例2.型因式分解約分求極限L氣半1

22、1:c-2 i2-4答”0208(2)0621計算U-)Ije + 1I jj - A A 2-Jim hni解:淤R例3.型有理化約分求極限（1）0316計算皚:沖答枯解：. 圧石-3. 朋（2）9516山 6旋答4（辰Th輩辰石杓HTii嫡角軍:小_ Z皿J _ dJh匕+軌五”扛*適例4.當(dāng)時求型的極限答（1）0308一般地，有例5.用重要極限I求極限（1）9603下列極限中，成立的是A.k乜民寧門C.輒于 D.吋:J 答B(yǎng)| iwxr|T1（2） 0006答角軍 :- 6 -獸 肚+圳r-Jj2Z-2t- J ar 二卻(石 占Jhm曲知+i43 ADr+$例6.用重要極限H求極限答（

23、1）0416計算解析解一：令卜“：解二：廨式i他a + -p|2 -曲m十占了 Fi-SD f1-5 it0306lin=門0601（2） 0118 角軍:匸t |： 例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限答0計算I濱瀘:|答K- f0407j-D/加.1,丄門=：-工.址例8.用等價無窮小代換定理求極限答0ZK1-(1) 0307則在的左極限答1解析yw幣如弋訃.t3+l ir0Tjf(T、JT + lta *月 _ I . r ， 忸廠則常數(shù)“，即 |+一 =*，得 .解析解法一：Ta0317解:當(dāng)例9.求分段函數(shù)在分段點處的極限，解得-.角軍法_二：令 丹m.-：；：宀: 得 解法三：(洛必達(dá)法則)

24、+6 . 2j +i .一，一鳴 T；一*-即et 胡，得“一?.p + Jl + b(2 )若求a,b的值.解析型未定式. 當(dāng)詁i|日寸dliEtofl1，得所以04020017，則k=.(答:In2 )解析叫前面我們講的內(nèi)容: 極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的 概念；無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1. 理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系，掌握判斷函數(shù)(含分段函數(shù))在一點處連續(xù)性的方法。2會求函數(shù)的間斷點。3. 掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。4. 理

25、解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。主要知識內(nèi)容(一)函數(shù)連續(xù)的概念1函數(shù)在點xo處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f (x)在點xo的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量厶x (初值 為xo)趨近于0時，相應(yīng)的函數(shù)的改變量厶y也趨近于0,即則稱函數(shù)y=f (x)在點xo處連續(xù)。函數(shù)y=f ( x)在點xo連續(xù)也可作如下定義：定義2設(shè)函數(shù)y=f (x)在點xo的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)Xixo時，函數(shù)y=f (x) 的極限值存在，且等于xo處的函數(shù)值f (xo) ,即卩定義3設(shè)函數(shù)y=f (x)，如果 -，則稱函數(shù)f (x)在點xo處左連續(xù)；如果1 -, 則稱函數(shù)f (x)在點xo

26、處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f (x)在點xo處連 續(xù)，則f (x)在點xo處左連續(xù)也右連續(xù)。2. 函數(shù)在區(qū)間a , b上連續(xù)定義如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上的每一點x處都連續(xù)，則稱f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，并稱f (x)為a , b上的連續(xù)函數(shù)。這里，f (x)在左端點a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，在右端點b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，-,即f (x)在左端點a處是右連續(xù)，在右端點b處是左連續(xù)。可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3函數(shù)的間斷點定義如果函數(shù)f (x)在點xo處不連續(xù)則稱點xo為f (x) 一個間斷點。由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知，若 f (x)在點xo處有

27、下列三種情況之一：(1) 在點xo處，f (x)沒有定義；(2) 在點xo處，f (x)的極限不存在；(3) 雖然在點xo處f (x)有定義，且F門存在，但、， 則點xo是f (x) 一個間斷點。?-i,呷卜嗎至心，則f (X)在A.x=0,x=1 處都間斷B.x=0,x=1處都連續(xù)C. x=0處間斷，x=1處連續(xù)D. x=0處連續(xù)，x=1處間斷 解：x=0 處，f (0) =0vf (0-0 )占(0+0 ) x=0為f (x)的間斷點 x=1 處，f (1) =1 f (1-0 ) =f (1+0 ) =f (1)f (x)在x=1處連續(xù)答案C/(r -9703設(shè)A.0 B.C,D.2,在

28、x=0處連續(xù)，則k等于分析：f (0) =krttcIlTflT答案B例30209設(shè). 在x=0處連續(xù)，則a=解：f (0) =e 0=1Tf (0) =f (0-0 ) =f (0+0 ).a=1答案1(二 )函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù) 函數(shù)的性質(zhì)。定理1.12 (四則運算)設(shè)函數(shù)f (x) , g (x)在X。處均連續(xù)，則(1) f (x) g (x)在 xo 處連續(xù)(2) f (x) (x)在 xo 處連續(xù)(3) 若g (X。) M0,貝在X。處連續(xù)。定理1.13 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù) u=g (x)在x=xo處

29、連續(xù)，y=f (u)在uo=g(xo)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=fg (x)在x=xo處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時，如果u=g (x),在xo處極限存在，又y=f (u)在對應(yīng)的 處連續(xù)，則極限符號可以與函數(shù)符號交換。即定理1.14 (反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或 嚴(yán)格單調(diào)減少)，則它的反函數(shù)x=f-1 (y)也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或 嚴(yán)格單調(diào)減少)。(三) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f (x)，有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。 定理1.15 (有界性定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則f (x)必在a， b上有界。定理1.16 (最大值和最小值定理)如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在這個 區(qū)間上一定存在最大值和最小值。定理1.17 (介值定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且其最大值和最小值 分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數(shù)C,在a , b上至少存在一個E