數(shù)值分析3-牛頓迭代法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上3 牛頓迭代法Newton Iteration切線法 牛頓迭代法是最著名的方程求根方法。已經(jīng)通過(guò)各種方式把它推廣到解其他更為困難的非線性問(wèn)題?！纠纭糠蔷€性方程組、非線性積分方程和非線性微分方程。雖然牛頓法對(duì)于給定的問(wèn)題不一定總是最好的方法，但它的簡(jiǎn)單形式和快的收斂速度常常使得解非線性問(wèn)題的人優(yōu)先考慮它。迭代一般理論告訴我們，構(gòu)造好的迭代函數(shù)可使收斂速度提高。然而迭代函數(shù)的構(gòu)造方法又各不相同，方法多樣。牛頓法是受幾何直觀啟發(fā)，給出構(gòu)造迭代函數(shù)的一條重要途徑。牛頓迭代的基本思想:方程f(x)=0的根，幾何意義是曲線y=f(x)與ox軸y=0的交點(diǎn)。求曲線與y=0的交點(diǎn)沒(méi)

2、有普遍的公式，但直接與0x軸的交點(diǎn)容易計(jì)算。用直線近似曲線y=f(x)，從而用直線方程的根逐步代替f(x)=0的根。即把非線性方程逐步線性化。方法：設(shè)xk是f(x)=0的一個(gè)近似根，把f(x)在xk處作一階Taylor展開(kāi)，得到 （19）設(shè)0，由于所以求得解記為，有牛頓迭代公式： （20）按牛頓迭代計(jì)算稱(chēng)為牛頓迭代法。牛頓法的幾何意義：選初值xk以后，過(guò)點(diǎn)，作曲線y=f(x)的切線，其切線方程為 (21)切線與ox軸的交點(diǎn)，為，則 （22）牛頓迭代法也稱(chēng)為切線法。迭代法的收斂性：如果取，則有x=g(x)，從而牛頓迭代公式就是 因此就可以由考察g(x)的性質(zhì)，來(lái)討論迭代法的收斂性及收斂速度。迭代

3、過(guò)程的收斂速度是指迭代過(guò)程中誤差的下降速度。【收斂階定義1】 設(shè)迭代過(guò)程收斂于方程x=g(x)的根x*，如果迭代誤差，當(dāng)k時(shí)成立 （24）則稱(chēng)該迭代過(guò)程是p階收斂的。特別p=1時(shí)稱(chēng)為線性收斂，p1時(shí)稱(chēng)超線性收斂，p=2時(shí)稱(chēng)為平方收斂。【定理3】 若f(x)在根附近存在連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，x*是f(x)的單根，且初始值x0充分接近x*，則牛頓迭代過(guò)程收斂，而且有 （25）證明 1)對(duì)于f(x)，取，則牛頓迭代過(guò)程為，注意到由于x*是f(x)=0的單根，即=0,，所以有 (26)由定理2知，迭代過(guò)程是局部收斂的。2)將g(x)在x*處進(jìn)行泰勒展開(kāi)并代入，有注意到，x*=g(x*)，得到因此有 定理證畢

4、【說(shuō)明】，即牛頓迭代過(guò)程在x*附近具有平方收斂速度。牛頓迭代法的優(yōu)點(diǎn):快速收斂性,算法簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)缺點(diǎn)：初值必須選在x*附近，否則，可能不收斂【例】 用牛頓法解下面方程在x=0.5附近的根，要求精確到。解 牛頓迭代公式為取初值，迭代計(jì)算，得到【注】牛頓法的收斂速度非常快附：牛頓法的算法函數(shù)程序：(存至work目錄中)function y=newton(x0)x1=x0-f1(x0);n=1;while(norm(x1-x0)=1.0e-6)&(n=1000) x0=x1; x1=x0-f1(x0);n=n+1;endvpa(x1,7),n %輸出n,方程的近似解 function y=f1(x)y=(x-exp(-x)/(1+x);end newton(0.5) 觀察初值的選取對(duì)解的影響【例】 用牛頓法求方程=0的根。首先選取初值：(轉(zhuǎn)到指令窗)x=-10:0.01:10;y=x.3-x-1;plot(x,y,r,x,0*x)解 牛頓迭代公式為function y=f1(x)y=(x