人教版高數(shù)選修2第5講：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)(教師版)

1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)1 .拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線l ( FF l )的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：| MF=d(其中d為點(diǎn)M®準(zhǔn)線白距離).2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形fl號(hào)弗第標(biāo)準(zhǔn)方程y2= 2Px(p>0)y2= 2px( p>0)x2= 2py( p>0)2-，一x = 2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn) F到準(zhǔn)線l的距離性 質(zhì)頂點(diǎn)Q0, 0)對(duì)稱軸y = 0x = 0焦點(diǎn)F1/0)F1-1 0)乖p)即用離心率e= 1準(zhǔn)線方程P x= 2p x=2p

2、 y=-2p y=2范圍x>0, yC RxW0, yCRy>0, xC Ry<0, xC R開(kāi)口方向向右向左向上向卜類型一拋物線的定義及應(yīng)用例1:過(guò)點(diǎn)(0, 2)的直線與拋物線 y2=8x交于A、B兩點(diǎn)，若線段 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則|AB|等于()A 2 , 17B. , 17C. 2 15D 15【解析】設(shè)直線方程為 y = kx-2, A(X1, y"、B(x2, y?).y = kx 2,由4/ &得 k2x2 4(k+2)x+4=0.直線與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)，. A = 16(k+ 2) 216k2>0,即 k> 1.x1 +

3、x22 k + 2-,八又 =72= 2, .k=2 或 k=1(舍去).2 k|AB| =中 + k2|x 1-x2| = 11 + 22 - . x1 + x2 24x1x2 = 5 42-4 = 215.【答案】C練習(xí)1:已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P到點(diǎn)(0, 2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()B. 3C. 59D.2【答案】A練習(xí)2： F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，A, B是拋物線上的兩點(diǎn)，|AF + |BF=6,則線段AB的中點(diǎn)到 y軸的距離為.11類型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例2:已知拋物線 C: y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線y=2x 4與C

4、交于A, B兩點(diǎn)，則cos/ AFB=(4A53B-5C.D.y2= 4x,2【解析】由得x5x+4=0,y = 2x 4.x=1 或 x = 4.不妨設(shè) A(4,4) , B(1 , - 2),則 |fA | = 5, |國(guó) | = 2, FA FB= (3,4) - (0 , - 2)=- 8,一 85X24-.故選D.5.COSZAFB=FL |fA| |FB|練習(xí)1:已知點(diǎn) 火一2,3)在拋物線C： y2 = 2px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為(A.B. 1C.D.【答案】C練習(xí)2： (2014 湖南卷)如圖，正方形 ABC前正方形DEFG勺邊長(zhǎng)分別為a, b( a&l

5、t;b),原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線 y2= 2px( p>0)經(jīng)過(guò)C, F兩點(diǎn)，則b=.a 【答案】1,2類型三拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)例3:已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2= 8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn).若|FA| =2|FB| ,則k等于()1 a32C-3【解析】設(shè)A(xi,y= k x+2 y2= 8xyi) , B(x2, y2),易知 xi>0, X2>0,得 k2x2 + (4k 2 8)x +4k2=0,xix2= 4, 根據(jù)拋物線的定義得, 一， ,P|FA| =xi + 2= xi + 2, |FB| =x2+2, |FA| =

6、2|FB| ,xi=2x2+ 2,由得x2=i, .B(i,2 小)，代入 y = k(x +2)得 k =乎，選 D 3【答案】D練習(xí)i:過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于 A、B兩點(diǎn)，若線段 AB 的長(zhǎng)為8,則p=.ny=x-p【解析】直線y=x 2,故S 222 cy =2px,2x? - 3px + = 0, 4|AB| =8=xi + x2+p,4p= 8, p=2.【答案】2類型四直線與拋物線的位置關(guān)系例4:如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P(2,0),且斜率為k的直線l交拋物線y2 = 2x于M(xi, yi), N(x2, y2

7、)兩點(diǎn).(i)寫(xiě)出直線l的方程；(2)求xix2與yiy2的值；(3)求證：OML ON【解析】(i)直線l (2)由及y2=2x,的方程為y=k(x2)(k W0).消去y可得k2x22(2k2 + 1)x +4k2=0.點(diǎn)M N的橫坐標(biāo)xi與x2是的兩個(gè)根,e /口4k2由韋達(dá)7E理，得 xix22 = 4.k,2_22一由 yi=2xi, y2= 2x2,得(yiy2) = 4xix2 = 4X 4= i6,由圖可知yiy2<0,所以 yiy2=4.(3)證明:設(shè)OM ON的斜率分別為ki, k2,一yi則 ki = 一 xiyiy2= 4, xix2= 4,yiy2一 , 一ki

8、k2=-= i.OMLON.xix2【答案】(i)直線l的方程為y=k(x 2)(k w0).(2)由及y2=2x,消去y可得k2x22(2k2 + i)x +4k2=0.點(diǎn)M N的橫坐標(biāo)xi與x2是的兩個(gè)根,.,、一一 4k2由韋達(dá)7E理，得 xix22 = 4.k由 yi = 2xi, y2= 2x2,得(y iy2) 2= 4xix2 = 4X 4= i6,由圖可知yiy2<0,所以yiy2=4.(3)證明：設(shè) OM ON的斜率分別為ki, k2,則 ki="k2).xix2由(2)知，yiy2= 4, xix2= 4,yiy2_ , _kik2=-= i.OMLON.x

9、ix2練習(xí)1設(shè)直線l與拋物線y2 =4x相交于A, B兩點(diǎn)，與圓(x 5)2 +y2 =r2(r >0)相切于點(diǎn)M且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣白直線l恰有4條，則r的取值范圍是(A. 1,3B- 1,4C (2,3)D.2,4練習(xí)2：拋物線C： x2=8y與直線y=2x2相交于A B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上異于A, B的一點(diǎn),若直線PA PB分別與直線y=2相交于點(diǎn)Q R, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OP-OQ=221.已知雙曲線一2 2 = 1 (a a 0,b a0)a b的一條漸近線過(guò)點(diǎn)（2,73）,且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線= 4j7x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為A.22之.J21 2822x

10、 y dB .-=128 212匕=12.如圖，設(shè)拋物線A,A.BF -1AF -1B.2BF -12AF -1C.BF 1AF 1D.BFAF +13.已知點(diǎn)A（ -2, 3）在拋物線C:y2 = 2px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn) A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為12A2- 33- 4c4 - 3D.2y =4x的焦點(diǎn)為F ,不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有二個(gè)不同的點(diǎn)A, B在拋物線上，點(diǎn) C在y軸上，則ABCF與AACF的面積之比是（【答案】D4 .拋物線y2 =2px （ p>0）上的動(dòng)點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為 1 ,則p =【答案】p = 25 .曲線y=e-5x

11、+2在點(diǎn)（0 , 3）處的切線方程為 .【答案】y=5x+36 .已知一條曲線 C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(i,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是i. (i)求曲線C的方程； (2)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過(guò)點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A B的任一直線，都有FA FB<0?若存 在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(i)由已知得：曲線 C上的點(diǎn)到點(diǎn)F(i,0)與到x = - i的距離相等，曲線 C是以F(i,0) 為焦點(diǎn)的拋物線，P- 2設(shè) y2 = 2px(p>0),1- p=2,.二方程為：y = 4x(x>0).(2)假設(shè)存在 M(m,0)(m&g

12、t;0).當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l : x=m)設(shè)交點(diǎn) A(m,2 m), B(m, - 2 m),FA= (m- 1,2 mm), FB= (m-1, 2洞,FA - FB= ni-6m+ 1<0,322<m殺 2根當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，l : y=k(x m)(k w0),y2= 4x設(shè) A(xi, yi) , B(x2, y2), y= k x m.ky24y 4km= 0,A = 16+16k2m>0恒成立,4yi+y2=k，yiy2= - 4m又 y2 + y2= (y i+ y2) 2 2yi y2=瞿+ 8nx k22 yiy2FA FB= (- i) - (-i

13、) +yyyiy2i 2. 22= ：(y i + y2) +yiy2+ ii642 i J62=m 4(/+ 8m) 4m+ i2 c 4 c=m 6m+ i <0, k ，一 42即：k>m-6mi+ i 3? kw° 恒成立, 一 4 一 2又”>0,m-6m+ i<0恒成立,k 32住m<3 2啦,綜上，m的取值范圍是：3-22<m<3+ 20基礎(chǔ)鞏固（1）1.拋物線x2=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. 2,0B. 0，2c. 8，0D. 0，8【答案】D2.已知拋物線y2= 2Px（ p>0）的準(zhǔn)線與曲線x2 + y24x5 = 0

14、相切，則p的值為（）A. 2B. 11 C.21 D.4【答案】A3 .點(diǎn)M（5, 3）到拋物線y= ax2的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的方程是（）2A. y=12x2C. y= - 36xB. y= 12x2或 y=36x21212D- y= 12x 或 y=-36xA, ,2屋-x 4, x2 y2J令人皿4、4 .已知拋物線y =2px（p>0）的焦點(diǎn)F與雙曲線45= 1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為KsA. 2 2【答案】點(diǎn)A在拋物線.上且|AK =啦| AF| ,則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）B. 3C. 2 3D. 45.已知P是拋物線y2=2x上動(dòng)點(diǎn),i!,若點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距

15、離為d1,點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2,則d1 + d2的最小值是（）A. 4b.2C. 511町6.已知拋物線C: y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l , P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn).若FP7- 23 B.5- 22D.B7.設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30。的直線交C于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),則 OAB勺面積為（3 .3A. 4)BuB. 863C.329D.；【答案】D能力提升(2)8 .若拋物線y2 = 2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線 x2y2= 1的左頂點(diǎn)，則p=.【答案】29 .已知一條過(guò)點(diǎn) R2, 1)的直線與拋物線 y2=2x交于A, B兩點(diǎn)

16、，且P是弦AB的中點(diǎn)，則直線 AB的 方程為.【答案】x-y-1=010 .已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F, ABC勺頂點(diǎn)都在拋物線上， 且滿足fA+鬲+fC= 0,則J11+ i-+;-=kBC kcA11 .如圖1-4,正方形ABC用正方形DEFG勺邊長(zhǎng)分別為a, b(avb),原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2= 2px( p>0)經(jīng)過(guò) C, F兩點(diǎn)，則;=.a圖1-4【答案】1+ ,212 .已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x, y)(y >0)到定點(diǎn)F(0,1)的距離和它到直線y = - 1的距離相等，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)A(0,2),且圓心 M(a, b)在曲線C上,若圓 M與x軸的交點(diǎn)分別為 E(Xi,0)、G(x2, 0), 求線段EG的長(zhǎng)度.【答案】(1)依題意知，曲線 C是以F(0,1)為焦點(diǎn)，y=1為準(zhǔn)線的拋物