《空間向量基本定理》參考教案

1、2.3.2空間向量基本定理教案一、教學(xué)目標(biāo)：1 .知識(shí)目標(biāo)：掌握空間向量基底的概念；了解空間向量的基本定理及其推論； 了解空間向量基本定理的證明。2 .能力目標(biāo)：理解空間任一向量可用空間三個(gè)不共面向量唯一線性表示，會(huì)在 平行六面體、四面體為背景的幾何體中選用空間三個(gè)不共面向量作基底，表示其它向量。會(huì)作空間任一向量的分解圖。類比平面向量的基本定理學(xué)習(xí)空間向量基 本定理，培養(yǎng)學(xué)生類比、聯(lián)想、維數(shù)轉(zhuǎn)換的思想方法和空間想象能力。3 .情感目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，從生活中的常見現(xiàn)象引入課題，開始就引 起學(xué)生極大的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生容易切入課題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，體現(xiàn)新 課程改革的理念之一，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與

2、生活實(shí)踐的聯(lián)系。二、教學(xué)重難點(diǎn)：1 .教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的分解作圖，用不同的基底表示空間任一向量。靈活運(yùn)用空間向量 基本定理證明空間直線的平行、共面問題。2 .教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用空間向量基本定理表示空間任一向量， 并能根據(jù)表達(dá)式判斷向量與基底 的關(guān)系。三、教學(xué)方法：在多媒體和實(shí)物模型的環(huán)境下，學(xué)生分組自主與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，老師引導(dǎo)、 參與學(xué)生活動(dòng)和討論的民主式的教學(xué)。四、教學(xué)過程（一）、引入：對(duì)比平面向量的基本定理，生活實(shí)際需要向三維空間發(fā)展（播放美伊戰(zhàn)爭畫面，地面的坦克如何瞄準(zhǔn)空中的飛機(jī)畫面），推廣到空間向量的基本 定理。用向量來描述：若空間三個(gè)向量不共面，那么空間的任一向量都可以用這三個(gè)向 量

3、表示。我們研究一下怎么表示。（提示學(xué)生思考平面的任一向量怎么用平面向 量的基底表示）學(xué)生：el、e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則該平面內(nèi)的任一向量 a都可以表示為a二入晟+屹晟，其中心力是一對(duì)唯一的實(shí)數(shù)。（二）、推廣:請(qǐng)學(xué)生猜測推廣到空間向量的基本定理如何?學(xué)生：空間向量的基本定理：如果空間三個(gè)向量 a、b、c不共面，則空間的任一向量p者B可表示為 xa+yb+zc。師：若猜想正確，則給出證明，若猜想不正確，先給出定理，再證明老師板演證明：設(shè)空間三個(gè)不共面的向量 OA=a, OB =b, OC=c, OP = p是空間任一向量，過p 作 PD / OC 交平面 OAB 于 D,貝Op =oD

4、+ Dp , 由空間兩直線平行的充要條件知 DP = zc,由平面 向量的基本定理知向量 OD與OA、OB共面， 則OD = xa+yb,所以，存在x,y,z使得OP = xa+yb+ zc o這樣的實(shí)數(shù)x,y,z是否唯一呢？用反證法證明：若另有不同于 x,y,z的實(shí)數(shù)xi,yi,zi滿足OP= xia+yib + zic ,則 x a +y b+ zc= xi a+yi b + zic, 即(x xi) a +(y yi) b+(z zi) c = 0又a、b、c不共面，則x xi=0, y yi=0, z zi=0,所以x,y,z是唯一的實(shí)數(shù)。這樣，就把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基

5、本定理。老師介紹相關(guān)概念：其中3、，、2叫做空間向量的一個(gè)基底，1、，、c都叫做基向量。師：對(duì)于空間向量的基底（a、b、4的理解，要明確：空間任意不共面的三個(gè)向量都可以作為向量的基底，基底不唯一；三個(gè)向量不共面，隱含它們都是非零向量；基底是一個(gè)集合，一個(gè)向量組，一個(gè)向量不能構(gòu)成基底，基向量是基底中的某 一向量。通常選擇共點(diǎn)不共面的三個(gè)向量作為空間向量的基底。若3、b、C是空間向量的一個(gè)基底，則由這三個(gè)基向量還能生成其它的基 底嗎？引導(dǎo)學(xué)生舉例說明，結(jié)果不唯一，通過思考培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。如：a+b、a + c、6 + c； 2a+3b、4c、b等構(gòu)成向量的基底。能否由原來的基向量生成新的基底，

6、 取決于生成的新向量是否共面，即其中的一 個(gè)向量能否用另兩個(gè)向量線性表示，請(qǐng)同學(xué)隨便說一組向量，大家判斷這組向量 能否構(gòu)成向量的基底。通過老師的引導(dǎo)，不僅讓學(xué)生理解空間向量的基本定理， 還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)把 平面向量的知識(shí)遷移到空間向量來，用發(fā)展、聯(lián)系的觀點(diǎn)看以前在平面向量中成 立的結(jié)論，空間向量比平面向量發(fā)展了什么，保留了什么，滲透辨證法的思想。特別地，當(dāng)x=0，則p與b、c共面；若y=0,貝Up與a、c共面；若z=0,則p與a、b共面。當(dāng)x=0, y=0時(shí)，p與c共線；當(dāng)x=0, z=0時(shí)，p與b共線；當(dāng)y=0, z=0時(shí)，p與a共線.說明每一次維數(shù)增加了，高維數(shù)的定理不但發(fā)展了低維數(shù)的定理，

7、 并包含了 低維數(shù)的結(jié)論，使得原來的定理仍適用，這種發(fā)展是繼承的發(fā)展，是合理的發(fā)展。 這不僅體現(xiàn)在平面向空間的遷移，也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)中其它知識(shí)的遷移（如數(shù)系的發(fā) 展）。（三）、類比：對(duì)比平面向量中成立的結(jié)論推廣到空間是什么相應(yīng)的結(jié)論：平向向量中成立的結(jié)論空間向量中成立的結(jié)論（學(xué)生回答）向量b與非零向量a共線u存在唯一實(shí)數(shù)人使得b =入a向量b與非零向量a共線£存在唯一實(shí)數(shù)人使得b =入a （用來證明空間向量共線或直線平行）同一平聞的任總兩個(gè)向量都共面向量a、b是空間/、共線的兩個(gè)向量，則向量p 與I可重a、b共回u存在唯一頭數(shù)x,y使得p - xa+y b （用來證明空間向量共面）若 O

8、A, = a , OB = b ,則OA+OB = OC, OC是平行四邊若 OA = a , OB = b , OC = c ,（四）、例題：例1、在平行六面體 ABCDAiBiCiDi中，AB = a, AD = b ,AA1 =c, P是CAi的中點(diǎn)，M是CDi的中點(diǎn)，N是CiDi的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CAi上，且 CQ: QAi=4: i,用基底、b、C表示以下向量：（i）Ap ,（2）AN, 分析：所求的向量與基底都共點(diǎn)，符合平行四邊形法 則的特征，盡量將所求向量作為平行四邊形的對(duì)角線。解：（i）由P是CAi的中點(diǎn)，i i得AP= （AA+AC） =- （c + AD+AB）22i ,=-（

9、a +b +c）2(2) AnLaiM + MnLaiM+2cci(c + a) +b+1c = b + c +2a2222法2:AN =AAi +AiN=AAi+AiDi+DiN=c + b+ia4 一 4 一 一 i 一 4 (3) AQ=AC+CQ=AC+CA產(chǎn)AC+(AA1+CA ) =AC+AAi 5555(b + a)+4c 55例2、在例1中，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，判斷AQ和OCi所在直線的位置關(guān)系i 一 一 4 一 I 解：由例 I 得：AQ=-(b+a)+- c, OCI = OC+CCI =- AC +AAI 552i ,=-(b +a ) +c2貝U AQ和忘與(b +a)和

10、c共面，又AQ w OC),貝u aq和OCi所在直線不能平行，只能相交。 C4 - 5+ a+ b/V1l5追問：要使AQ和OCi所在直線平行，則。應(yīng)在AC的什么位置?分析：要使AQ和OCi所在直線平行，則OC1 = XAQ =又 OC1=OC+CC1 ,設(shè) OC/AC = N ( b+a )4 一 5+X.7a+b/V1L5入nu貝c +6 / 61忌+ 1入a+4入c =3+pa + c ,由a、b、c不共面即空間向量基本定理的唯性知： 5 =九=5F=工，所以，OC=1AC4、,444九=1 3學(xué)生可能不一定用剛學(xué)過的不熟悉的向量法去做，而是用平面幾何的方法, 根據(jù)平行線分線段成比例定

11、理，也應(yīng)加以肯定，讓學(xué)生自己從中體會(huì)向量幾何與 平面幾何風(fēng)格的不同，更深地了解向量幾何側(cè)重定量研究， 即將空間任一向量放 在空間坐標(biāo)系中，用向量的基底表示，再進(jìn)行運(yùn)算，思路簡捷，不需要很強(qiáng)的演 繹推理。請(qǐng)學(xué)生板演平面幾何證法：易證 AAiQzXCCiR,則 CR=AiQ=1CQ,4又OCACCRCQOC 二 iAC 4（五）、練習(xí)：已知向量 a = ei - 2e2 +3e3 , b =2 ei + e2 , c=6ei 2e2 +6e3 ,判斷a+ b與c能否共面或共線？ c 3b與b 2a能否共面或共線？a + b =3 ei e2 +3 e3 , c=2 (a + b),貝U a + b 與 c 共線即平行c 3b =6 e1 一 2e2+6e3 6e1 一 3e2 6eg 5e2b 2 a =2 e1 + e2 2 e1 +4 e2 6e3 = 6 e3 +5 e2c 3b與b 2a共線但反向思維發(fā)散訓(xùn)練：已知甲烷（CH4）的分子結(jié)構(gòu)：中心為碳原子，外圍有四個(gè)氫原 子，四個(gè)氫原子構(gòu)成正四面體的頂點(diǎn)， 確定了四個(gè)氫原子的位置，能找到碳原子的位置嗎