微積分基本定理教案

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第五章 定積分及其應(yīng)用第三節(jié)微積分基本定理教學(xué)基本信息教學(xué)課題第二節(jié)微積分基本定理教學(xué)時(shí)間45分鐘教學(xué)重點(diǎn)微積分基本公式教學(xué)對(duì)象高職局專(zhuān)學(xué)生教學(xué)難點(diǎn)變上限積分函數(shù)及導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容1 .變上限積分函數(shù)的定義.2 .變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3 .微積分基本定理.教學(xué)要求1 .理解變上限積分函數(shù)定義及其導(dǎo)數(shù)；2 .熟練掌握牛頓-萊布尼茲公式的應(yīng)用 .雙語(yǔ)教學(xué)微積分：Calculus; 變上限積分函數(shù)：Integration of variable upper limit function ； 導(dǎo)數(shù) Derivative；牛頓萊布尼茲：Newton-Leibniz.教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)1 .

2、定積分的定義2 .定積分的幾何意義3 .定積分的性質(zhì)二、引入新課一蝴蝶在一正弦形y =sinx,xw0,n花帶中飛行，求蝴蝶活動(dòng)的區(qū)域面積？問(wèn)題1:蝴蝶活動(dòng)的區(qū)域面積如何表示？學(xué)生回答：S = ( sin xdx問(wèn)題2:能否用定積分的定義求出積分值？學(xué)生回答：不能。因?yàn)樵谇蠓e分和時(shí)不易計(jì)算。有沒(méi)有簡(jiǎn)單的方法求出這個(gè)積分值呢？有。通過(guò)“微積分基本定理”的學(xué)習(xí)。我們將給出求定積分的一種簡(jiǎn)單方法。三、探究感性認(rèn)識(shí)變上限積分函數(shù),11239例如lxdx-2 lxdx-2lxdx-2下限足吊數(shù)，給出一個(gè)上備注引入問(wèn) 題,激起 興趣，案例教 學(xué)法x限x ,通過(guò)求對(duì)應(yīng)的定積分.有唯一確定的一個(gè)積分值y與之對(duì)

3、應(yīng).y = tdt是一個(gè) 以x為自變量的函數(shù)。1、變上限積分函數(shù)的定義定義1:設(shè)f(x)為區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，任取xwa,b都有唯一確定的 定積分xxa f (x)dx(= f (t)dt)與之對(duì)應(yīng).這種對(duì)應(yīng)滿(mǎn)足函數(shù)的定義.因此,它是定義在區(qū)間xa,b上的函數(shù).記為：甲(x) = a f (t)dt(其幾何意義如圖)x形如中(x) = f f(t)dt形式的函數(shù)稱(chēng)為變上限積分函數(shù)。a例1判斷下列函數(shù)是否為變上限積分函數(shù)提問(wèn)學(xué) 生，詢(xún)問(wèn) 原因xax2x中(x) = e dt ：'(x) = e dt 邛(x) = cosxdt D(x) = cosxdt'axaa(提問(wèn)學(xué)生，

4、詢(xún)問(wèn)原因)通過(guò)例題講解.使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)變上限積分函數(shù)的特征：下限是一常數(shù)，上限只 有一個(gè)自變量x .同時(shí)，這是一類(lèi)函數(shù).這類(lèi)函數(shù)如同其它函數(shù)一樣，可以計(jì)算求其定 義域，值域在這我們根據(jù)需要，只學(xué)習(xí)它的一條性質(zhì)-導(dǎo)數(shù).從而引出2、變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xte理1如果f(x)在a,b上連續(xù)，則變上限積分函數(shù)中(x)= 1 f(t)dt在a,bax上可導(dǎo)，且 中(x)=旦 f f (t)dt = f (x), xa,b dx a對(duì)于定理的證明不要求掌握.例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)提問(wèn)學(xué) 生，詢(xún)問(wèn) 原因 教師根 據(jù)學(xué)生x t0(1) (x) = e dt (2)(x) =- arctantdtax(提問(wèn)學(xué)生

5、，詢(xún)問(wèn)原因)x解：(1)中'(x) = ( e dt)' = ea回答總 結(jié)答案計(jì)算limx0xarctan tdt0的值xarctantdt解啊。x2arctan x2x問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法(加深理解)x中'(x) = ( 0 arctan tdt)' = arctan x該題進(jìn)一步深化對(duì)變上限積分函數(shù)是一類(lèi)函數(shù)的理解.同時(shí)加深了變上限積分函 數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.定理2 (原函數(shù)存在定理)x如果f(x)在a,b上連續(xù),則函數(shù)9(x) = ! f(t)dt是f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù).定理的重要意義：(1)肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.(2)初步揭示了積分學(xué)中的定積

6、分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.3、微積分基本定理如果F(x)是連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)bf(x)dx 二F(b) -F(a)已知F(x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù),x又丁(x) = f f (t)dt也是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，ax則 F(x) - f (t)dt =C,x a,b aa-x令 x=a 則 F(a) f f (t)dt =C，則 F(a)=C，即 F (x) 1f (t)dt = C, xw a,babf(t)dt =F(b) - f(a),x a,b ab令 x = b 則 F(b) - f (t)dt = F(a),即 a注意條件：f (x)在a,b上連續(xù).11例

7、4 求TE積分f 2-dx41 x1 x2dx = arctan x =arctan1 -arctan(T)=5例5求te積分f 2x -4 dx0例4的選取主要熟悉公式解:o 2x - 4dx =0 - (2x - 4)dx - (2x -4)dx一(x2 - 4x) |0 + (x2 - 4x) |=13例6求-4-2解 11dx = ln|x|-2 x1-= ln1 -ln 2 =-ln2-2學(xué)I43用的 解 問(wèn)刁使件視 回答 提,對(duì)條叫 學(xué)問(wèn)：計(jì)算定積分I 1dx,能用牛頓-萊布尼茲公式嗎？ x ,對(duì)本節(jié)開(kāi)始引例的解答冗rRL.解：面積 A =(sin xdx = Lcosx=2.一蝴

8、蝶在一正弦形y =sinx,xw0,n花帶中飛行，求蝴蝶活動(dòng)的區(qū)域面積?四、課堂練習(xí)(分組練習(xí)，教師答疑)x1、設(shè)中(x)=e點(diǎn)求6解：(x)=ex.中(2)=e22x、2、y = costdt.求 y J a解： y = cos2x (2x)=2cos2xx3 求f (x) = ( (t -1)dt 的極值.解：:定義域?yàn)镽f (x) = x -1x =1 時(shí)，f (x) =0x'1時(shí)，f '(x) A 0,函數(shù)為增函數(shù).x <1時(shí)，f '(x) <0,函數(shù)為減函數(shù).11 211f(1) = 0(t-1)dt =2t2 -t0 =-2為函數(shù)的極小值.五、課堂小結(jié)本節(jié)通過(guò)幾個(gè)例子的講解，輕而易舉推出變上限積分函數(shù)的概念；學(xué)習(xí)了變上限 積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在此基礎(chǔ)上推出了微積分基本公式.x1 .變上限積分函數(shù)：G(x)=f (t)dta2 .變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：'(x)=f(x)b3 .微積