立體幾何初步知識點練習(xí)題

1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱：(1)概念：如果一個多面體有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線互相平行。這樣的多面體叫做棱柱。棱柱中兩個互相平行的面叫棱柱的底面，其余各個面都叫棱柱的側(cè)面，兩個側(cè)棱的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，棱柱中兩個底面間的距離叫棱柱的高。(2)分類：按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱和直棱柱。側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形、分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，棱錐：(1)概念：如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各個面是有一個公共頂點的三角形，那么這個多面體叫棱錐。在棱錐中有公共頂點的各三角

2、形叫做棱錐的側(cè)面，棱錐中這個多邊形叫做棱錐的底面，棱錐中相鄰兩個側(cè)面的交線叫做棱錐的側(cè)棱，棱錐中各側(cè)棱的公共頂點叫棱錐的頂點。棱錐頂點到底面的距離叫棱錐的高，過棱錐不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫棱錐的對角面。(2)分類：按照棱錐底面多邊形的邊數(shù)可將棱錐分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐(3)正棱錐的概念：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面。圓柱的概念：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸，垂

3、直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊叫做圓柱側(cè)面的母線。圓錐的概念：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體；圓臺的概念：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分;球的定義：第一定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫球體，簡稱球。半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。第二定義：球面是空間中與定點的距離等于定長的所有點的集合。球的截面與大圓小圓：截面：用一個平面去截一個球，截面是圓面；大圓：過球心的截面圓叫大圓，大圓

4、是所有球的截面中半徑最大的圓。球面上任意兩點間最短的球面距離：是過這兩點大圓的劣弧長；小圓：不過球心的截面圓叫小圓。棱柱的性質(zhì)：棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形；與底面平行的截面是與底面對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形；過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。棱錐的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點至截面距離與棱錐高的平方比。正棱錐性質(zhì)：正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等；正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影、側(cè)棱、

5、底面的外接圓的半徑R、底面的半邊長可組成四個直角三角形。圓柱的幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個矩形。圓錐的幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個扇形。圓臺的幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個弓形。球的截面的性質(zhì)：性質(zhì)1:球心和截面圓心的連線垂直于截面；性質(zhì)2：球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有如下關(guān)系：r2=R2-d2.例題1.如圖，在正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中,AB=1,AAi=，3，點E為AB上的動點，則D1E+CE的最小值為（）C,總+i答案：BABC2D2,在矩

6、形 CiDiD2c2將正方形ABCD沿AB向下翻折到對角面ABCiDi內(nèi)成為正方形中連接DiC2,與AB的交點即為所求最小值點E,此時DiE+CE=DiC2.因為對角線BCi=2,C iC2=3,故 DiC2=柳超”婿=例題2.如圖，直三棱柱，蜒的六個頂點都在半徑為i的半球面上，側(cè)面3崗是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面邯即4的面積為（）A. 2B. iC.D.答案C試題分析：球心在面80cls1的中心0上，SC為截面圓的直徑，/由C=90°,底面外接圓圓心¥位于BC'II>,同8£外心j/在跳1中點上，設(shè)正方形8冕耳邊長為丫，出預(yù)儲中，加三嶼oq=x

7、=i,9話）F即片有則HE=式=1,二§分q3=m*1=$ri例題3.如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF/AB,EF=2,EF與面AC的距離為2,則該多面體的體積為AR15答案：:試題分析：如圖，取AB中點N,取CD中點M,13139匕皿*二鼻/（彳乂3）*2=3噎£v-f鴕=5黜/=（彳*3*2）乂不二不二-,-,所以*,*,9151二+'emy-zk=一二=彳N+'例題4.如圖，已知正方體BCD-d/iC。上、下底面中心分別為°1：°:,將正方體繞直線°也:旋轉(zhuǎn)一周，其中由線段旋轉(zhuǎn)所得圖形是

8、（）B, D中選，顯然B答案d試題分析：由圖形的形成過程可知，在圖形的面上能夠找到直線，在不對，因為gJ中點繞旋轉(zhuǎn)得到的圓比B點和I點的小，故選D.例題5.已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組成，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可得這個幾何體的體積是（）循視圄答案C解答：解：由已知中的三視圖可得:該幾何體是由一個圓柱和半球組成的組成體由圖中所示的數(shù)據(jù)可得:圓柱的底面直徑等于半球的直徑為2則半徑R=1圓柱的高h(yuǎn)=1V圓柱=7tR2h=兀X12X1=兀cm3142V半球=2x3tiR3=3ucm32故該幾何體的體積V=兀+3兀=ccm3.故選C.CF都例題6.

9、如圖，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線月C=2加=祖AE、與平面ABCD垂直，AE=1,CF=2.(1)求二面角B-AF-D的大??；(2)求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積-；2垃答案(1)2_(2)9試題解析：(1)方法一：如圖(1)連結(jié)AC、BD交于菱形的中心。，過O作OG±AF,G為垂足.連結(jié)BG、DG.由BDAC,BDLCF,得BDL平面ACF,故BDLAF.于是AFL平面BGD,所以BGXAF,DGXAF,ZBGD為二面角B-AF-D的平面角.3分由FC，AC,FC=AC=2,得/FAC由 OB，OG , OB=OD=色工2 ,得/BGD

10、=2 ZBGO 2 .即二面角B-AF-D的大小為二.6分cm.答案例題7.一圓臺上底半徑為5cm,下底半徑為10cm,母線AB長為20cm,其中A在上底面上，B在下底面上，從AB中點M,拉一條繩子，繞圓臺的側(cè)面一周轉(zhuǎn)到B點，則這條繩子最短長為畫出圓臺的側(cè)面展開圖,并還原成圓錐展開的扇形，且設(shè)扇形的圓心為O.有圖得：所求的最短距離是設(shè)OA=R,圓心角是“，則由題意知，10戶“R，20兀=a(20+R)，由解得，a=M2,R=20,.OM=30,OB'=40,則MB'=50cm.故答案為：50cm.例題8.已知江、戶是兩個不同平面，刑、外是兩不同直線，下列命題中的假命題是()A.

11、若避上&則心2B若幅?色如足刃則如柒C若加上鞏掰上四則幻/D.若選上見掰Uf,則。上產(chǎn)答案B例題9.設(shè)m、n是兩條不同的直線，£是兩個不同的平面，給出下列四個命題：若刑二a,界？億，則型;樂；若加工況掂三£，則九門產(chǎn)；若二洛膽少，則掂匕因且加.若冊上疏選Ip,則.其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案A命題錯誤，命題正確例題10.(I)給出兩塊相同的正三角形紙片(如圖1,圖2),要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡要說明；3),

12、要求剪拼成一個直三棱(n)試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??；(m)(附加題)如果給出的是一塊任意三角形的紙片(如圖柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡要說明。解：（I）如圖1,沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐;如圖2,正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，可成為一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱柱的上底。（n）依上面剪拼的方法，有V柱V錐；推理如下：設(shè)給出正三角形紙片的邊長為2,那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都

13、是邊長為1的正三角形，其面積為4,%=，一（|鄉(xiāng)=號電=；fg3cr=洛現(xiàn)在計算它們的高：V。上32,%-I）蟲=（揖-芻3=過上。e3,任496424?所以，V柱V錐。（出）（附加題）如圖3,分別連結(jié)三角形的內(nèi)心與各頂點，得到三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形.以新作的三角形為直三棱柱的底面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。球與正方體、長方體、四面體組合球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方

14、體的外接球的直徑是正方體的體對角線長球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為球與其他幾何體的接切問題舉例如下:球的半徑均為 R,正方體、四面體、長方體的棱均為a,則R與a之間的關(guān)系:（1）球與正四面體的頂點接：（如右圖所示）FRxAOAFxHC -xa = xHC 22HOAG- - VaCJ*HC1=AH 3辰% J浮的3CG2 + OG1 - COJ（絡(luò)+即_守二傳7”(2)球與正四面體的面切:BD=BC=CD=AC=AB=AD=4ED=AE=Ief = Qae-f：AH = DR = AD x E

15、F = RD x AE0。n出g門 x = RD x 77QfT =。獷 + 加-R? =0H' +。斯)i)畫_組+矣=五?？?；也93火=典12例題1.一個凸多面體的各個面都是四邊形，它的頂點數(shù)是16,則它的面數(shù)為（）A.14B.7C.15D.不能確定答案A例題2下列圖形中不一定是平面圖形的是（）A.三角形B.四邊相等的四邊形C.梯形D.平行四邊形例題3.正多面體至少有個面，條棱，個頂點（）A.4,6,4B.3,4,3C.4,8,6D.3,6,4答案：A例題4.一個正三棱錐的側(cè)棱長為1,底邊長為血，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）答案：3兀例題5.已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的體積最大時,其高的值為（）A.3修B252$C-CD.也答案：B例題6.在一個球的千面上有P、A、B、C、D五個點，且P-ABCD是正四棱錐，同時球心PA和P點在平面ABCD的異側(cè)，則AB的取值范圍是（）（張）答案：-例題7關(guān)于如圖所示幾何體的正確說法為:這是一個六面體；這是一個四棱臺；這是一個四棱柱；這是一個四棱柱和三棱柱的組合體；因為有六個面，屬于六面體的范圍，這是一個很明顯的四棱柱，因為側(cè)棱的延長線不能交與一點，所以不正確.如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱，可以有四棱柱和三棱柱組成，和的想法一樣，割補(bǔ)方法就可以得到.故答