勾股定理的實(shí)際應(yīng)用習(xí)題

1、歡迎閱讀18.如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹 12m,高8m的一 棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以 2m/s的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能19. (2007儀烏市)李老師在與同學(xué)進(jìn)行 螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時(shí)設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問題，請你 根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長.(1)如圖1,正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn) A沿著正方體表面爬到點(diǎn) C1處；(2)如圖2,正四棱柱的底面邊長為5cm,側(cè)棱長為6cm, 一只螞蟻從正四棱柱底面上的點(diǎn) A沿著 棱柱表面爬到C1處；(3)如圖3,圓錐的母線長為4cm

2、,圓錐的側(cè)面展開圖如圖4所示，且/ AOA1=120°, 一只螞蟻欲 從圓錐的底面上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn) A.20. (2013砒陽模擬)請閱讀下列材料：問題：如圖1,圓柱的底面半徑為1dm, BC是底面直徑，圓柱高 AB為5dm,求一只螞蟻從點(diǎn)A出 發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線，小明設(shè)計(jì)了兩條路線：路線1：高線AB+底面直徑BC,如圖1所示.路線2:側(cè)面展開圖中的線段 AC,如圖2所示.(結(jié) 果保留施(1)設(shè)路線1的長度為L1,則l/=.設(shè)路線2的長度為L2,則l22=.所以選擇路線 (填1或2)較短.(2)小明把條件改成：圓柱的底面半徑為5dm,高AB為1d吊

3、繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算.此時(shí)，路線1： l/=.路線2: l22=.所以選擇路線 (填1或 i. l* I I- I2)較短.(3)請你幫小明繼續(xù)研究：當(dāng)圓柱的底面半徑為 2dm,高為hdm時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才 能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的路線最短.21. 如圖，正方體邊長為30cm, B點(diǎn)距離C點(diǎn)10cm,有一只螞蟻沿著正方體表面從 A點(diǎn)爬到B點(diǎn), 其爬行速度為每秒2cm,則這只螞蟻?zhàn)羁於嚅L時(shí)間可爬到 B點(diǎn)？22. (2013淵城模擬)如圖，長方體的底面邊長分別為 1cm和3cm,高為6cm,如果用一根細(xì)線從點(diǎn) A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B (B為棱的中點(diǎn))，那么

4、所用細(xì)線最短需要多長？如果從點(diǎn) A開 始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要多長？23. .如圖，一個(gè)長方體形的木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角 C1處.若AB=4, BC=4, CC1=5,(1)請你在備用圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)求螞蟻爬過的最短路徑的長.1 .選擇題(共5小題)2 .解答題(共22小題)6 . (2013淞州模擬)如圖所示，甲、乙兩船同時(shí)由港口A出發(fā)開往海島B,甲船沿東北方向向海島B航行，其速度為15海里/小時(shí)；乙船速度為20海里/小時(shí)，先沿正東方向航行1小時(shí)后，到達(dá)C港 口接旅客，停留

5、半小時(shí)后再轉(zhuǎn)向北偏東 300方向開往B島，其速度仍為20海里/小時(shí).(1)求港口 A到海島B的距離；(2) B島建有一座燈塔，在離燈塔方圓5海里內(nèi)都可以看見燈塔，問甲、乙兩船哪一艘先看到燈塔？7 . （2012站冶區(qū)二模）有一艘漁輪在海上 C處作業(yè)時(shí)，發(fā)生故障，立即向搜救中心發(fā)出救援信號， 此時(shí)搜救中心的兩艘救助輪救助一號和救助二號分別位于海上A處和B處，B在A的正東方向，且相距100里，測得地點(diǎn)C在A的南偏東60°,在B的南偏東30°方向上，如圖所示，若救助一號和救 助二號的速度分別為40里/小時(shí)和30里/小時(shí)，問搜救中心應(yīng)派那艘救助輪才能盡早趕到C處救援？（飛=I.8

6、.如圖，要在高AC為2米，斜坡AB長8米的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要多少米？9 .如圖，一塊三角形鐵皮，其中/ B=30°, /C=45°, AC=12、ncm.求AABC的面積.10 .如圖，一架長2.5米的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)B到墻AC的距離為0.7米.（1）若梯子的頂端A沿墻AC下滑0.9米至Ai處，求點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離BBi的長；（2）若梯子從頂端A處沿墻AC下滑的距離是點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離的一半，試求梯子沿墻AC下滑的距離是多少米？11 .如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10米的D處有兩只猴子，他們同時(shí)發(fā)現(xiàn) C處有一筐水果， 一只猴子從D處往

7、上爬到樹頂A處，又沿滑繩AC滑到C處，另一只猴子從D滑到B,再由B跑到 C處，已知兩只猴子所經(jīng)路程都為15米，求樹高AB.1. （2010函短）如圖，王大伯家屋后有一塊長12m,寬8m的矩形空地，他在以長邊BC為直徑的半 圓內(nèi)種菜，他家養(yǎng)的一只羊平時(shí)拴 A處的一棵樹上，為了不讓羊吃到菜，拴羊的純長可以選用（）A . 3mB. 5mC. 7mD. 9m2. （2007戲名）如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是 5,高是12,上底面中心有一個(gè)小圓孔，則 一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分 a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）A . 12443B, 124司5C. 5Q42D , 5Q4

8、33. （2012?樂山模擬）一船向東航行，上午 8時(shí)到達(dá)B處，看到有一燈塔在它的南偏東 60°,距離為72海里的A處，上午10時(shí)到達(dá)C處，看到燈塔在它的正南方向，則這艘船航行的速度為（）A. 18海里/小時(shí)B. 1卯分海里/小時(shí)C. 36海里/小時(shí)D.海里/小時(shí)4. （2010W湖區(qū)模擬）在直徑為10m的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截圖如圖所示，如果油面寬AB=8m,那么油的最大深度是（）A . 1mB. 2m_ k. 3mD . 4m5. 如圖，是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為 4cm、3cm、12cm,現(xiàn)有一長為16cm的吸管插入 到盒的底部，則吸管露在盒外的部分 h的取值范

9、圍為（）A . 3<h<4B, 3司<4C, 2母9D, h=412 .如圖，某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高 5m,長13m,寬2m的樓梯上鋪地毯，已知地毯每平方米18元，請你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要多少元錢？13 .如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在 A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏 東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.（1） A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺風(fēng)影響，那么 A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時(shí)間？14 .如圖，某城市接到臺風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一

10、臺風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h 的速度移動(dòng)，已知城市 A到BC的距離AD=100km .（1）臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從 B移動(dòng)到D點(diǎn)？（2）已知在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，若在點(diǎn) D的工作人員早上6:00接到臺風(fēng)警報(bào)，臺風(fēng)開始影響到臺風(fēng)結(jié)束影響要做預(yù)防工作，則他們要在什么時(shí)間段內(nèi)做預(yù)防工 作？15 .中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時(shí).一輛小汽車”在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面 車速檢測儀A”正前方50 米C處，過了 6秒后，測得 小汽車”位置B與 車速檢測儀A”之間的距離為130米，這輛 小

11、汽車”超 速了嗎？請說明理由.16 .某工廠的大門如圖所示，其中下方是高為2.3米、寬為2米的矩形，上方是半徑為1米的半圓形.貨 車司機(jī)小王開著一輛高為3.0米，寬為1.6米的裝滿貨物的卡車，能否進(jìn)入如圖所示的工廠大門？請 說明你的理由.17 .勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成（圖 1: 4ABC中，/BAC=90 ）. 請解答：（1）如圖2,若以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，則它們的面積Si、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系是.（2）如圖3,若以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓，則

12、它們的面積&、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系是,請說明理由.（3）如圖 4,在梯形 ABCD 中，AD / BC, / ABC+/ BCD=90 , BC=2AD ,分別以 AB、CD、AD 為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3,則S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系式為 , 請說明理由.24 .如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5, 一只螞蟻如果要沿著長方 體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是多少？25 .如圖所示，圓柱形的玻璃容器，高 18cm,底面周長為24cm,在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)S處有一 蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1

13、cm的點(diǎn)F處有一只蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路徑.26 .如圖，一正方形的棱長為2, 一只螞蟻在頂點(diǎn)A處，在頂點(diǎn)G處有一米粒.（1）問螞蟻吃到這粒米需要爬行的最短距離是多少？（2）在螞蟻剛要出發(fā)時(shí)，突然一陣大風(fēng)將米粒吹到了GF的中點(diǎn)M處，問螞蟻要吃到這粒米的最短距離又是多少？27 .如圖所示，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為 6m的正三角形ABC,糧堆母線AC的中點(diǎn)P處 有一只老鼠正在偷吃糧食.此時(shí)，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是多少米？（結(jié)果不取近似值）參考答案與試題解析一.選擇題（共5小題）1. （2010函短）如圖，王大伯家屋后有一

14、塊長12m,寬8m的矩形空地，他在以長邊BC為直徑的半 圓內(nèi)種菜，他家養(yǎng)的一只羊平時(shí)拴 A處的一棵樹上，為了不讓羊吃到菜，拴羊的純長可以選用（）A. 3mB. 5mC. 7mD. 9m考 勾股定理的應(yīng)用.點(diǎn)：專 應(yīng)用題；壓軸題.題：分 為了不讓羊吃到菜，必須等于點(diǎn)A到圓的最小距離.要確定最小距離，連接 OA交半圓于點(diǎn)E,即AE是析：最短距離.在直角三角形 AOB中，因?yàn)镺B=6, AB=8,所以根據(jù)勾股定理得 OA=10 .那么AE的長即可解 答.解 解：連接OA,交半圓。于E點(diǎn)，答： 在 RtAOAB 中，OB=6, AB=8 ,所以 OA= JoB2 + AB/10；又 OE=OB=6 ,

15、所以 AE=OA - OE=4 .因此選用的繩子應(yīng)該不大于 4m, 故選A .點(diǎn) 此題確定點(diǎn)到半圓的最短距離是難點(diǎn).熟練運(yùn)用勾股定理.評：2. （2007戲名）如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5,高是12,上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分 a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）A. 12Q43B. 12Q司5C. 5Q42D, 5Q得3考 勾股定理的應(yīng)用.歡迎閱讀點(diǎn)：專 壓軸題.題：分 最短距離就是飲料罐的高度，最大距離可根據(jù)勾股定理解答.析：解 解：a的最小長度顯然是圓柱的高 12,最大長度根據(jù)勾股定理，得：52 + 122=13答：-即a的取值范圍

16、是124局3.故選A .點(diǎn) 主要是運(yùn)用勾月定理求得 a的最大值，此題比較常見，有一定的難度.評：3. （2012?樂山模擬）一船向東航行，上午 8時(shí)到達(dá)B處，看到有一燈塔在它的南偏東 60°,距離為72海里的A處，上午10時(shí)到達(dá)C處，看到燈塔在它的正南方向，則這艘船航行的速”為（）A. 18海里/小時(shí)B, 1叼三海里/小時(shí)C. 36海里/小時(shí)D. 31后海里/小時(shí)考 勾股定理的應(yīng)用；方向角.點(diǎn)：專 應(yīng)用題.題：分 首先畫圖，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出船8時(shí)到10時(shí)航行的距離，再求速度即可解答.析：解 解：如圖在 RtAABC 中，/ ABC=90 - 60 =30 °

17、, AB=72 海里，答：故AC=36海里，BCR* 2 7c-6g海里,艘船航行的速度為 36dme=18近海里/時(shí).故選B.點(diǎn) 本題考查方位角、直角三角形、銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識.解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角 評：形的問題，解決的方法就是作高線.4. （2010W湖區(qū)模擬）在直徑為10m的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截圖如圖所示，如果油面寬AB=8m,那么油的最大深度是（）A. 1mB. 2mC. 3mD. 4m考 勾股定理的應(yīng)用；垂徑定理的應(yīng)用.點(diǎn)：分 本題是已知圓的直徑， 弦長求油的最大深度其實(shí)就是弧AB的中點(diǎn)到弦AB的距離，可以轉(zhuǎn)化為求弦心距的問析：題，利用垂徑定理來解決

18、.解 解：過點(diǎn) O作OM XAB交AB與M ,交弧AB于點(diǎn)E.連接OA .口在 RtAOAM 中：OA=5m , AM= -AB=4m .2根據(jù)勾股定理可得 OM=3m ,則油的最大深度 ME為5-3=2m.故選B.點(diǎn) 考查了勾股定理的應(yīng)用和垂徑定理的應(yīng)用，圓中的有關(guān)半徑，弦長，弦心距之間的計(jì)算一般是通過垂徑定理 評：轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.5.如圖，是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為 4cm、3cm、12cm,現(xiàn)有一長為16cm的吸管插入 到盒的底部，則吸管露在盒外的部分 h的取值范圍為（）A. 3<h<4B, 3<14C. 2母&D. h=4考 勾股定理的應(yīng)用

19、.點(diǎn)：分 根據(jù)題中已知條件，首先要考慮吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時(shí)露在杯口外的長度最長為16-12=4cm；最短時(shí)與析：底面對角線和高正好組成直角三角形，用勾股定理解答進(jìn)而求出露在杯口外的長度最短.解 解：當(dāng)吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時(shí)露在杯口外的長度最長，最長為16-12=4 （cm）;歡迎閱讀答：露出部分最短時(shí)與底面對角線和高正好組成直角三角形， 底面對角線直徑為 5cm,高為12cm,由勾股定理可得杯里面管長為 在汩 產(chǎn)13cm ,則露在杯口外的長度最長為16- 13=3cm ;則可得露在杯口外的長度在 3cm和4cm范圍變化.故選B.點(diǎn) 本題考查了矩形中勾股定理的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是要找出管

20、最長和最短時(shí)在杯中所處的位置，然后計(jì)算 評：求解.二.解答題（共22小題）6. （2013淞州模擬）如圖所示，甲、乙兩船同時(shí)由港口A出發(fā)開往海島B,甲船沿東北方向向海島B航行，其速度為15海里/小時(shí)；乙船速度為20海里/小時(shí)，先沿正東方向航行1小時(shí)后，到達(dá)C港 口接旅客，停留半小時(shí)后再轉(zhuǎn)向北偏東 300方向開往B島，其速度仍為20海里/小時(shí).（1）求港口 A到海島B的距離；（2） B島建有一座燈塔，在離燈塔方圓5海里內(nèi)都可以看見燈塔，問甲、乙兩船哪一艘先看到燈塔？ 考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.專題：應(yīng)用題.分析：（1）作BDXAE于D,構(gòu)造兩個(gè)直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD ,利用

21、DA和DC之間的關(guān)系列出方程求解.（2）分別求得兩船看見燈塔的時(shí)間，然后比較即可.解答：解：（1）過點(diǎn)B作8口，人£于口在 RtABCD 中，/ BCD=60 °,設(shè) CD=x ,貝U BD=v/x, BC=2x在 RtAABD 中，/ BAD=45 °貝UAD=BD=dX, AB=&BD=Ck由 AC+CD=AD 得 20+x=«x解得：x=10，+10故 AB=30 72+1076答：港口 A到海島B的距離為30日+1B*后海里.（2）甲船看見燈塔所用時(shí)間：即退出近二比4,1小時(shí)乙船看見燈塔所用時(shí)間：20-3+205“ 0小時(shí)220所以乙船先

22、看見燈塔.點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的相 關(guān)知識解答.7. （2012?t冶區(qū)二模）有一艘漁輪在海上 C處作業(yè)時(shí)，發(fā)生故障，立即向搜救中心發(fā)出救援信號， 此時(shí)搜救中心的兩艘救助輪救助一號和救助二號分別位于海上A處和B處，B在A的正東方向，且相距100里，測得地點(diǎn)C在A的南偏東60°,在B的南偏東30°方向上，如圖所示，若救助一號和救助二號的速度分別為40里/小時(shí)和30里/小時(shí)，問搜救中心應(yīng)派那艘救助輪才能盡早趕到C處救援？（三=1.7考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.分析：作CD，AB交AB延長線于D,根據(jù)勾股定理分別

23、計(jì)算出 AB和BC的長度，利用速度、時(shí)間、路程之間 的關(guān)系求出各自的時(shí)間比較大小即可.解答： 解：作CDXAB交AB延長線于 D,由已知得：/ EAC=60°, /FBC=30°, 1=30°, / 2=90 - 60 =30 °,/ 1 + Z 3=/ 2, / 3=30°,1 = /3,AB=BC=100 ,歡迎閱讀在 RtABDC 中，BD=J;BC=50, 2dc=VbC2 -BD2 =50V3, AD=AB+BD=150 ,ti 號=空=上40 2t2號=廖竺30 3 1<4.25,M.25,在 RtAACD 中，AC= AD2

24、KD2 =100寸行，3搜救中心應(yīng)派 2號艘救助輪才能盡早趕到C處救援.點(diǎn)評：本題考查了勾股定理的運(yùn)用、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系.8 .如圖，要在高AC為2米，斜坡AB長8米的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要多少米？ 考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.分析：根據(jù)題意，知還需要求出 BC的長，根據(jù)勾股定理即可.解答：解：由勾股定理 AB2=BC2+AC2,得 BC= VaB-AC=V64- 4=2V15,AC+BC=2+2 V15 （米）.答：所需地毯的長度為（2+2 /15）米.點(diǎn)評：能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活中的實(shí)際問題.熟練運(yùn)用勾股定理.9 .如圖，一塊三角形鐵皮，其中/

25、B=30°, /C=45°, AC=12爪cm.求AABC的面積.考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用；三角形的面積；含 30度角的直角三角形；等腰直角三角形.分析： 首先過A作ADLCB,根據(jù)/ C=45°,可以求出 AD=DC ,再利用勾股定理求出AD的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出 AB的長，利用勾股定理求出 BD的長，最后根據(jù)三角形的面積公式可求出4ABC的面積.解答：解：過A作AD XCB,. Z C=45°,；一/ DAC=45 °,AD=DC ,設(shè) AD=DC=x ,則 x2+x2= （12近）2,解得：x=12, I ,. / B=30

26、76;,AB=2AD=24 ,BD=正針-1產(chǎn)12日,CB=12+12 V5,ABC 的面積=-CB?AD=72 V5+72.2點(diǎn)評：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練利用直角三角形的性質(zhì)求出BD、AD的長.10 .如圖，一架長2.5米的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)B到墻AC的距離為0.7米.（1）若梯子的頂端A沿墻AC下滑0.9米至A1處，求點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離BB1的長；（2）若梯子從頂端A處沿墻AC下滑的距離是點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離的一半，試求梯子沿墻AC下滑的距離是多少米？考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.分析：（1）根據(jù)題意可知/ C=90°, AB=2.5

27、m , BC=0.7m ,根據(jù)勾股定理可求出 AC的長度，根據(jù)梯子頂端 B沿 墻下滑0.9m,可求出A1C的長度，梯子的長度不變，根據(jù)勾股定理可求出B1C的長度，進(jìn)而求出 BB1的長度.（2）可設(shè)點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離的一半為 2x,則梯子從頂端 A處沿墻AC下滑的距離是x,根據(jù)勾股定理建 立方程，解方程即可.解答： 解：（1） . AB=2.5m, BC=O.7m ,AC=12： 5。0. 產(chǎn)2.4mA1 C=AC AA 1=2.4 0.9=1.5m , B1C=V2* 52-1. 52=2m，BB1=B1C BC=0.5m ;（2）梯子從頂端 A處沿墻AC下滑的距離是x,則點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離的

28、一半為 2x,由勾股定理得：（2.4-x） 2+ （0.7+2x） 2=2.52,解得：x=,2_ 二答：梯子沿墻 AC下滑的距離是W米.2廠點(diǎn)評：本題考查勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形里根據(jù)勾股定理，知道其中兩邊就可求出第三邊，從而可求解.11 .如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10米的D處有兩只猴子，他們同時(shí)發(fā)現(xiàn) C處有一筐水果， 一只猴子從D處往上爬到樹頂A處，又沿滑繩AC滑到C處，另一只猴子從D滑到B,再由B跑到 C處，已知兩只猴子所經(jīng)路程都為15米，求樹高AB.考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.分析：在RtAABC中，/ B=90 °,則滿足AB2+BC2=AC2, BC=a （米），

29、AC=b （米），AD=x （米），根據(jù)兩只猴子 經(jīng)過的路程一樣可得 10+a=x+b=15解方程組可以求 x的值，即可計(jì)算樹高 =10+x.解答： 解：RtAABC 中，/ B=90°,設(shè) BC=a （米）,AC=b （米）,AD=x （米）則 10+a=x+b=15 （米）.a=5 （米），b=15 - x （米）又在RtAABC中，由勾股定理得：（10+x） 2+a2=b2, . . （ 10+x） 2+52= （15-x） 2, 解得，x=2,即AD=2 （米）AB=AD+DB=2+10=12（米）答：高AB為12米.點(diǎn)評：本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找到兩只

30、猴子行走路程相等的等量關(guān)系，并且正確地運(yùn) 用勾股定理求AD的值是解題的關(guān)鍵.12 .如圖，某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m,長13m,寬2m的樓梯上鋪地毯，已知地毯每平方米18元，請你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要多少元錢？考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.分析： 地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即 AC與BC的和，在直角 4ABC中，根據(jù)勾股定理即可求 得BC的長，地毯的長與寬的積就是面積.解答, 解：由勾股定理， AC=小出2 _耽憶13? 一 5 12（m）則地毯總長為12+5=17 （m）,則地毯的總面積為 17>2=34 （平方米），所以鋪完這個(gè)樓道至少需要34 M8=612元

31、.點(diǎn)評：正確理解地毯的長度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.13 .如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在 A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏 東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.歡迎閱讀(1) A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風(fēng)影響，那么 A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時(shí)間？考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.專題：應(yīng)用題.分析：(1)點(diǎn)到直線的線段中垂線段最短，故應(yīng)由 A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為 C,若AC >200則A城不受影響， 否則受影響；(2)點(diǎn)A到直線BF的長為200千米的點(diǎn)有兩點(diǎn)，分別設(shè)為D、G,則4ADG是等腰三角

32、形，由于ACXBF, 則C是DG的中點(diǎn)，在RtAADC中，解出CD的長，則可求DG長，在DG長的范圍內(nèi)都是受臺風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的 關(guān)系則可求時(shí)間.解答：解：(1)由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為 C,在 RtAABC 中，/ ABC=30 °, AB=320km ,貝U AC=160km ,因?yàn)?60V200,所以A城要受臺風(fēng)影響；(2)設(shè)BF上點(diǎn)D, DA=200千米，則還有一點(diǎn) G,有AG=200 千米.因?yàn)镈A=AG ,所以4ADG是等腰三角形，因?yàn)锳C ± BF,所以AC是BF的垂直平分線，CD=GC ,在 RtAADC 中，DA=200 千米，AC=160 千米

33、，由勾股定理得, CD= -(.2 _ K *-J2002 - go 2=120 千米，則 DG=2DC=240 千米，yf I.遭受臺風(fēng)影響的時(shí)間是：t=240*0=6 (小時(shí)).點(diǎn)評：此題主要考查輔助線在題目中的應(yīng)用，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離及速度與時(shí)間的關(guān)系等，較為復(fù)雜.14.如圖，某城市接到臺風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h 的速度移動(dòng)，已知城市 A到BC的距離AD=100km .(1)臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從 B移動(dòng)到D點(diǎn)？(2)已知在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，若在點(diǎn) D的工作人員早上6:00接到臺風(fēng)警報(bào)，臺風(fēng)開始

34、影響到臺風(fēng)結(jié)束影響要做預(yù)防工作，則他們要在什么時(shí)間段內(nèi)做預(yù)防工作？考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用."；I分析：(1)首先根據(jù)勾股定理計(jì)算 BD的長，再根據(jù)時(shí)間=路程謎度進(jìn)行計(jì)算；(2)根據(jù)在30千米范圍內(nèi)都要受到影響，先求出從點(diǎn)B到受影響的距離與結(jié)束影響的距離，再根據(jù)時(shí)間=路程 謎度計(jì)算，然后求出時(shí)間段即可.解答：解：(1)在 RtAABD 中，根據(jù)勾股定理，得 BD= Jab? _AdZ=J26Q2 - 0°Z=240km ,所以，臺風(fēng)中心經(jīng)過 240T5=16小時(shí)從B移動(dòng)到D點(diǎn)，答：臺風(fēng)中心經(jīng)過 16小時(shí)時(shí)間從B移動(dòng)到D點(diǎn)；(2)如圖，二,距臺風(fēng)中心 30km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到

35、不同程度的影響，BE=BD - DE=240 - 30=210km , BC=BD+CD=240+30=270km ,臺風(fēng)速度為 15km/h, . 210勺5=14 時(shí)，270勺5=18, 早上6: 00接到臺風(fēng)警報(bào)， .6+14=20 時(shí)，6+18=24 時(shí)，他們要在20時(shí)到24時(shí)時(shí)間段內(nèi)做預(yù)防工作.點(diǎn)評：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，此題的難點(diǎn)在于第二問，需要正確理解題意，根據(jù)各自的速度計(jì)算時(shí)間，然 后進(jìn)行正確分析.15.中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時(shí).一輛小汽車”在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面 車速檢測儀A”正前方

36、50歡迎閱讀米C處，過了 6秒后，測得 小汽車”位置B與 車速檢測儀A”之間的距離為130米，這輛 小汽車”超 速了嗎？請說明理由.考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.專題：計(jì)算題.分析：由題意知，4ABC為直角三角形，且 AB是斜邊，已知 AB, AC根據(jù)勾股定理可以求 BC,根據(jù)BC的長 度和時(shí)間可以求小汽車在 BC路程中的速度，若速度大于 70千米/時(shí)，則小汽車超速；若速度小于70千米/時(shí)，則小汽車沒有超速.解答： 解：由題意知， AB=130米，AC=50米，且在 RtAABC中，AB是斜邊，根據(jù)勾股定理 AB2=BC2+AC2, 可以求得：BC=120米=0.12千米， 且6秒=匕時(shí)， 3600一

37、0 12 一，,所以速度為薩=72千米/時(shí)，3600二.故該小汽車超速.答：該小汽車超速了，平均速度大于70千米/時(shí).點(diǎn)評：本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中準(zhǔn)確的求出 BC的長度，并計(jì)算小汽車的行駛速度是解題的關(guān)鍵.16.某工廠的大門如圖所示，其中下方是高為2.3米、寬為2米的矩形，上方是半徑為1米的半圓形.貨 車司機(jī)小王開著一輛高為3.0米，寬為1.6米的裝滿貨物的卡車，能否進(jìn)入如圖所示的工廠大門？請 說明你的理由.考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.專題：應(yīng)用題.分析：根據(jù)題中的已知條件可將 BB的長求出，和卡車的高進(jìn)行比較，若門高低于卡車的高則不能通過否則能通過. 解答：解：設(shè)BB與矩形的

38、寬的交點(diǎn)為 C, AB=1 米，AC=0.8 米，/ ACB=90 °,BC=JaB：寸2-0. gZ=0.6 米, BB =BC+CB =2.3+0.6=2.9 <3.0, ，不能通過.點(diǎn)評： 考查了勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.17.勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成(圖 1: 4ABC中，/BAC=90 ). 請解答：(1)如圖2,若以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，則它們的面積$、S2、S3之間的數(shù)量

39、關(guān)系是 S1+S2=S3 (2)女啟飛,為正角三角形的三邊為直徑向外作半圓，則它們的面積S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系是 S1+S2=S3 ,請說明理由.(3)如圖 4,在梯形 ABCD 中，AD / BC, / ABC+/ BCD=90 , BC=2AD ,分別以 AB、CD、AD 為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3,則S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系式為S1+S2=S3,請說明理由.考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.專題：探究型.分析：(1)利用直角4ABC的邊長就可以表示出等邊三角形S1、S2、S3的大小，滿足勾股定理.(2)利用直角4ABC的邊長就可以表示出半圓 S1、S2、S3的大

40、小，滿足勾股定理.解答： 解：設(shè)直角三角形 ABC的三邊AB、CA、BC的長分別為a、b、c,則c2=a2+b2(1) S1+S2=S3,證明如下：(2) Si+S2=S3.證明如下:S3=Kc2，S1Ka2, S2=Kb2 占占占-S1 +S2= JT +/ + TT b = TT c 2=S3；888(3)過D點(diǎn)作DE / AB ,交BC于E,設(shè)梯形的邊 AB、DC、AD的長分另1J為 a、b、c,可證 EC=AD=c , DE=AB=a ,Z EDC=180 - (/DEC+/BCD) =180 - (/ABC+/BCD) =90°,則 c2=a2+b2; Si=a2、S2=b

41、2、S3=c2,表不，則 Si+S2=S3.故答案為：Si+S2=S3； Sl+S2=S3； Sl+S2=S3.點(diǎn)評：考查了三角形、正方形、圓的面積的計(jì)算以及勾股定理的應(yīng)用.18.如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹 12m,高8m的一棵小 樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以 2m/s的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.專題：計(jì)算題.分析： 本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求斜邊的值是13m,也就是兩樹樹梢之間的距離是13m,兩再利用時(shí)間關(guān)系式求解.，；解答：解：如圖所示：根據(jù)題意，得IAC=AD - BE=13 - 8=

42、5m , BC=12m .根據(jù)勾股定理，得"" : 'AB= VAC2 + BC2=13m .則小鳥所用的時(shí)間是 13妥=6.5 ( s).答：這只小鳥至少 6.5秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起.點(diǎn)評：此題主要考查勾股定理的運(yùn)用.關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，同時(shí)注意：時(shí)間 =路程 斑度.19. (2007儀烏市)李老師在與同學(xué)進(jìn)行 螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時(shí)設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問題，請你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長.(1)如圖1,正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn) A沿著正方體表面爬到點(diǎn) Ci處;(2)如圖2,正四棱柱的底面邊長為5cm

43、,側(cè)棱長為6cm, 一只螞蟻從正四棱柱底面上的點(diǎn) A沿著 棱柱表面爬到Ci處；(3)如圖3,圓錐的母線長為4cm,圓錐的側(cè)面展開圖如圖4所示，且/ AOAi=120°, 一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn) A.考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題.專題：壓軸題.分析：將各圖展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理解答.解答：解:(1) H (5+5) 解答：解：(1) . 112=72=49,L22=AC2=AB2+BC2=52+ (5 吊 2=25+25 k, 點(diǎn)評：此題主要考查了圓錐的計(jì)算以及平面展開圖最短路徑問題，根據(jù)已知得出圓心角度數(shù)是解題關(guān)鍵.+52=&a

44、mp;V5;(2)畫圖分兩種情況：當(dāng)橫向剪開時(shí)：AC (5+5) 2+62-V136，當(dāng)豎向剪開時(shí)：AC -yj (6+5) 2+52-V146，.JT雨近玩，最短路程為2V34cm(3)如圖所示：連接AA 1,過點(diǎn)。作OD，AA i于點(diǎn)D, 在 RtAADO 和 RtAAiDO 中，OA=OA 1,AD=A iD, Z AOD=-ZAOA 1=60 °,2 . AD=OAsin60 =4=2=2,2AAl=2AD=4 6，所求的最短的路程為 AA 1=玄用.點(diǎn)評:此題考查了同學(xué)們的空間想象能力，同時(shí)要求同學(xué)們能將立體圖形側(cè)面展開，有一定難度.20. (2013砒陽模擬)請閱讀下列材

45、料：問題：如圖1,圓柱的底面半徑為1dm, BC是底面直徑，圓柱高 AB為5dm,求一只螞蟻從點(diǎn)A出 發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線，小明設(shè)計(jì)了兩條路線：路線1：高線AB+底面直徑BC,如圖1所示.路線2:側(cè)面展開圖中的線段 AC,如圖2所示.(結(jié) 果保留施(1)設(shè)路線1的長度為L1,則l產(chǎn) 49 .設(shè)路線2的長度為L2,則產(chǎn) 25+冗2 .所以選擇路21. (填1或2)較短.(2)小明把條件改成：圓柱的底面半徑為5dm,高AB為1d吊繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算.此時(shí)，路線1： L產(chǎn) 121 .路線2:1+25冗2 所以選擇路線1 (填1或2)較短.(3)請你幫小明繼續(xù)研究：當(dāng)圓柱的底面半徑為

46、2dm,高為hdm時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的路線最短.考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題.分析：(1)根據(jù)勾股定理易得路線 l22=AC2=高2+底面周長一半2；路線1： 112=(高+底面直徑)2；讓兩個(gè)平方比 較，平方大的，底數(shù)就大.(2)根據(jù)勾股定理易得路線122=AC2=高2+底面周長一半2；路線1： 112=(高+底面直徑)2；讓兩個(gè)平方比 較，平方大的，底數(shù)就大.(3)根據(jù)(1)得到的結(jié)論讓兩個(gè)代數(shù)式分三種情況進(jìn)行比較即可.歡迎閱讀歡迎閱讀(3)當(dāng)圓柱的底面半徑為 2dm,高為hdm時(shí)，l22=AC2=AB2+筋2=h2+42,112= (AB

47、+BC ) 2= ( h+4) 2,112 - 122= (h+4) 2-h2+ (2兀)2=428h16=4 ( 4) 2h;當(dāng)(，4) 2h=0 時(shí)，即 h=兀 2 . 4時(shí),112=122;22 H當(dāng) h>-時(shí)，112Vl22；22 同當(dāng) h<1時(shí)，112>122. 2故答案為：49, 25+兀2, 2; 121 , 1+25 兀2, 1.點(diǎn)評： 此題主要考查了平面展開最短路徑問題，比較兩個(gè)數(shù)的大小，有時(shí)比較兩個(gè)數(shù)的平方比較簡便，比較兩個(gè)數(shù)的平方，通常讓這兩個(gè)數(shù)的平方相減.注意運(yùn)用類比的方法做類型題.21 .如圖，正方體邊長為30cm, B點(diǎn)距離C點(diǎn)10cm,有一只螞蟻

48、沿著正方體表面從 A點(diǎn)爬到B點(diǎn), 其爬行速度為每秒2cm,則這只螞蟻?zhàn)羁於嚅L時(shí)間可爬到B點(diǎn)？考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題.分析：將正方體展開，連接 A、B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可.解答：解：ED=CB=10 , . AD=AE+ED=40 , BD=10 ,AB= 7AD2 + Blf2=50,所需時(shí)間為50e=25s.答：這只螞蟻?zhàn)羁?25s可爬到B點(diǎn).點(diǎn)評：立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長來進(jìn)行解決.22 . (2013淵城模擬)如圖，長方體的底面邊長分別為 1cm和3cm,高為6cm,如果用一根細(xì)線從點(diǎn) A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B (B

49、為棱的中點(diǎn))，那么所用細(xì)線最短需要多長？如果從點(diǎn) A開 始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要多長？考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題.專題：計(jì)算題.分析：要求所用細(xì)線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果.解答：解：將長方體展開，連接 A、B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB=在不=JTBcm；如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B,相當(dāng)于直角三角形的兩條直角邊分別是8n和6,根據(jù)勾股定理可知所用細(xì)線最短需要可2 + 32=64-故用一根細(xì)線從點(diǎn) A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá) B (B為棱的中點(diǎn))，那么所用細(xì)線最短需要 標(biāo)cm, 如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)

50、面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要 764+923 .如圖，一個(gè)長方體形的木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角 Ci處.若AB=4, BC=4, CCi=5,(1)請你在備用圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)求螞蟻爬過的最短路徑的長.考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題.分析：(1)將長方體的木柜展開，求出對角線的長即可；(2)利用勾股定理求出螞蟻沿著木柜表面爬過的路徑線段AC'i,以及螞蟻沿著木柜表面爬過的路徑的長是AC1的距離，再進(jìn)行比較即可.解答：解 (1)如圖，木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩形ABC 1D和AA1C1C.螞蟻能

51、夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC 1 AC 1.(2)螞蟻沿著木柜表面爬過的路徑的長是AC 1=42+(5+4)2=V97. 爬過的路徑的長是 AC1=,52+ (4+4)一廊.V39</97,'''最短路徑的長是 AC 1 =4 89.點(diǎn)評：此題主要考查了長方體展開圖的對角線長度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯(cuò)題型，希望能引 起同學(xué)們的注意，注意分類討論.24.如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5, 一只螞蟻如果要沿著長方 體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是多少？ 考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題.分析：要求長方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短 解答.解答：解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第1個(gè)圖： 長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5, . BD=CD+BC=10+5=15 , AD=20 , 在直角三角形 ABD中，根據(jù)勾股定理得：AB= 7bD2 + AD£=V152 + 20 2=25 ；只要把長萬體