高考一輪復習必備—圓錐曲線講義

1、育英教育相信就會有奇跡直線與圓錐曲線復習提問一、直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系的判斷判斷直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線的方程（A，B不同時為0）代入圓錐曲線C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到關(guān)于一個變量的一元二次方程，即聯(lián)立消去y后得（1）當時，即得到一個一元一次方程，則與C相交，有且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線拋物線的對稱軸平行。（2）當時，直線與曲線C有兩個不同的交點；，直線與曲線C相切，即有唯一公共點（切點）；，直線與曲線C相離。二、圓錐曲線的弦長公式相交弦AB的弦長三、中點弦所在直線的斜率（1）若橢圓方程為時

2、，以為中點的弦所在直線斜率，即；若橢圓方程為時，相應結(jié)論為，即；（2）是雙曲線內(nèi)部一點，以P為中點的弦所在直線斜率，即； 若雙曲線方程為時，相應結(jié)論為，即；（3）是拋物線內(nèi)部一點，以P為中點的弦所在直線斜率； 若方程為時，相應結(jié)論為。 題型與方法一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判斷：通法為直線代入曲線判斷；另一方法就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率大小得到。（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切。例1.已知兩點，給出下列曲線方程：

3、在曲線上存在點P，滿足的所有曲線方程是 （填序號）。練1:對于拋物線C：，我們稱滿足的點M（）在拋物線的內(nèi)部，若點M（）在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線C的位置關(guān)系是 。練2：設(shè)拋物線的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線與拋物線有共點點，則直線的斜率的取值范圍是 例2.如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，過y軸正方向上一點C（0，c）（c0）任作一條直線，與拋物線相交于A，B兩點，一條垂直于x軸的直線分別與線段AB和直線：y=-c交于P，Q兩點。（1）若，求c的值；（2）若p為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線。練1：（12安徽理）如圖所示，分別是橢圓C：的左右焦點，過作直線x軸的垂線

4、交橢圓C的上半部分于點P，過作直線的垂線交直線于點Q，求證：直線PQ與橢圓C只有一個公共點。練2：（14湖北理）在平面直角坐標系xoy中，點M到點F（1,0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點M的軌跡為C，（1）求點M的軌跡方程；（2）設(shè)斜率為k的直線l過定點P（-2，1）分別求直線l與軌跡C恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時k的相應取值范圍。二、中點弦問題例1：已知過點M（，）的直線l與橢圓交于A，B 兩點，且（O為坐標原點），求直線l的方程。練1：（14江西理）過點M（1,1）作斜率為的直線與橢圓C：相交于A，B兩點，若M是線段AB中點，則橢圓C的離心率等于 。練2：已知橢圓方程。（

5、1）求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；（2）過點P（2,1）的直線l與橢圓相交，求被l截得的弦的中點的軌跡方程。例2：如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓，過坐標原點的直線交橢圓于P，A 兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k，求證：對任意k0,都有PAPB。練1：已知曲線C：，過原點斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，且它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意帶你k0,都有PQPH？若存在，求m的值，不存在，說明理由。例3已知橢圓C：，試確定m的范圍，使得對于直線l

6、：y=4x+m，橢圓C上有兩個不同的點關(guān)于這條直線對稱。練1：如圖所示，已知橢圓E經(jīng)過點A（2,3），對稱軸為坐標軸，焦點，在x軸上，離心率，（1）求橢圓E的方程；（2）求的角平分線所在直線l的方程；（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出，不存在，說明理由。練2：已知A，B，C是橢圓W：上的三點，O是坐標原點。（1）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形面積；（2）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，說明理由。3.已知橢圓C：的離心率為，右焦點為F，右頂點A在圓F：上。（1）求橢圓C和圓F的方程。（2）已知過點A的直線l與橢圓C交于

7、另一點B，與圓F交于另一點P，請判斷是否存在斜率不為0的直線l，使點P恰好為線段AB的中點，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由。二、弦長與面積問題。在弦長有關(guān)的問題中，一般有三類問題：（1）弦長公式（2）與焦點相關(guān)的弦長計算，利用定義（3）涉及面積的計算問題例1.過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于點A，B兩點，若線段AB的長為8，則P為多少？練1：已知橢圓C：，過橢圓C的左焦點F且傾斜角為的直線與橢圓C交于A，B，求弦長。練2：已知圓M：，若橢圓C：的右頂點為圓M的圓心，離心率為。（1）求橢圓C的方程；(2)已知直線：，若直線與橢圓C分別交于A，B兩點，與圓M分別交于G，H兩

8、點（其中點G在線段AB上），且，求k的值。例2：已知橢圓C：，過點（m，0）作圓的切線交橢圓G于A，B兩點。（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率。（2）將表示為m的函數(shù)，并求 的最大值。練1已知橢圓C：經(jīng)過點，其離心率為（1）求橢圓C的方程。（2）設(shè)直線：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平形四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點，求的取值范圍。2.已知橢圓C：的右頂點A（2,0）離心率為，O為坐標原點。（1）（1）求橢圓C的方程。（2）已知P是（異于點A）為橢圓C上一個動點，過O作線段AP垂線交橢圓C于點E，D。如圖所示，求的取值范圍。例3：已知是橢圓的左

9、右焦點，AB是過點的一條動弦，求AB的面積最大值。練1：（14新課標理）已知點A（0，-2），橢圓E：的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點。（1）求E的方程；（2）設(shè)過點A的直線與E相交于，兩點，當面積最大時，求的方程。例：已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點。（）若，求直線的斜率；（）設(shè)點在線段上運動，原點關(guān)于點的對稱點，求四邊形面積的最小值。練：（北京）在平面直角坐標系中，橢圓的中點為坐標原點，左焦點為（,），為橢圓上頂點，且。（）求橢圓的標準方程（）已知直線：與橢圓交于，兩點，直線：（）與橢圓交于，兩點，且，如圖所示，（）求證：（）求四邊形的面積的最大

10、值。2.(14年湖南理21)如圖所示，O為坐標原點，橢圓：的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線：的左右焦點分別為，離心率為，已知，且。（1）求，的方程 （2）過作的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點，當直線OM與交于P，Q兩點時，求四邊形APBQ面積的最小值。3.已知拋物線的焦點為F，A,B是拋物線上的兩動點，且。過A，B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M。（1）求證：為定值；（2）設(shè)ABM的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。三、平面向量在解析幾何的應用常見的兩個應用（1）用向量的數(shù)量積解決有關(guān)角的問題，其步驟是:先寫出向量坐標式，再用向量數(shù)量積的坐標公式，當不共線時，有為：直角；鈍角

11、；銳角（2）利用向量的坐標表示解決共線問題.向量共線的充要條件是或1.夾角問題直線與拋物線相交于A，B兩點，則：（1）直線在y軸上的截距等于2P時，（2）直線在y軸上的截距大于2P時，（1）直線在y軸上的截距大于0且小于2P時，。例1：過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，求證：ABO為鈍角三角形。練1：設(shè)A，B分別為橢圓的左右頂點，P為直線上不同于點（4,0）的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于A，B的點M，N.求證：點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。練2：已知m1,直線：，橢圓C：的左右焦點分別為。（1）當直線過右焦點時，求直線的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點

12、，A和B的重心分別為G，H，若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍。2.向量共線問題。例1：在平面直角坐標系xoy中，經(jīng)過點（0，）且斜率為k的直線與橢圓有兩個焦點P，Q。（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如存在，求k值，不存在說明理由。練1：設(shè)橢圓的左右焦點分別為，離心率，直線：，如圖所示，M，N是上的兩個動點，（1）若，求的值；（2）求證：當取最小值時，與共線。例2：設(shè)A，B是橢圓上的兩點，并且點N（-2,0）滿足，當時，求直線AB斜率的取值范圍。練1：已知分別為橢圓的左右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長

13、軸，動直線垂直于，垂足為D，線段的垂直平分線交于點M。（1）求動點M的軌跡C的方程。（2）過點作直線交曲線C于兩個不同的點P和Q，設(shè)。若，求的取值范圍。2.過點F（1,0）的直線交拋物線于A，B兩點，交直線：x=-1于點M，已知，求的值。四、定點問題1.求定點問題的方法與步驟一般地，解決動曲線（包括動直線）過定點的問題，其解題步驟可歸納為：一選，二求，三定點。2.兩點說明（1）對于曲線過定點，要求曲線方程關(guān)于參變量進行整理，即為參數(shù)，若方程有兩個參數(shù)，需在題中尋找它們之間的關(guān)系，消去其中一個。若有解，則曲線過定點，否則不過定點。(2)對于直線過定點，我們有以下重要結(jié)論：若直線：，為常數(shù)，則直線

14、必過定點（0，m）若直線：，n為常數(shù)，則直線必過定點（-n，0）若直線：，n，b為常數(shù)，則直線必過定點（-n，b）若直線：，為常數(shù)，則直線必過定點（m，0）若直線：，n為常數(shù)，則直線必過定點（0，-n）若直線：，n，b為常數(shù)，則直線必過定點（b，-n）。題型（一）三大圓錐曲線中的頂點直角三角形斜邊所在的直線過定點。例1：已知橢圓，直線：與橢圓交于A，B兩點（A，B不是頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標。練1：已知橢圓的左頂點為A，不過點A的直線：與橢圓交于不同的兩點P，Q。當時，求k與b的關(guān)系，并證明直線過定點。2.（12北京高三期末理）已知焦點在x

15、軸上的橢圓C過點（0,1），且離心率為，Q為橢圓C的左頂點。（1）求橢圓C的標準方程（2）已知過點（）的直線與橢圓C交于A，B兩點。（）若直線垂直于x軸，求AQB的大?。ǎ┤糁本€與x軸不垂直，是否存在直線使得QAB為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；不存在說明理由。3.已知橢圓M：的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為（1）求橢圓M的方程（2）設(shè)直線與橢圓M交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點C，求ABC的面積。例2:已知拋物線上異于頂點的兩動點A，B滿足以AB為直徑的圓過頂點，求證：AB所在過定點，并求出定點的坐標。練1：如圖，已知定點在拋物線上，過點P作

16、兩直線，分別交拋物線于A，B,且以AB為直徑的圓過點P，求證：直線AB過定點，求出定點坐標。2.已知拋物線方程過點M（1,2）作兩直線，分別交拋物線于A，B兩點，且，的斜率，滿足=2.求證：直線AB過定點，并求出此定點坐標。題型（二）三大圓錐曲線中，若過焦點的弦AB，則焦點所在坐標軸上存在唯一定點N，使得為定值。 例1：（12北京海淀模擬）已知橢圓C：的右焦點為F（1,0）且點在橢圓C上。（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知動直線過點F，且與橢圓C交于A，B兩點。在x軸上是否存在點Q，使得恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由。練：已知雙曲線的左右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交

17、于，兩點。在軸上是否存在點，使得為常數(shù)？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由。五定值問題解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)思想方法來解決。證明過程可總結(jié)為“變量函數(shù)定值”方法有（）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)。（）直接推理，計算，消去變量，從而得到定值。題型（一）三大圓錐曲線中，曲線上的一定點與曲線上的兩動點，滿足直線與直線的斜率互為相反數(shù)，則直線的斜率為定值。例.已知橢圓：，為橢圓上的點，其坐標為（，），是橢圓上的兩動點，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)。求證：直線的斜率為定值，并求出該定值練：已知，是長軸為，焦點在軸上的橢圓上的三點，點是長軸的一個端點，過橢圓的中心

18、，且，。（）求橢圓方程；（）如果橢圓上的兩點，使得的平分線垂直于，問是否總存在實數(shù)，使得？說明理由。.已知橢圓：的離心率為，過橢圓右焦點的直線：與橢圓交于點（在第一象限）。（）求橢圓的方程；（）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于，兩點，判斷直線，是否關(guān)于直線對稱，并說明理由。題型（二）三大圓錐曲線中，設(shè)過焦點且不垂直于坐標軸的弦，其垂直平分線交焦點所在軸于點，則例. 已知橢圓：的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于，兩點，若，則。練1：已知雙曲線C：的右焦點為F,過F且斜率為的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為。2.已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF

19、的延長線交C于點D，且，則C的離心率為。題型（三）三大曲線中（雙曲線需同一支）,設(shè)過焦點F且不平行于坐標軸的弦為AB，則為定值（L為通經(jīng)長）例1：（1）已知過拋物弦的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，=2，= 。（2）已知過拋物弦的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，滿足，則弦AB的中點到準線的距離 。練1：如圖所示，拋物線C1：和圓C2：，其中p0，直線經(jīng)過C1的焦點，依次交C1，C2于A，B，C，D四點，則的值為 。題型四：已知橢圓，直線與橢圓交于A，B兩點，在AOB中，AB邊上的高為OH。（1）若 （2）若（2）若例1：已知橢圓E：，是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由。練1.在直角坐標系xoy中，點P到兩點（0，-），（0，）的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C，直線與C交于A，B兩點.（1）寫出C的方程；（2）若，求k的值。2.如圖所示，橢圓的頂點為，焦點為，（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)n為過原點的直線，是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A，B兩點的直線，是否存在上述直線使成立？存在，求出的方程；不存在，說明理由。3.如圖所示，橢圓的一個焦點是F（1,0），