全國重點名校高三數(shù)學(xué)第二輪名16、17解析幾何專題1： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)、方程(教師版)

1、第十六講 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程(一)高考在考什么【考題回放】1AB為過拋物線y2=2px焦點F的弦, 那么以AB為直徑的圓與拋物線的準線(B)A相交 B相切 C相離 D與p的取值有關(guān)2江蘇理在平面直角坐標系xOy中，雙曲線中心在原點，焦點在y軸上，一條漸近線方程為x-2y=0，那么它的離心率為 A A B C D3點P(a,b)是雙曲線x2-y2=1右支上一點，且P到漸近線距離為，那么a+b=(B )A、-B、C、-2D、2 4湖南設(shè)F1 、F2分別是橢圓的左、右焦點，假設(shè)在其右準線上存在P使線段PF1的中垂線過點F2，那么橢圓離心率的取值范圍是 D A B C D5湖北理雙曲線的左準線

2、為l，左焦點和右焦點分別為F1 、F2；拋物線C2的準線為l，焦點為F2；C1與C2的一個交點為M，那么等于 A A BC D6全國一拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的局部相交于點A，AKl，垂足為K，那么AKF的面積是( C)A4 B C D87福建理以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓方程是 A Ax2+y2-10x+9=0Bx2+y2-10x+16=0 Cx2+y2+10x+16=0Dx2+y2+10x+9=08遼寧設(shè)橢圓上一點P到左準線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點，假設(shè)點M滿足，那么2高考要考什么【熱點透析】一、圓錐曲線的定義 1

3、. 橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長定長大于兩個定點間的距離的動點的軌跡叫做橢圓。即：P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)。 2. 雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值定值小于兩個定點的距離的動點軌跡叫做雙曲線。即P| |PF1|-|PF2|=2a, (2a<|F1F2|)。 3. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線。當0<e<1時為橢圓：當e=1時為拋物線；當e>1時為雙曲線。 二、圓錐曲線的方程。 1.橢圓：a>b>0或a>b>0其中，a2=b2+c2 2.

4、雙曲線：a>0, b>0或a>0, b>0其中，c2=a2+b23.拋物線：y2=±2pxp>0，x2=±2pyp>0三、圓錐曲線的性質(zhì) 知識要點：1.橢圓：a>b>0 1范圍：|x|a，|y|b 2頂點：(±a,0)，(0,±b) 3焦點：(±c,0) 4離心率：e=(0,1) 5準線：2.雙曲線：a>0, b>0 1范圍：|x|a, yR 2頂點：(±a,0) 3焦點：(±c,0) 4離心率：(1,+) 5準線：6漸近線：3.拋物線：y2=2px(p>0)

5、 1范圍：x0, yR 2頂點：0,0 3焦點：,04離心率：e=1 5準線：x=-主要題型：1定義及簡單幾何性質(zhì)的靈活運用；2求曲線方程含指定圓錐曲線方程及軌跡方程。突破重難點【例1】假設(shè)F1、F2為雙曲線的左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線的左支上，點M在雙曲線的右準線上，且滿足：，那么該雙曲線的離心率為 ABCD3解：由知四邊形F1OMP是平行四邊形，又知OP平分F1OM，即F1OMP是菱形，設(shè)|OF1|=c，那么|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a， |PF2|=2a+c，由雙曲線的第二定義知,且e>1，e=2，應(yīng)選C.【例2】學(xué)校科技小組在計算機上模擬航天器變軌

6、返回試驗. 設(shè)計方案如圖：航天器運行按順時針方向的軌跡方程為，變軌即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€后返回的軌跡是以軸為對稱軸、 為頂點的拋物線的實線局部，降落點為. 觀測點同時跟蹤航天器.1求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；2試問：當航天器在軸上方時，觀測點測得離航天器的距離分別為多少時，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？解：1設(shè)曲線方程為， 由題意可知，. . 曲線方程為. 2設(shè)變軌點為，根據(jù)題意可知得 ，或不合題意，舍去. . 得 或不合題意，舍去. 點的坐標為，.答：當觀測點測得距離分別為時，應(yīng)向航天器發(fā)出指令. 圖1【例3】如圖1，A、B、C是長軸為4的橢圓上三點，點A是長軸的一個頂點，B

7、C過橢圓中心O，且，。1建立適當?shù)淖鴺讼担髾E圓方程；2如果橢圓上兩點P、Q使直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實數(shù)l使？請給出證明。解：1以O(shè)為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖直角坐標系，那么A2，0，橢圓方程可設(shè)為。而O為橢圓中心，由對稱性知|OC|=|OB|又，所以ACBC又，所以|OC|AC|，所以AOC為等腰直角三角形，所以點C坐標為1，1。將1，1代入橢圓方程得，那么橢圓方程為。2由直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，設(shè)直線CP的斜率為k，那么直線CQ的斜率為k，直線CP的方程為y-1=k(x-1)，直線CQ的方程為y-1=-k(x-1)。

8、由橢圓方程與直線CP的方程聯(lián)立，消去y得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0因為C1，1在橢圓上，所以x1是方程的一個根，于是 同理這樣， 又B1，1，所以，即kAB=kPQ。所以PQAB，存在實數(shù)l使?！纠?】如圖，直線l1和l2相交于點M，l1 l2，點Nl1以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等假設(shè)AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線C的方程解法一：如圖建立坐標系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以l2為準線的拋線段的一段，其中A、B分別

9、為C的端點設(shè)曲線段C的方程為y2=2px (p0)，(xAxxB，y0)，其中xA，xB分別為A，B的橫坐標，P=|MN|所以 M (，0)，N (，0) 由 |AM|=，|AN|=3得(xA)22PxA=17， (xA)22PxA=9 由、兩式聯(lián)立解得xA=，再將其代入式并由p0解得或因為AMN是銳角三角形，所以xA，故舍去 P=4，xA=1由點B在曲線段C上，得xB=|BN|=4綜上得曲線段C的方程為y2=8x (1x4，y0)解法二：如圖建立坐標系，分別以l1、l2為x、y軸，M為坐標原點作AEl1，ADl2，BFl2，垂足分別為E、D、F設(shè) A (xA，yA)、B (xB，yB)、N

10、(xN，0)依題意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，yA=|DM|=2，由于AMN為銳角三角形，故有xN=|AE|+|EN|=4=|ME|+=4XB=|BF|=|BN|=6 設(shè)點P (x，y)是曲線段C上任一點，那么由題意知P屬于集合(x，y)|(xxN)2+y2=x2，xAxxB，y0 故曲線段C的方程y2=8(x2)(3x6，y0) 第十七講 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程(二)【例5】橢圓的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，向量與是共線向量。1求橢圓的離心率e；2設(shè)Q是橢圓上任意一點， F1、F2分別是左、右焦點，求F1QF2的取值范圍

11、；解：1，。是共線向量，b=c,故。2設(shè)當且僅當時，cos=0，?！纠?】設(shè)P是雙曲線右支上任一點. 1過點P分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，求的值； 2過點P的直線與兩漸近線分別交于A、B兩點，且的面積.解：I設(shè)兩漸近線方程為由點到直線的距離公式得 II設(shè)兩漸近線的夾角為，【例7】如圖，梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點求雙曲線的離心率解：如圖，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，那么CDy軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱 依題意，記A(c，

12、0)，C(，h)，B(c，0)，其中c為雙曲線的半焦距，c=|AB|，h是梯形的高由定比分點坐標公式，得點E的坐標為， 設(shè)雙曲線的方程為，那么離心率由點C、E在雙曲線上，得 由式得代入式得所以，離心率 【例8】橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為11求橢圓C的標準方程；2假設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點A,B不是左右頂點，且以AB為直徑的圖過橢圓C的右頂點求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標解：I由題意設(shè)橢圓的標準方程為，由得：，橢圓的標準方程為設(shè)，聯(lián)立 得，又，因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，即， ，解得：，且均滿足，當時，的方

13、程為，直線過定點，與矛盾；當時，的方程為，直線過定點所以，直線過定點，定點坐標為自我提升1.ABC的頂點B、C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，那么ABC的周長是(C )A2 B6 C4 D122如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是 C A B C D 3拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1，那么點M的縱坐標是( B) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 04雙曲線的虛軸長為4，離心率，F(xiàn)1、F2分別是它的左，右焦點，假設(shè)過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等

14、差中項，那么|AB|為A.A、 B、 C、 D、85橢圓中心在原點，一個焦點為F2，0，且長軸長是短軸長的2倍，那么該橢圓的標準方程是 6過橢圓左焦點F，傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點，假設(shè)|FA|=2|FB|，那么橢圓的離心率為( B )(A) (B) (C) (D)7橢圓+=1的離心率e=，那么m=_m=8或2。8 F1、F2是橢圓a>b>0的兩焦點，過F1的弦AB與F2組成等腰直角三角形ABF2，其中BAF2=900，那么橢圓的離心率是_9橢圓E的離心率為e，左、右焦點為F1、F2，拋物線C以F2為焦點，F(xiàn)1為其頂點，假設(shè)P為兩曲線的公共點，且e|PF2|=

15、|PF1|，那么e_。10如圖，三點A(7, 0)，B(7,0)，C(2,12). 假設(shè)橢圓過A、B兩點，且C為其一焦點，求另一焦點P的軌跡方程； 假設(shè)雙曲線的兩支分別過A、B兩點，且C為其一焦點，求另一焦點Q的軌跡方程。解析：由橢圓定義知，|AP|AC|BP|BC|，即故P的軌跡為A7，0、B7，0為焦點實軸長為2的雙曲線的一支，其方程為； 經(jīng)討論知，無論A在雙曲線的哪一支上, 總有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14故點Q的軌跡為以A7，0、B7，0為焦點長軸長為28的橢圓，其方程為。11如圖，A為橢圓上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F1、F2當AC垂直于x軸 時，恰好|AF1|:|AF2=3:1I求該橢圓的離心率；xyABCOF1F2II設(shè)，試判斷l(xiāng)1+l2是否為定值？假設(shè)是，那么求出該定值；假設(shè)不是，請說明理由解：I當C垂直于x軸時，由，得，在Rt中，解得 =II由=，那么，焦點坐標為，那么橢圓方程為，化簡有設(shè)，假設(shè)直線AC的斜率存在，那么直線AC方程為代入橢圓方程有由韋達定理得：， 所以，同理可得故l1+l2= 假設(shè)直線軸， l1+l26 綜上所述：l1+l2是定值612橢圓ab0上兩點A、B，直線上有兩點C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圓為x2+y2-2y-8=0，求橢圓方程和直線的方程。解：圓方程x2+y2-2y-8=0即x2