年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試北京卷數(shù)學文

1、2018 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試( 北京卷 ) 數(shù)學文一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共 40 分 . 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1. 已知集合 A=x|x| 2 ， B=-2， 0，1， 2 ，則 A B=( )A.0 ， 1B.-1 ， 0，1C.-2 ， 0，1， 2D.-1 ， 0，1， 2解析：集合 A=x|x| 2=x|-2 x 2 ， B=-2， 0， 1， 2 ， A B=0， 1.答案： A2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于( )1iA. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析：復(fù)數(shù)11ii11 i ，1i 1i12

2、2共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(1，1) 在第四象限 .22答案： D3. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s 值為 ( )A. 12B. 56C. 76D. 712解析：在執(zhí)行第一次循環(huán)時，k=1， S=1.在執(zhí)行第一次循環(huán)時，S=1- 11. 由于 k=23，22所以執(zhí)行下一次循環(huán).S= 115， k=3，直接輸出 S=5 .2366答案： B4. 設(shè) a， b， c， d 是非零實數(shù)，則“ad=bc”是“ a， b， c， d 成等比數(shù)列”的 ( )A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：若a， b， c，d 成等比數(shù)列，則ad=bc ，反之數(shù)列

3、-1 ， -1 ， 1， 1. 滿足 -1 × 1=-1 × 1，但數(shù)列 -1 ，-1 ， 1，1 不是等比數(shù)列，即“ ad=bc”是“ a，b， c， d 成等比數(shù)列”的必要不充分條件.答案： B5. “十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻， 十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于12 2 .若第一個單音的頻率為 f ，則第八個單音的頻率為 ( )A. 3 2 fB. 3 22 fC. 12 25fD. 12 27f解析：從第

4、二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122.712 27 f .若第一個單音的頻率為f ，則第八個單音的頻率為：12 2 ?f答案： D6. 某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為( )A.1B.2C.3D.4解析：四棱錐的三視圖對應(yīng)的直觀圖為：PA底面 ABCD，AC5， CD5 ， PC=3， PD=2 2 ，可得三角形 PCD不是直角三角形 .所以側(cè)面中有3 個直角三角形，分別為：PAB， PBC， PAD.答案： C?7. 在平面直角坐標系中，AB，CD，EF，GH22是圓 x +y =1 上的四段弧 ( 如圖 ) ，點 P其中一段上，

5、角以 Ox為始邊， OP為終邊 . 若 tan cos sin ，則 P 所在的圓弧是 ()?A. ABB. CD?C. EFD. GH?解析： A、在 AB段，正弦線小于余弦線，即cos sin 不成立，故A 不滿足條件 .B、在 CD段正切線最大，則cos sin tan ，故 B 不滿足條件 .C、在 EF 段，正切線，余弦線為負值，正弦線為正，滿足 tan cos sin ，D、在 GH段，正切線為正值，正弦線和余弦線為負值，滿足 cos sin tan 不滿足tan cos sin .答案： C8. 設(shè)集合 A=(x ， y)|x-y 1， ax+y 4，x-ay 2 ，則 ()A.

6、 對任意實數(shù) a， (2 ， 1) AB. 對任意實數(shù) a， (2 ， 1) AC.當且僅當 a 0 時， (2 ， 1)AD.當且僅當 a 3 時， (2 ， 1)A2解析：當 a=-1 時，集合 A=(x ， y)|x-y 1，ax+y 4，x-ay 2=(x，y)|x-y 1，-x+y 4， x+y 2 ，顯然 (2 ， 1) 不滿足， -x+y 4， x+y 2，所以 A， C不正確；當 a=4，集合 A=(x ， y)|x-y 1， ax+y 4， x-ay 2=(x， y)|x-y 1， 4x+y 4， x-4y 2 ，顯然 (2 ， 1) 在可行域內(nèi)，滿足不等式，所以B不正確 .

7、答案： D二、填空題共6 小題，每小題5 分，共30 分。rrrrr9. 設(shè)向量 a =(1 ， 0) ， b =(-1 ， m). 若 amab ，則 m=.rrrr解析：向量 a =(1 ，0) ， b =(-1， m)， mab =(m+1，-m).rrr amab ， m+1=0，解得 m=-1.答案： -110. 已知直線 l 過點 (1 ，0) 且垂直于 x 軸 . 若 l被拋物線 y2=4ax 截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為.解析：直線l 過點 (1 ， 0) 且垂直于 x 軸， x=1，22a ，代入到 y =4ax，可得 y =4a，顯然 a 0， y=±

8、2l被拋物線 y2=4ax 截得的線段長為 4，4a =4，解得 a=1， y2=4x，拋物線的焦點坐標為 (1 ， 0).答案： (1 ，0)11. 能說明“若 a b，則 1 1 ”為假命題的一組a， b 的值依次為.ab解析：當 a 0， b0 時，滿足 a b，但 1 1 為假命題，故答案可以是a=1，b=-1.ab答案： a=1， b=-112.若雙曲線 x2y21 (a 0) 的離心率為5 ，則 a=.a242解析：雙曲線x2y 21(a 0) 的離心率為5，可得：a245，解得 a=4.a242a24答案： 413.若 x， y 滿足 x+1 y 2x，則 2y-x 的最小值是.

9、解析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：設(shè) z=2y-x ，則 y= 1 x1 z ，平移 y=1 x1 z ，2222由圖象知當直線 y= 1 x1 z 經(jīng)過點 A 時，22直線的截距最小，此時z 最小，x 1，yx 1由得即 A(1 ， 2) ，此時 z=2×2-1=3.y2x，y2，答案： 314. 若 ABC 的面積為3(a 2+c2-b 2) ，且 C 為鈍角，則 B=； c 的取值范圍4a是.解析： ABC的面積為3(a 2+c2-b 2) ，4可得：3(a 2+c 2-b 2)=1 acsinB ， sin B3 ，42cosB可得： tanB=3 ，所以 B=， C 為

10、鈍角， A (0 ，) ， cotA (3 ，+ ).36csin Csin ABcos B13asin Asin Acot A sin BcotA (2 ， + ).22答案：；(2， +)3三、解答題共6 小題，共 80 分 . 解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15. 設(shè) a n 是等差數(shù)列，且a1=ln2 ， a2+a3=5ln2.n的通項公式；( ) 求 a ( ) 求 ea1ea2ean .解析： ( ) 求 a n 的通項公式；( ) 化簡數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式求解即可.答案： ( )a n 是等差數(shù)列，且a1=ln2 ， a2+a3=5ln2.可得： 2a1

11、+3d=5ln2 ，可得 d=ln2 ，a n 的通項公式； an=a1+(n-1)d=nln2，( ) eannea2ean21 22232n2 12n2 .eln 22n ， ea112n 1216. 已知函數(shù) f(x)=sin2x+3 sinxcosx.( ) 求 f(x)的最小正周期；( ) 若 f(x)在區(qū)間 ， m上的最大值為3 ，求 m的最小值 .32解析： (I)運用二倍角公式的降冪公式和兩角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；( ) 求得 2x-的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得2m-，即可得到所求最小值.662答案： (I) 函數(shù) f(x)=sin2 x 3sin x co

12、sx1 cos2x3 sin 2x sin 2x61，222f(x) 的最小正周期為T= 2=；2( ) 若 f(x)在區(qū)間 ， m上的最大值為3 ，532可得 2x，2m ，即有 2m-，解得 m，則 m的最小值為.666623317. 電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.( ) 從電影公司收集的電影中隨機選取1 部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；( ) 隨機選取 1 部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；( ) 電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略， 這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中

13、只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1 ，哪類電影的好評率減少0.1 ，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大？( 只需寫出結(jié)論)解析：( ) 先求出總數(shù)，再求出則第四類電影的頻率為200=0.1 ，即可求出答案，2000( ) 根據(jù)互斥事件的概率公式計算即可，( ) 由題意可得，增加電影部數(shù)多的，減少部數(shù)少的，即可得到.答案： ( ) 總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000 部，則第四類電影的頻率為200 =0.1 ，2000故從電影公司收集的電影中隨機選取1 部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率0.1

14、5;0.25=0.025 ，( ) 獲得好評的電影部數(shù)為 140× 0.4+50 × 0.2+300 × 0.15+200 × 0.25+800 × 0.2+510 × 0.1=372 ，估計這部電影沒有獲得好評的概率為1-372=0.814，2000( ) 故只要第五類電影的好評率增加0.1 ，第二類電影的好評率減少0.1 ，則使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大.18. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面E， F 分別為 AD， PB的中點 .ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PA PD，PA=PD，(

15、 ) 求證： PE BC；( ) 求證：平面PAB平面 PCD；( ) 求證： EF平面 PCD.解析： ( ) 由等腰三角形的三線合一性質(zhì)和矩形的對邊平行性質(zhì)，即可得證；( ) 作出平面 PAB和平面 PCD的交線，注意運用公理4，再由面面垂直的性質(zhì)和兩個平面所成角的定義，即可得證；( ) 取 PC的中點 H，連接 DH， FH，運用中位線定理和平行四邊形的判斷和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證 .答案： ( )PA=PD，E 為 AD的中點，可得PE AD，底面 ABCD為矩形，可得BCAD，則 PE BC；( ) 由于平面 PAB和平面 PCD有一個公共點 P，且 AB CD，在平

16、面 PAB內(nèi)過 P 作直線 PGAB，可得 PG CD，即有平面PAB平面 PCD=PG，由平面 PAD平面 ABCD，又 AB AD，可得 AB平面 PAD，即有 ABPA， PAPG；同理可得CD PD，即有 PDPG，可得 APD為平面 PAB和平面 PCD的平面角，由 PA PD，可得平面 PAB平面 PCD；( ) 取 PC的中點 H，連接 DH， FH，在三角形PCD中， FH為中位線，可得FH BC，F(xiàn)H=1BC，由DE BC，DE=1 BC，22可得可得DE=FH， DE FH，四邊形EFHD為平行四邊形，EF DH， EF平面 PCD， DH平面 PCD，即有EF平面PCD.

17、19. 設(shè)函數(shù) f(x)=ax-(3a+1)x+3a+2e.( ) 若曲線 y=f(x)在點 (2 ， f(2)處的切線斜率為0，求 a；( ) 若 f(x) 在 x=1 處取得極小值，求a 的取值范圍 .解析： ( ) 求得 f(x) 的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f (2)=0 ，解方程可得a 的值；( ) 求得 f(x) 的導(dǎo)數(shù)，注意分解因式，討論a=0，a=1，a 1，0 a 1， a0，由極小值的定義，即可得到所求a 的范圍 .答案： ( ) 函數(shù) f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex 的導(dǎo)數(shù)為 f (x)=ax2-(a+1)x+1ex.曲線 y=f(x)在點 (2 ， f(

18、2)處的切線斜率為0，21可得 (4a-2a-2+1)e=0，解得 a=；2( )f(x)的導(dǎo)數(shù)為f (x)=ax2 -(a+1)x+1ex=(x-1)(ax-1)ex，若 a=0 則 x 1 時， f (x) 0， f(x)遞增； x1， f (x) 0， f(x)遞減 .x=1 處 f(x) 取得極大值，不符題意；若 a 0，且 a=1，則 f (x)=(x-1)2ex 0， f(x)遞增，無極值；若 a 1，則 1 1， f(x) 在 ( 1 ， 1) 遞減；在 (1 ， +) ， (- ， 1 ) 遞增，aaa可得 f(x) 在 x=1 處取得極小值；若 0 a 1，則 1 1， f(

19、x)在 (1 ， 1 ) 遞減；在 ( 1 ， + ) ， (- ， 1) 遞增，aaa可得 f(x) 在 x=1 處取得極大值，不符題意；若 a 0，則 1 1， f(x) 在 ( 1 ， 1) 遞增；在 (1 ， +) ， (- ， 1 ) 遞減，aaa可得 f(x) 在 x=1 處取得極大值，不符題意.綜上可得， a 的范圍是 (1 ， + ).20. 已知橢圓 M： x2y2=1(a b 0) 的離心率為6 ，焦距為22. 斜率為 k 的直線 l 與a2b23橢圓 M有兩個不同的交點A，B.( ) 求橢圓 M的方程；( ) 若 k=1，求 |AB| 的最大值；( ) 設(shè) P(-2 ，

20、0) ，直線 PA 與橢圓 M的另一個交點為C，直線 PB 與橢圓 M的另一個交點為71D.若 C， D和點 Q(， ) 共線，求 k.44解析： ( ) 根據(jù)橢圓的離心率公式即可求得a 的值，即可求得b 的值，求得橢圓方程；( ) 當 k=1 時，設(shè)直線 AB 的方程，代入橢圓方程，根據(jù)弦長公式即可求得|AB| 的最大值；( ) 求得直線 PA 的方程，代入橢圓方程，即可根據(jù)韋達定理即可求得C 點坐標，同理求得uuuruuurAB的斜率 .D點坐標，即可求得 QC 與 QD ，根據(jù)向量的共線定理，即可求得直線答案：( ) 由題意可知： 2c=22 ，則 c=2 ，橢圓的離心率e= c6 ，則 a= 3 ，b2=a2-c 2=1，a3橢圓的標準方程：x2 +y 2=1；3( )